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ANSWER - Propagation-déformation d'une dune de fond par un courant - théorie

De Wikhydro

Sommaire

Eléments de contexte

Cette page fait partie de la démarche collaborative ANSWER , dont l'objectif est de faire collaborer scientifiques et grand public autour du domaine de l'eau.
Le diagramme suivant illustre le positionnement de la page dans la partie de ANSWER consacrée à la morphodynamique. Chaque "perle" représente une solution analytique (perle "cliquable" sur le diagramme ci-dessous) qui renvoie sur une page plus théorique.

La page que vous consultez actuellement décrit le modèle mathématique dans lequel s'inscrit la solution analytique.

Modèle mathématique

liste des paramètres utilisés

Paramètres descriptifs du domaine Paramètres hydrosédimentaires
Niveau de la surface : LaTeX:  Z_s=Z_s(x,y) LaTeX: \rho_s,\rho : masse volumique des sédiments secs et du fluide
Niveau du fond : LaTeX:  Z_f=Z_f(x,y) LaTeX: \tau_b : contrainte hydrodynamique moyenne sur le fond LaTeX: (N/m^2)
Couche de charriage : LaTeX: a(x,y)=Z_a-Z_f LaTeX: \tau_{cr} : contrainte hydrodynamique moyenne sur le fond LaTeX: (N/m^2)
Couche de suspension : LaTeX: h(x,y)=Z_s-Z_a LaTeX: C_h, K_s : coefficient de Chézy LaTeX: (m^{1/2}/s) et de Strikler LaTeX: (m^{1/3}/s)
Profondeur d'eau : LaTeX: H(x,y)=Z_s-Z_f LaTeX: \nu : viscosité cinématique du fluide LaTeX: (m^2)/s
LaTeX: d_{50} : diamètre médian des matériaux LaTeX: (m)
LaTeX: q_s : débit volumique de transport solide LaTeX: (Kg/m^2.s)
LaTeX: u,v : composantes de la vitesse moyenne du fluide intégrée sur la verticale LaTeX: (m/s)
2014-04-28 10h35 57.png 2014-04-28 10h31 55.png

Lois de conservation

La loi de conservation d'un scalaire : ici la concentration pondérale LaTeX: C de sédiments en suspension exprimée en LaTeX: m^3/m^3, à l’intérieur d'un volume LaTeX: V entourée par une surface LaTeX: S a pour expression :
LaTeX: \dfrac{\partial }{\partial t}\int_{V} CdV

La concentration LaTeX: C à l'intérieur du domaine varie sous l'effet des flux appliqués à sa surface, ainsi que sous l'effet des sources-puits qui sont appliquées soit sur sa surface LaTeX: Q_s, soit à l'intérieur du domaine LaTeX: Q_v.

La forme générale de la loi de conservation s'écrit :

LaTeX: {(1)}\quad { } \dfrac{\partial }{\partial t}\int_{V} CdV+\int_{S} \vec {F}.d\vec {S}=\int_{V} Q_VdV+\int_{S} \vec {Q_s} dS

Dans notre exemple, nous allons supposer qu'il n'y a aucune source à l'intérieur du domaine ou à sa surface. On a donc : LaTeX: Q_V = Q_S = 0. La relation (1) s'écrit donc :

LaTeX: {(2)}\quad { } \dfrac{\partial }{\partial t}\int_{V} CdV+\int_{S} \vec {F}.d\vec {S}=0

Le théorème de Gauss appliqué à cette équation nous donne :

LaTeX: {(3)}\quad { } \int_{V} \dfrac{\partial C }{\partial t} dV+\int_{V} Div\vec {F}.dV=0

Précisons ici qu'il s'agit de grandeurs instantanées. Le flux LaTeX: F représente le débit solide volumique par unité de surface LaTeX: \vec q : Par ailleurs, dans le cas du transport saturé, les taux d'accumulation et de production/perte sont nuls.

LaTeX: \dfrac{\partial } {\partial t} \int_{V} CdV=0

Il reste :

LaTeX: {(4)}\quad { } Div \vec q = \dfrac{\partial q_x}{\partial x} +\dfrac{\partial q_y}{\partial y} +\dfrac{\partial q_z}{\partial z}


La loi de conservation, sous forme intégrée sur la verticale s'écrit pour la couche de charriage.

