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ANSWER - Propagation de la marée dans un estuaire à fond pentu et aux berges convergentes linéaires

De Wikhydro

Sommaire

Éléments de contexte

Cette page fait partie de la démarche collaborative ANSWER , dont l'objectif est de faire collaborer scientifiques et grand public autour du domaine de l'eau.

Cette fiche fait suite à la fiche "Propagation d'une onde dans un estuaire à pente du fond inclinée" mais traite de la propagation d'une onde dans un estuaire à gabarit rectangulaire dont la section se rétrécie linéairement vers l'amont et dont la pente du fond est également linéaire.

Le schéma suivant élaboré sous Pearltrees illustre les différentes solutions analytiques dans le domaine maritime.

La solution élaborée ici en constitue une perle.

Hydraulique maritime dans null (hydrologik)

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Modélisation mathématique du phénomène de propagation d'une onde dans un estuaire

Nous Partirons du système d'équations de Saint-Venant mono-dimensionnelles, qui auront été linéarisées pour étudier la déformation d'une onde lors de sa propagation le long d'un estuaire schématique.
La linéarisation de ce système va conduire à une équation qui sera résolue directement, fournissant ainsi la variation temporelle de la ligne d'eau et de la vitesse moyenne par section.
Nous étudierons 4 configurations:

  1. propagation sans frottement avec condition limite amont de sortie libre
  2. réflexion totale en fond d'estuaire et propagation sans frottement
  3. propagation avec léger frottement et condition limite amont de sortie libre
  4. propagation avec fort frottement et condition limite amont de sortie libre

Nous prendrons en compte dans cet exemple un canal de section rectangulaire qui se rétrécie de l'aval (la mer) vers l'amont (la rivière), une pente linéaire constante ascendante vers le fond, une convergence des berges.

Nous comparerons les résultats obtenus par ces solutions analytiques avec ceux obtenus avec le code de calcul hydrodynamique bidimensionnel aux éléments finis TELEMAC2D.

Hiérarchie des hypothèses simplificatrices

Les simplifications qui suivent nous permettent de développer un modèle linéaire de propagation d'une onde à l'intérieur d'un domaine à géométrie simplifiée, correspondant à un canal avec une pente de fond, qui peut se rapprocher d'un estuaire schématique à l'intérieur duquel se propage une onde de surcote.

Navier-Stokes

→ fluide incompressible
→ intégration dans une section de calcul (canal rectangulaire) ==> Saint-Venant 1D
→ accélération négligeable
→ frottement linéarisé

Expression du modèle simplifié

A partir des hypothèses précédentes, considérons un canal de section en travers rectangulaire et avec pente du fond constante et de taux de convergence des berges constant.

Dessin pente nulle et berges linéaires.png

Soit :

  • LaTeX: h(x,t) le niveau d'eau
  • LaTeX: u(x,t) la vitesse moyenne de l'écoulement dans la section de surface LaTeX: S(x)=b(x)H(x)
  • LaTeX: Q(x,t)=S(x,t)u(x,t) le débit à l'abscisse LaTeX: x
  • LaTeX: b(x)=b_0\dfrac{ x }{ x_0 } la largeur du canal qui varie linéairement avec l'abscisse, LaTeX:  b_0 étant la largeur du canal à l'abscisse LaTeX:  x_0 en amont du domaine. LaTeX:  p_b=b_0/x_0
  • LaTeX: H(x)=H_0\dfrac{ x }{ x_0 } la profondeur du canal qui varie linéairement avec l'abscisse. LaTeX:  p_f=H_0/x_0
  • LaTeX:  f le coefficient de frottement linéarisé.

Les équations qui régissent le phénomène sont les équations de Saint-Venant 1D linéarisées.

