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ANSWER - Vagues de faible amplitude - théorie linéaire

De Wikhydro

Sommaire

Eléments de contexte

Cette page fait partie de la démarche collaborative ANSWER, dont l'objectif est créer les conditions de collaboration entre scientifiques et grand public autour du domaine de l'eau.

Quatre sous-domaines ont été identifiées : hydraulique fluviale, hydraulique maritime, hydrogéologie et morphodynamique.

Cette fiche fait partie du sous-domaine hydraulique maritime. Elle a été réalisée à partir des collaborations suivantes :

Modélisation mathématique Clips laboratoire Clips nature Modélisation numérique
Jean-Michel Tanguy (1) Jérôme Brossard (2) Jean-Michel Tanguy (1) Sans objet

Les houles en mer et sur le littoral

Les vagues sont générées par le vent sur l'ensemble des mers du globe par un effet de cisaillement sur la surface de l'eau. en fonction de la vitesse du vent, plusieurs fréquences de vagues sont générées et se propagent ensuite en train d'ondes. Quand le vent faiblit, ou si les vagues se propagent vers l'extérieur de la zone ventée, continuant à se propager librement, c'est ce qu'on appelle la houle.

La houle se propage en haute mer en se déformant à cause des vents rencontrés pendant sa propagation, mais également des courants marins.

En arrivant sur le plateau continental, les houles sont sujettes à l'influence des fonds marins qui se fait progressivement sentir au fur et à mesure de leur propagation. Leur célérité est alors directement proportionnelle à la racine carrée de la longueur d'onde (ce phénomène a été expliqué par Sir Isaac Newton 1643-1727), ce qui implique que les houles de tempêtes de plus grande longueur d'onde arrivent en premier sur la côte; les ondes les plus courtes suivent ensuite. Ce phénomène était connus de nos anciens qui anticipaient l'arrivée de tempêtes par observation des houles à la côte.

Peu après, le mathématicien Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813) établit une nouvelle théorie qui indiquait que la célérité était proportionnelle à la racine carrée de la profondeur d'eau, ce qui semblait en opposition avec la théorie de Newton.

Ce fut le mathématicien suisse Leonard Euler (1707 - 1783) qui rassembla ces deux théories en établissant les équations hydrodynamiques qui portent aujourd'hui son nom et qui constituent une formulation infinitésimale de la deuxième loi de Newton (« La force est égale au produit de la masse par l'accélération ») appliquée aux particules d'un fluide, remettant chaque découverte dans son contexte : la théorie de Newton pour les grands fonds en haute mer et sur le plateau continental éloigné; la théorie de Lagrange pour les petits fonds près des côtes.

Lorsqu'elles atteignent les petits fonds, les houles commencent à se déformer en amplitude, en longueur d'onde, devenant dissymétriques, mais aussi en direction en se concentrant ou se dispersant en fonction de la configuration du littoral : des pics ou des baies et finissant par déferler sur les petits fonds. A proximité des hauts fonds, les houles exercent sur la masse d'eau des contraintes internes non-linéires qui sont à l'origine de courants : courant littoral parallèle à la côte et courant perpendiculaire à la côte. Ces courants et ces vagues sont responsables de l'essentiel des mouvements de sédiments sur les plages : érosions, dépôts, formation de barres … Les vagues sont donc un élément de la dynamique océanique, qui ne peut pas être étudié séparément.

En pratique les régions de génération, de propagation, de déformation et de déferlement peuvent se chevaucher, par exemple la "mer du vent" est souvent mélée à la houle. La propagation des vagues est aussi influencée par les courants, ce qui peut générer des vagues monstrueuses comme au large de l'Afrique du Sud. Les vagues modifient aussi les courants et le niveau d'eau.

Par leur vocation opérationnelle de gestion et de diffusion de l'information concernant l'environnement, les offices météorologiques (en France Météo-France) sont tout désignés pour mener à bien la prévision opérationnelle des états de mer et sa valorisation: en effet les champs de vent prévus sont les "moteurs" des modèles de prévision de vagues. Le site PREVIMER fournit ainsi sur les côtes françaises des prévisions de houle, mais aussi de niveau, de courant, de température, de salinité et de production primaire.

Les vagues sont observées par un réseau de bouées qui fournissent des données disponibles sur le site du centre d'archivage CANDHIS. Elles sont également suivies par satellite.