LaTeX: {(5)}\quad { } \int_{Z_f}^{Z_a}  \Bigl(  \dfrac{\partial q_x}{\partial x}  +\dfrac{\partial q_y}{\partial y} +\dfrac{\partial q_z}{\partial z}  \Bigr) dz=0

LaTeX: Z_a(x,y) est remplacé par LaTeX: Z_s(x,y) pour le transport total.

Nous pouvons écrire en utilisant la formule d'intégration de Leibnitz :

LaTeX: {(6)}\quad { }\begin{cases} \int_{Z_f}^{Z_a}Div\vec q \, dz= 
</p>
<pre>    & \dfrac{\partial  }{\partial x}\int_{Z_f}^{Z_a} q_x dz-q_x(Z_a) \dfrac{\partial Z_a}{\partial x}+q_x(Z_f) \dfrac{\partial Z_f}{\partial x} + \\ 
\\ & \dfrac{\partial  }{\partial y}\int_{Z_f}^{Z_a} q_y dz-q_y(Z_a) \dfrac{\partial Z_a}{\partial y}+q_y(Z_f) \dfrac{\partial Z_f}{\partial y}  + \\
\\ & q_z(Z_a) -q_z(Z_f) \end{cases}
</pre>
<p>

que l'on peut écrire sous la forme:

LaTeX: {(7)}\quad { }  \dfrac{\partial q_{sx } }{\partial x} +\dfrac{\partial q_{ sy}}{\partial y} +\vec q(Z_a)\bullet \vec n_a J_a -\vec q(Z_f)\vec q(Z_a) \bullet \vec n_f J_f =0

avec :

LaTeX: q_{ sx} =\int_{Z_f}^{Z_a} q_x dz  \quad \text{et} \quad q_{ sy}=\int_{Z_f}^{Z_a}q_ydz


LaTeX:  J_a=\Bigl( 1+ \dfrac{\partial Z_a^2}{\partial x} +  \dfrac{\partial Z_a^2}{\partial y}\Bigr)^ {1/2 } \quad \text{et} \quad   J_f=\Bigl( 1+ \dfrac{\partial Z_f^2}{\partial x} +  \dfrac{\partial Z_f^2}{\partial y}  \Bigr)^ {1/2 }

et:

LaTeX: \vec n_a=\left\langle  \dfrac{-\partial Z_a}{\partial x} ;  \dfrac{-\partial Z_a}{\partial y};1 \right\rangle /J_a \quad \text{et} \quad   
\vec n_f=\left\langle  \dfrac{-\partial Z_f}{\partial x} ;  \dfrac{-\partial Z_f}{\partial y};1 \right\rangle /J_f

La relation (7) s'écrit sous la forme :

LaTeX: {(8)}\quad { } \dfrac{\partial q_{sx }}{\partial x} +\dfrac{\partial q_{sy }}{\partial y} +q_ {na } (x,y) +q_ {nf } (x,y)  =0

avec :

  • LaTeX:  q_ {na }(x,y)= \vec q(Z_a)\bullet \vec n_a J_a  \quad \text{et} \quad  q_ {nf }(x,y)= \vec q(Z_f)\bullet \vec n_f J_f
  • LaTeX:  q_ {sx }(x,y)  \; \text{et} \;  q_ {sy }(x,y) exprimés en (m3/m.s) sont les composantes du flux sédimentaire total, s'exerçant sur la couche de charriage, suivant les deux directions horizontales.
  • LaTeX:  q_ {na}(x,y)  \; \text{et} \;  q_ {nf }(x,y) exprimés en (m3/m.s) sont les composantes du flux sédimentaire, s'exerçant dans le sens des normales (na et nf) à la couche de charriage.
  • LaTeX:  q_ {na}(x,y)  est le flux d'échange entre le charriage et la suspension ;
  • LaTeX:  q_ {nf}(x,y)  est le flux d'érosion ou de dépôt entre le fond et la couche de charriage. Dans le cas du transport saturé, on suppose que LaTeX:  q_ {na}(x,y)=0