LaTeX: 
\begin{cases} 
b\dfrac{ \partial h }{ \partial t }+ \dfrac{ \partial Q }{ \partial x }=0 } 
\\
\\ 
\dfrac{ \partial Q }{ \partial t }+gS \dfrac{ \partial h }{ \partial x }+fQ=0 
\end{cases}
En dérivant la première équation par rapport au temps et la seconde par rapport à l'espace et en éliminant le terme commun, nous obtenons :

LaTeX: 
-b\dfrac{ \partial^2 h }{ \partial t^2 }+ g\dfrac { \partial }{ \partial x }\left[\Big S\dfrac{ \partial h }{ \partial x }\right]\Big +f\dfrac{ \partial Q }{ \partial x}=0

nous allons supposer que LaTeX: h est de la forme LaTeX: h=A(x)e^{-i\sigma t}. En dérivant, nous obtenons :
LaTeX: \dfrac{ \partial h }{ \partial t}=(-i\sigma) A(x) e^{-i\sigma t} = -i\sigma h \qquad et \qquad \dfrac{ \partial^2 h }{ \partial t^2}=-\sigma^2 h
En reportant ces valeurs dans l'équation ci-dessus :
LaTeX: 
x^2\dfrac{ \partial^2 h }{ \partial x ^2}+2x\dfrac{ \partial h }{ \partial x} + \left[\Big \sigma (\sigma+fi) \right] \dfrac{ 1}{gp_f}} xh=0
Posons:
LaTeX: 
k^2=\dfrac{ \sigma^2}{ gH} 
\text{ le nombre d'onde  et }<br />
k_f^2=\sigma (\sigma+fi) \dfrac{ x_0}{ gH_0}\right]
Ce terme est donc une constante

Par ailleurs, le frottement peut être exprimé de la manière suivante :
LaTeX: f=\dfrac{8}{3\pi}\dfrac{g}{K^{2}{H_m^{4/3}}}\left| U_m \right| avec :

  • LaTeX: K est le coefficient de Strickler aux alentours de 0.002 - 0.003
  • LaTeX: H_m la profondeur moyenne sur le domaine
  • LaTeX: U_m la vitesse moyennée sur une période sur le domaine

Remarque : cette équation nous montre que la répartition de la hauteur de l'onde est indépendante du taux de convergence linéaire des berges LaTeX: p_b, mais dépend par contre de la hauteur d'eau moyenne LaTeX: H_0.

Solution analytique

On reconnait une équation de type Bessel:

LaTeX: 
x^2y''+(2p+1) x y'+(\alpha^2x^{2r}+\beta^2)y=0

La solution de cette équation est donnée par:

LaTeX: 
y=x^{-p} \left[ c_{1}  J_{P/r} (\alpha x^{r}/r) + c_{2}  Y_{P/r} (\alpha x^{r}/r) \right]

Les fonctions LaTeX:  J_{P/r} et LaTeX:  Y_{P/r} sont les fonctions de Bessel respectivement de première et de seconde espèce.

Dans notre cas, nous avons : LaTeX:  p=1/2, \beta=0, \alpha^2=k_f^2 , r=1/2 avec LaTeX:  P=\sqrt{p^2-\beta^2}=0
d'où:

LaTeX: 
h(x)=\dfrac{ 1 } { \sqrt x} \left[ c_{1}  J_{1} (2k_f\sqrt x)+c_{2}  Y_{1} (2k_f\sqrt x) \right]e^{-i\sigma t}

L'équation de quantité de mouvement nous permet de calculer la vitesse LaTeX:  u(x,t):

LaTeX: 
b\dfrac{ \partial h } { \partial t}+\dfrac{ \partial }{ \partial x} (bHu)=0<br />

soit:

LaTeX: 
bHu=i\sigma \dfrac{ b_0 } { x_0}e^{-i\sigma t} \int_{x} \sqrt x \left[  c_{1}  J_{1} (2k_f \sqrt x)+c_{2}  Y_{1} (2k_f \sqrt x) \right]\, \mathrm dx

Posons: LaTeX: z=2k_f \sqrt x , il vient : LaTeX: dz=k_f \dfrac{1}{\sqrt x} dx et LaTeX: dx= \dfrac{z}{2k_f^2}dz

En substituant ces expressions dans l'équation précédente, nous obtenons:

LaTeX: bHu= \dfrac{ b_0 } { x_0}  \dfrac{ i\sigma} { 4k_f^3} e^{-i\sigma t} \int_{x} z^2 \left[  c_{1}  J_{1} (z)+c_{2}  Y_{1} (z) \right]\, \mathrm dz
Pour calculer cette intégrale, nous utilisons la relation de récurrence suivante : LaTeX: 
\dfrac{d}{dx} (x^n J_{n}(x))=x^n J_{n-1}(x) , de même pour LaTeX: Y_{n}(x)
Nous obtenons :
LaTeX: 
u=i\sigma \dfrac{ 1} { k_f}  \dfrac{x_0} { H_0}  \dfrac{1} { x} \left[  c_{1}  J_{2} (2k_f \sqrt x )+c_{2}  Y_{2} (2k_f \sqrt x ) \right]  e^{-i\sigma t}

Synthèse : expression de la solution analytique finale

En résumé, l'expression analytique exprimant la variation du niveau d'eau et de la vitesse moyenne en toute section du domaine sont données par les équations suivantes:

LaTeX: 
h(x,t)=\Re \Bigl(\left \dfrac{ 1} { \sqrt x}  [ c_{1}  J_{1} (2k_f \sqrt x)+c_{2}  Y_{1} (2k_f \sqrt x) \right] e^{-i\sigma t}\Bigr)

LaTeX: 
u(x,t)=\Re \Bigl( i\sigma \dfrac{ 1} { k_f}  \dfrac{x_0} { H_0}  \dfrac{1} { x} \left[ c_{1}  J_{2} (2k_f \sqrt x) + c_{2}  Y_{2} (2k_f \sqrt x) \right] e^{-i\sigma t}}\Bigr)

A partir des expressions générales de LaTeX: h(x,t) et de LaTeX: u(x,t), nous pouvons déterminer la solution en fixant 2 conditions aux limites du domaine. Nous allons considérer les deux cas suivants:

  • propagation d'une onde incidente à partir de l'aval (droite) vers l'amont du domaine avec condition de sortie libre à l'extrémité amont (gauche)
  • réflexion de la même onde incidente à partir de l'aval (droite) vers l'amont avec condition de réflexion totale à l'extrémité amont (gauche)

Configuration n°1 : estuaire sans frottement - sortie libre

Nous allons imposer 2 conditions limites pour déterminer les deux constantes d'intégration.

  • une condition limite aval d'entrée de l'onde à l'intérieur du domaine par la droite LaTeX:  h(x_1,t)=A(x_1,t) e^{-i\sigma t}=a(x_1,t)e^{i(kx_1 -\sigma t)}=a(x_1,t)e^{i\phi} \quad\forall t
  • une condition limite amont de sortie de l'onde sous forme de condition de sortie libre de type Sommerfeld:

LaTeX:  h(x,t)=a(x_0) e^{i\phi }

En dérivant cette expression, nous obtenons:

LaTeX:  \dfrac{  dh }{ dx }=e^{i\phi}\dfrac{ da }{ dx }+iae^{i\phi}\dfrac{  d\phi }{ d x }

Chaque terme exprime un processus:

  • prise en compte du shoaling : LaTeX:  \dfrac { d a }{ d x }=- \dfrac { 1 }{ 4 } \dfrac { p_0 }{ H } a. La pente étant nulle, le terme de shoaling s'annule.
  • équation eikonale : LaTeX:  \dfrac{ d\phi }{ d x }=k (LaTeX:  k est le nombre d'onde)

Nous obtenons:

LaTeX:  \dfrac{ d h }{ d x }= ae^{i\phi}(-\dfrac{1}{4}\dfrac{p_0}{H}+ik)

ou encore:

LaTeX:  \dfrac{ d h }{ d x }= A(x,t)e^{-i\sigma t}(-\dfrac{1}{4}\dfrac{p_0}{H}+ik)

soit:

LaTeX:  (1) \qquad \dfrac{ d A }{ d x }= A(x,t)(-\dfrac{1}{4}\dfrac{p_0}{H}+ik)