Les houles : un phénomène ondulatoire

Le vagues, les houles sont des phénomènes ondulatoires et se comportent comme telles lors de leur propagation et de leur arrivée sur le littoral. Elle se superposent en premier lieu à la marée et aux autres phénomènes ondulatoires tels que les tsunamis et interagissent avec d'autres phénomènes marins tels les courants marins. Elles peuvent se combiner entre elles soit de manière linéaire, auquel cas leurs trains d'onde se croisent sans s'influencer, soit de manière non linéaire où leurs fréquences sont modifiées. On trouve notamment dans ce dernier cas les vagues célérates (freak waves) qui peuvent atteindre de très grandes hauteurs et provoquer des dégâts importants aux bateaux (voir par exemple video)

Aux abords des côtes, ces vagues sont modifiées par la présence des fonds selon plusieurs phénomènes qui se superposent :

  • Shoaling: lorsque les vagues se propagent vers des plus hauts fonds, leurs profils se déforment : leur crête qui est à une profondeur plus importante se déplace plus vite que les creux. Le profil a alors tendance à se cambrer vers l'avant et à s'applatir vers l'arrière. Par ailleurs, la lente remontée des fonds produit un raccourcissement de la longueur d'onde et un gonflement de l'amplitude.
  • Réfraction : la réfraction des fonds est tout particulièrement visible lorsqu'un front d'onde arrive avec un angle d'incidence non nul sur une plage. La partie du front d'onde la plus proche de la plage se propage dans des petits fonds et donc avec une célérité inférieure à la partie du font qui est la plus éloignée et qui se propage donc en profondeurs plus importantes. Le front d'onde va donc petit à petit s'orienter pour arriver perpendiculairement à la plage (analogie avec une série de danseurs qui pivote autour de l'un d'eux : les danseurs à l'extrémité de la ligne doivent courir alors que le pivot ne bouge pas). La réfraction (mais ici doublée de diffraction) est également visible lorsque un front d'onde rentre dans une baie : la longueur du front d'onde augmente par répartition de l'énergie. Les orthogonales (perpendiculaires au front d'onde) se dispersent et les vagues perdent en amplitude. A l'inverse, lorsqu'un front d'onde aborde un pic, l'énergie se concentre produisant une concentration des orthogonales et une augmentation de l'amplitude des vagues.
  • Diffraction : à son arrivée sur la côte, les fronts d'onde vont rencontrer un trait de côte qui ne va pas être forcément rectiligne. En particulier, les nombreux ouvrages côtiers : épis, tombolos, digues, quais.. vont interagir avec ces trains d'onde. Lorsque le front d'onde incident arrive par exemple perpendiculairement à un ouvrage mince, il va avoir tendance à diffuser son énergie dans la zone tranquille à l'arrière de l'ouvrage. Les crêtes des vagues vont donc contourner complètement le nez de l'ouvrage pour se propager perpendiculairement à la direction d'incidence derrière l'ouvrage.
  • Réflexion : alors que les plages de sable à pente douce absorbent l'énergie des vagues par déferlement, le littoral rocheux de même que les ouvrages maritimes et portuaires sont constitués de parois dures avec des faces plus ou moins verticales. Ces parois vont avoir tendances à réfléchir les ondes, avec pour conséquence une augmentation du niveau d'eau et l'apparition de phénomène de résonance. La résonance pure, qui ne comporte aucune absorption d'énergie de la paroi, correspond un renvoi dans la direction opposée d'une onde de même période. Les deux ondes, incidentes et réfléchies se combinent et font apparaitre des noeuds et des ventres dont l'amplitude peut doubler. Ces phénomènes sont très pénalisants car ils accroissent l'agitation à l'extérieur des installations portuaires, sont dangereux pour les bateaux et produisent des érosions des fonds, mettant les ouvrages en danger.
  • Déferlement : l'augmentation de la cambrure amont des vagues due à la réfraction et à l'effet de shoaling (gonflement de la houle à la côte) des fonds qui fait que le sommet de la vague se déplace plus vite que le creux, produit un effondrement du sommet des vagues. Les déferlements sont de plusieurs types selon les caractéristiques morphométriques et la pente des plages : déferlement glissant (faibles pentes), déferlement plongeant (pentes intermédiaires) et déferlement à gonflement (forte pente).

Tous ces processus se superposent dans la réalité ajoutant une grande complexité à la compréhension et à la simulation de ces processus.

Observation en nature

La vidéo ci-dessous, prise du haut du phare de la Baleine sur l'Ile de Ré, témoigne de la propagation et de l'intersection de deux trains d'onde de fréquence voisine, ce qui conduit à un carroyage de la surface, phénomène assez spectaculaire!


Houles croisées - phare de la Baleine, Ile de Ré par Wikhydro


Vagues zone de déferlement - Nouvelle Zélande - Waves in the surf zone - New-Zeeland - JM Tanguy
Vagues zone de déferlement - Nouvelle Zélande - Waves in the surf zone - New-Zeeland - JM Tanguy
Vagues zone de déferlement - Nouvelle Zélande - Waves in the surf zone - New-Zeeland - JM Tanguy
Vagues zone de déferlement - Nouvelle Zélande - Waves in the surf zone - New-Zeeland - JM Tanguy

Essai en laboratoire

Pour illustrer le comportement des houles, plusieurs vidéos ont été réalisées au Muséum National d'Histoire Naturelle sur la base d'essais en canal (5 premières vidéos) ainsi qu'à l'université du Havre (pour la vidéo sur l'impact de la plaque immergée sur le comportement des houles).
La conception du canal a été réalisée par l'université du Havre.