Pour le transport total, la couche verticale est représentée par la profondeur d'eau :

LaTeX:  H=Z_s-Z_f  \quad \text {avec} \quad q_ {ns}=0

Nous obtenons ainsi la loi de conservation bidimensionnelle :

LaTeX: {(9)}\quad { }  Div\vec q_s+q_ {nf}(x,y)=0  \quad \text {avec} \quad \vec q_s=(q_ {nx},q_ {ny})

Le flux sédimentaire LaTeX: q_{nf} caractérise les processus de dépôt et d'érosion qui ont lieu avec le fond. Ces échanges entre la couche de charriage (ou la colonne d'eau pour le modèle de transport total) et le fond, provoquent la modification de celui-ci.

Plaçons nous maintenant au niveau du fond et intéressons nous à la matière constituant ce fond. Nous allons écrire que le flux de matériaux érodés ou déposés provoque l'évolution du niveau du fond. Si l'on désigne par n la porosité de la couche du fond en contact avec la couche de charriage, la loi de conservation de la matière peut s'écrire sous la forme :

LaTeX: {(10)}\quad { }  q_ {nf}(x,y)=(1-n) \dfrac{\partial Z_f }{\partial t}

En rapprochant les équations (9) et (10), nous retrouvons l'équation bien connue de l'évolution de la cote du fond :

LaTeX: {(11)}\quad { }  (1-n) \dfrac{\partial Z_f } {\partial t} +Div\vec q_s =0

Le flux de charriage ou de transport total LaTeX:  q_s (exprimé en m3/m².s) est évalué par une formule empirique.

Pour simplifier les écritures dans la suite de cet article, nous supposerons que le facteur LaTeX:  (1-n) est inclus dans LaTeX:  Z_ f.

L'évaluation du transport saturé se fait au moyen de formules empiriques, qui prennent en compte :

  • des paramètres hydrodynamiques : LaTeX:  u, v, Z_s calculés par un modèle d'écoulement hydrodynamique (LaTeX: u et LaTeX:  v sont les composantes de la vitesse moyenne sur la verticale de l'écoulement suivant les directions x et y ; LaTeX:  Z_ s la cote de surface libre).
  • des paramètres sédimentaires : LaTeX:  \rho_ s, d_{50 } qui représentent respectivement la masse volumique et le diamètre moyen du sédiment.

Nota : Dans ce qui suit, nous désignerons par LaTeX:  \vec \tau_b=\rho g \dfrac{  |\vec u | \vec u} {C_h^2} en (N/m²) la contrainte hydrodynamique s'exerçant sur le fond, par LaTeX:  \tau_{*b }=\tau_b/( \rho_s- \rho)g d_{50 } la contrainte adimensionnelle de cisaillement, par LaTeX:  u_*=\sqrt { \tau_b/\rho} en (m/s) la vitesse de cisaillement sur le fond et par LaTeX: \tau _{cr }=0.047 (Meyer-Peter) la contrainte critique adimensionnelle de début d'entraînement des matériaux sur le fond.

On trouve, dans la littérature, toute une panoplie de formules empiriques de transport, qui ont été établies pour des conditions hydrodynamiques et sédimentologiques bien précises et qu'il convient d'utiliser avec beaucoup de précaution. Nous en donnons ici deux exemples :

  • Meyer-Peter et Müller pour le charriage  : LaTeX: 0.4 \le d_{50 } \le 30 mm

LaTeX: {(12)}\quad { }\begin{cases} 
</p>
<pre>\tau_{*b }>\tau_{*cr } \quad  \vec q_s=8 \sqrt {\Delta g d_{50 }^3} (\tau_{*b }-\tau_{*cr } )^{3/2 } \dfrac{  \vec u }  { |\vec u | }   
\\ 
\tau_{*b }\le\tau_{*cr } \quad \vec q_s=\vec0
</pre>
<p>\end{cases}

  • Engelund-Hansen pour le transport total : LaTeX: 0.15 \le d_{50 } \le 0,9 mm

LaTeX: {(13)}\quad { }\begin{cases} 
</p>
<pre>\tau_{*b }>\tau_{*cr } \quad  \vec q_s=0.053 \sqrt {  \dfrac{  \Delta  d_{50 }^3}  {g  } }  C_h^2 \tau_{*b } ^{5/2 }  \dfrac{  \vec u }  { |\vec u | }   
\\ 
\tau_{*b }\le\tau_{*cr } \quad \vec q_s=\vec0
</pre>
<p>\end{cases}

Identification des termes de l'équation

Terme 1 : LaTeX:  \dfrac{\partial Z_f }{\partial t} est le terme d'évolution temporelle du fond.