Or LaTeX: 
A=\dfrac{1}{\sqrt x}\Big( c_{1} J_{1} (2k_f \sqrt x )+c_{2} Y_{1} (2k_f \sqrt x ) \Big)

En dérivant cette expression, nous obtenons:

LaTeX: (2)  \qquad \dfrac{dA}{dx}=-\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{x\sqrt x }\Big[c_{1} J_{1} (2k_f \sqrt x )+c_{2} Y_{1} (2k_f \sqrt x ) \Big] - \dfrac{k_f}{x} \Big[ c_{1} J_{2} (2k_f \sqrt x )+c_{2} Y_{2} (2k_f \sqrt x ) \Big]

sachant que :
LaTeX:  \dfrac {d } {dz}   J_{1}(z) =- J_{2} (z)\quad \text{et}\quad \dfrac {d } {dz}   Y_{1}(z) =- Y_{2} (z)

En applicant la relation (2) en LaTeX:  x=x_0  et en posant :
LaTeX: \gamma =-\dfrac{1}{2 }-ikx_0 \qquad\text {et} \qquad \delta=-k_f \sqrt x_0
Nous obtenons le système suivant à résoudre pour calculer les coefficients :LaTeX:  c_{1} \text {et} c_{2}

LaTeX: 
\begin{cases} 
c_{1} ( \gamma J_{1}^0 + \delta J_{2}^0 )+ c_{2}( \gamma Y_{1}^0 + \delta Y_{2}^0 )=0
\\
\\ 
c_{1}J_{1}^1 +c_{2}Y_{1}^1 =A_1 \sqrt x_1
\end{cases}

Ceci conduit à la solution suivante :

LaTeX: 
\begin{cases} 
D=( \gamma J_{1}^0 + \delta J_{2}^0 ) Y_{1}^1 - ( \gamma Y_{1}^0 + \delta Y_{2}^0 )J_{1}^1
\\
D_{c_1}=-A_1\sqrt  {x_1}( \gamma Y_{1}^0 + \delta Y_{2}^0 )
\\
D_{c_2}=A_1\sqrt {x_1} ( \gamma J_{1}^0 + \delta J_{2}^0 )
\\ 
c_1=D_{c_1}/D \qquad c_2=D_{c_2}/D
\\
h(x,t)=\Re \Bigl(\left \dfrac{ 1} { \sqrt x}  [ c_{1}  J_{1} (2k_f \sqrt x)+c_{2}  Y_{1} (2k_f \sqrt x) ] e^{-i\sigma t}\Bigr)
\\
u(x,t)=\Re \Bigl( i\sigma \dfrac{ 1} { k_f}  \dfrac{x_0} { H_0}  \dfrac{1} { x} \left[ c_{1}  J_{2} (2k_f \sqrt x) + c_{2}  Y_{2} (2k_f \sqrt x) \right] e^{-i\sigma t}}\Bigr)
</p><p>\end{cases}

Cas d'application : translation d'une onde sinusoïdale

Les caractéristiques de cet exemple sont les suivantes:

  • longueur du canal : 10 000 km
  • période de la marée : 900s
  • amplitude : 1 m à l'amont
  • pente du fond : 0,0001 m/m
  • profondeur à l'entrée du canal à l'aval : 100 m et à sa sortie amont : 20 m

L'animation suivante représente la propagation d'une onde de marée de 12 heures dans un estuaire dont le fond remonte linéairement et les berges convergent linéairement.

Sortie libre ss frottement.gif
Enveloppe Sortie libre pb=0.001 - K=0 - pf=0.00112.gif

Cet exemple montre que l'onde générée à l'aval (droite sur le schéma) avec une amplitude de 1m se propage vers l'amont (gauche) en se déformant : diminution de la longueur d'onde, augmentation de l'amplitude.
A l'extrémité gauche, cette onde sort du domaine sans générer d'onde de réflexion, ce qui valide la condition de sortie libre utilisée ici.
Le terme de shoaling introduit est d'un ordre de grandeur inférieur au terme eikonale et ne produit aucune modification sensible à la sortie de l'onde. Par ailleurs, la courbe enveloppe montre clairement une amplification du signal vers l'amont. Comparaison avec le code de calcul TELEMAC2D