Terme 2 : LaTeX:  \dfrac{\partial q_{sx } }{\partial x} +\dfrac{\partial q_{ sy}}{\partial y} est le terme de conservation du débit solide.

Cette équation est donc :

NON-STATIONNAIRE (terme 1),

  • soit LINEAIRE si l'on considère LaTeX:   q_{sx }  , LaTeX:   q_{sy }  comme indépendants de LaTeX:   Z_f  ,
  • soit QUASI-LINEAIRE si LaTeX:   q_{sx }  , LaTeX:   q_{sy }  sont faiblement dépendants de LaTeX:   Z_f  ,
  • soit NON-LINEAIRE si LaTeX:   q_{sx }  , LaTeX:   q_{sy }  sont très dépendants de LaTeX:   Z_f  ,

à dominante HYPERBOLIQUE.

Conditions aux limites et conditions initiales

Les conditions aux limites pour ce modèle sont liées à la cote du fond LaTeX:   Z_f  ,:

  • Amont : cote de fond fixe
  • Aval : cote de fond libre.

Solutions analytiques

Pour obtenir une solution analytique en 1D du système constitué par les relations (11) et (13), nous pouvons choisir d’exprimer explicitement l’une des relations de transport en fonction de l’inconnue LaTeX:   Z_f  , en positionnement le niveau de référence au niveau de la surface libre, ce qui signifie que LaTeX:   Z_f  représente la profondeur d’eau. Pour simplifier les choses, nous considèrerons un canal à plafond (niveau de la surface libre fixe et horizontale) suivant l’axe des x. Nous désignerons par LaTeX:   q_{lx} le débit liquide par unité de largeur.

Ainsi, en reportant l’expression du transport solide (13) dans l’équation de conservation des fonds (11), nous obtenons d’une part l’expression explicite du transport solide :

LaTeX: {(14)}\quad { } q_s=0.053 \Bigl( \dfrac{  \rho }  {\rho_s - \rho  }  \Bigr)^2 \dfrac{ 1}  {d_{50}  \sqrt {g}  C_h^3}  q_{lx}^{5}Z_f^{-5/6}

et d’autre part le système suivant à résoudre :

LaTeX: {(15)}\quad { }\begin{cases} 
</p>
<pre>\dfrac { \partial Z_f}  {\partial t } + C_{ fn} (Z_f)  \dfrac { \partial Z_f}  {\partial x } =0
\\ 
C_{ fn}= 0.044\Bigl( \dfrac{  \rho }  {\rho_s - \rho  }  \Bigr)^2 \dfrac{ 1}  {d_{50}  \sqrt {g}  C_h^3}  q_{lx}^{5}Z_f^{-11/6}    
</pre>
<p>\end{cases}

La solution analytique est donnée par la méthode des caractéristiques selon la direction principale de l’écoulement LaTeX:   q_l

Cette solution analytique est illustrée sur des cas simples sur cette page

Bibliographie

Francais

  • Le Guennec B. et Tanguy J.M., 2009, "Modèles de transport solide et d'évolution des fonds", Traité d'hydraulique environnementale - Ed. Jean-Michel Tanguy, Hermes-Lavoisier Vol. 4, pp 161-191.
  • Thual O., 2011, "Hydrodynamique de l'environnement, Editions de l'Ecole Polytechnique, 322 p

Anglais

  • Le Guennec B. et Tanguy J.M., 2010, "Solid Transport Models and Evolution of the Seabed", Mathematical Models - Environment Hydraulics series, Ed. Jean-Michel Tanguy, John Wiley, pp 336 - 367.



Le créateur de cet article est Jean-Michel Tanguy
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