Configuration n°2 : estuaire sans frottement - réflexion d'une onde à l'intérieur du domaine / berges et fond linéaires

Introduisons les conditions limites suivantes, qui correspondent à :

  • une condition limite aval d'entrée de l'onde à l'intérieur du domaine par la droite LaTeX:  h(x_1,t)=A_1(x_1,t) e^{-i\sigma t}\quad\forall t
  • une condition limité amont de réflexion totale de l'onde LaTeX:  u(x)=0 \quad\forall t

Nous aboutissons au système suivant :

LaTeX: 
\begin{cases} 
c_1 J_{2}^0+c_2 Y_{2}^0 =0  
\\
\\ 
c_1 J_{1}^1+c_2 Y_{1}^1 =A_1 \sqrt {x_1}
\end{cases}
Dont la résolution conduit à:
LaTeX: 
\begin{cases} 
D= J_{2}^0 Y_{1}^1 - J_{1}^1 Y_{2}^0
\\
D_{c_1}=-A_1\sqrt x_1 Y_{2}^0
\\
D_{c_2}=A_1\sqrt x_1 J_{2}^0
\\ 
c_1=D_{c_1}/D \qquad c_2=D_{c_2}/D
\\
h(x,t)=\Re  \Bigl(\left  \dfrac{1} { \sqrt x}  [ c_{1}  J_{1} (2k_f \sqrt x)+c_{2}  Y_{1} (2k_f \sqrt x) \right] e^{-i\sigma t}\Bigr)
\\
u(x,t)=\Re \Bigl( i\sigma \dfrac{ 1} { k_f}  \dfrac{x_0} { H_0}  \dfrac{1} { x} \left[ c_{1}  J_{2} (2k_f \sqrt x) + c_{2}  Y_{2} (2k_f \sqrt x) \right] e^{-i\sigma t}}\Bigr)
</p><p>\end{cases}
On vérifie bien que LaTeX:  h(x_1,t) = A_1 e^{-i\sigma t}

Cas d'application : réflexion d'une onde sinusoïdale

Le même cas que ci-dessus est utilisé, mais en imposant une condition limite de réflexion à l'amont. Dans ce cas, une onde réfléchie de même période, de même amplitude mais de sens de propagation opposée vient se superposer à l'onde incidente. Ceci conduit donc au niveau de la frontière "mer" (de droite), à imposer 2 fois l'amplitude de l'onde incidente à la frontière "mer".

[[Documents.gif]]
Enveloppe Réflexion totale pb=0.001 - K=0 - pf=0.001 V224.gif


Cette animation montre la formation de ventres et de creux réguliers ce qui représente une réflexion totale.

La longueur d'onde diminue de manière progressive vers l'amont en fonction de la hauteur d'eau. On note également une augmentation de l'amplitude des battements vers l'amont.

Ainsi, en l'absence de tout frottement, l'onde se propage sans perte d'énergie sous l'effet de la contraction des berges et de la pente du fond (à comparer avec le cas similaire sans pente où l'on n'observe aucune déformation).

Comparaison avec le code de calcul TELEMAC2D


Propagation d'une onde dans un estuaire à pente... par Wikhydro

Configuration n°3 : Estuaire HYPERSYNCHRONE avec frottement / K=80

Nous avons repris le cas précédent de la propagation de l'onde avec une sortie libre, mais nous lui avons rajouté un peu de frottement sous la forme d'un coefficient de Strickler de 50.

K80.gif
Eveloppe Sortie libre pb=0.001 - K=80 - pf=0.00112.gif


L'animation montre un effet certain mais de faible amplitude sur l'évolution du niveau d'eau. Celui-ci est tout de même légèrement amorti par rapport à la solution sans frottement (configuration n°1). La courbe enveloppe montre l'effet d'amplification du signal vers l'amont (gauche)

Comparaison avec TELEMAC 2D

Configuration n°4 : Estuaire HYPOSYNCHRONE avec frottement / K=50

Nous avons repris le cas précédent de la propagation de l'onde avec une sortie libre, mais nous lui avons rajouté un peu plus de frottement sous la forme d'un coefficient de Strickler de 50.


K50.gif
Eveloppe Sortie libre pb=0.001 - K=50 - pf=0.00112.gif

L'animation montre un effet certain, plus important que dans le cas précédent sur l'évolution du niveau d'eau. Celui-ci est beaucoup plus amorti par rapport à la solution sans frottement (configuration n°1).

La courbe enveloppe montre une nette atténuation du signal vers l'amont, ce qui rend l'estuaire hyposynchrone.

Comparaison avec le code de calcul TELEMAC2D

Conclusion générale sur la simulation de la propagation d'une onde dans un estuaire à pente du fond constante et à section constante

Les travaux qui ont été à l'origine de ce papier ont permis de dériver les équations susceptibles de représenter l'entrée d'une onde dans un estuaire caractérisé par un fond en pente linéarisée ascendant vers l'amont et un gabarit dont les berges convergent linéairement également vers l'amont.

Plusieurs enseignements peuvent être tirées de ces résultats:

  • les conditions limites de sortie libre de Sommerfeld donnent toutes satisfactions : l'on sort sans générer en interne du domaine des ondes de réflexion
  • la condition de réflexion totale imposée en fond d'estuaire représente donc bien le phénomène par la solution analytique. Par contre, l'utilisation du code numérique génère également une onde de réflexion à l'intérieur du domaine qui vient se superposer à la condition limite amont et nuit à la restitution correcte, allant même jusqu'à faire exploser le modèle. Un remarque est ici nécessaire sur ce que l'on représente exactement avec la solution limite. Si l'on veut représenter la superposition de l'onde incidente et de l'onde réfléchie, il faut doubler l'onde à la condition limite. Ainsi, on voit ici que l'enrichissement des 2 méthodes est réciproque.
  • la prise en compte d'un frottement est également fort instructif. Tout d'abord, il faut rappeler que sans frottement, l'estuaire est HYPERSYNCHRONE, du fait de sa pente ascendante et de son gabarit rétréci. Si l'on rajoute un peut de frottement (K=80), l'onde diminue, ce qui est bien conforme à la théorie.Par contre, si le frottement augmente, le train d'onde est beaucoup plus écrasé en amplitude, amenant même l'estuaire à devenir HYPOSYNCHRONE.

Bibliographie

  • Le Méhauté B., "An Introduction to Hydrodynamics & Waterways" Springer-Verlag, 1976, 315 p.
  • Thual O., "Hydrodynamique de l'environnement", Les éditions de l'Ecole Polytechnique, Oct. 2011, 314 p.
  • Dinguemans M. W., "Water Wave Propagation Over Uneven Bottoms - Part 1 - Linear Wave Propagation", Advanced Series on Ocean Engineering - Volume 13, World Scientific, 471 p.
  • Dinguemans M. W., "Water Wave Propagation Over Uneven Bottoms - Part 2 - Non-Linear Wave Propagation", Advanced Series on Ocean Engineering - Volume 13, World Scientific, 494 p.
  • Tanguy J.M. "Traité d'hydraulique environnementale", vol.2, "processus maritimes", reps. publi. JM Tanguy, Ed. Hermès - Lavoisier, 2010.
  • site du SHOM et plus particulièrement une page dédiée aux courants de marée
  • D. Prandle and M. Rahman, "Tidal Respo,se in Estuaries" Journal of the Physical Oceanography, Vol. 10, pp 1552 - 1573, 1980

Code Scilab

Les animations précédentes ont été réalisées à l'aide le l'application SCILAB.
Elles peuvent être utilisées pour reproduire le graphique. Il suffit de sélectionner l'ensemble du texte dans le fichier *.pdf et de le copier dans l'éditeur du logiciel puis d'exécuter le programme. Le fichier est disponible ici : Fichier:Estuaire avec correction.pdf fournit le code SCILAB du programme qui fournit les animations précédentes.



Le créateur de cet article est Jean-Michel Tanguy
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