Réfraction des houles - Muséum d'histoire... par Wikhydro

La houle en nature - Muséum d'histoire... par Wikhydro

Réflexion des houles - Muséum d'histoire... par Wikhydro

Caractéristiques des houles - Muséum d'histoire... par Wikhydro

Déferlement - Muséum d'histoire naturelle du Havre par Wikhydro

Plaque immergée - Muséum d'histoire naturelle... par Wikhydro

Ces vidéos a été réalisées avec le concours de Jérôme Brossier, enseignant-chercheur à l'université du Havre

Modélisation mathématique du phénomène de propagation d'une onde dans un estuaire

Nous nous proposons de modéliser la propagation d'une onde sur un plan incliné et d'étudier la déformation de la surface libre ainsi que la modification de la longueur d'onde.

Nous prendrons en compte dans cet exemple un canal de section rectangulaire homogène.

Hiérarchie des hypothèses simplificatrices

Les simplifications qui suivent nous permettent de développer un modèle linéaire de propagation d'une onde à l'intérieur d'un domaine à géométrie simplifiée, correspondant à un canal avec une pente de fond, qui peut se rapprocher d'un estuaire schématique à l'intérieur duquel se propage une onde de surcote.

Navier-Stokes

→ fluide incompressible
→ fluide parfait
→ linéarisation : vitesses faibles

Expression du modèle simplifié

Le modèle obtenu grâce aux hypothèses précédentes est le suivant:

Texte de la cellule

LaTeX: \begin{cases}
\dfrac{\partial^2\Phi } {\partial x^2} +\dfrac{\partial^2\Phi } {\partial z^2}=0   \text{          pour   }  -h\le z \le \zeta(x,t)\\
\\
\dfrac{\partial\Phi } {\partial t} +g\zeta =0 \text{          pour   } z=\zeta(x,t) \\
\\
\dfrac{\partial\zeta } {\partial t} =\dfrac{\partial\Phi } {\partial z} \text{          pour   } z=\zeta (x,t) \\
\\
\dfrac{\partial\Phi } {\partial z} =0   \text{          pour   }  z=-h 
\end{cases}

Dessin repère houle.jpg

Solution analytique

Le schéma suivant élaboré sous Pearltrees illustre les différents solutions analytiques dans le domaine maritime.

La présente solution analytique en constitue une perle

Hydraulique maritime dans null (hydrologik)

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La solution analytique du système précédent est donnée par:
LaTeX: \zeta(x,t)=a \cos (kx-\sigma t)
Le potentiel des vitesses par:
LaTeX: \Phi(x,z,t)=\frac{ag}{\sigma} \frac {\cosh [ k(z+h) ] } {\cosh kh} \sin(kx-\sigma t) ]
Les composantes du vecteur vitesse par:
LaTeX: \begin{cases}
u(x,z,t)= \nabla \Phi=\dfrac{agk}{\sigma} \dfrac{\cosh [ k(z+h) ] }  {\cosh kh} \cos(kx-\sigma t)\\
\\
v(x,z,t)= \dfrac {\partial \Phi}{\partial z}=\dfrac{agk}{\sigma} \dfrac{\sinh[ k(z+h) ] } {\cosh kh} \sin(kx-\sigma t)
\end{cases}

et la pression non hydrostatique par: LaTeX: p(x,z,t)=-\rho [gz+ \dfrac{\partial \Phi}{\partial t}]=-\rho g [z-a \dfrac{\cosh [ k(z+h) ] } {\cosh kh} \cos(kx-\sigma t) ]
où : LaTeX: k est le nombre d'onde, LaTeX: \sigma=\dfrac{2\pi } {L} est la fréquence, LaTeX: L est la longueur d'onde, LaTeX: h la profondeur d'eau, LaTeX: a l'amplitude de l'onde, LaTeX: g l'accélération de la pesanteur
Dans des conditions de propagation simple des ondes de surface (fond peu perturbé, pas de diffraction ni de réflexion), les trajectoires des particules peuvent être déterminées en supposant que les mouvements autour d'un point fixe LaTeX: (x_0,z_0) sont petits.

les expressions précédentes des composantes de la vitesse peuvent donc être intégrées et conduisent à :

LaTeX: \begin{cases}
x=x_0+\dfrac{ag}{\sigma} \dfrac{\cosh [ k(z+h) ] }  {\cosh kh} \sin(kx-\sigma t)\\
\\
z=z_0-\dfrac{ag}{\sigma} \dfrac{\sinh [ k(z+h) ] } {\cosh kh} \cos(kx-\sigma t)
\end{cases}

ce qui conduit à la relation:
LaTeX: 
\dfrac{(x-x_0)^2}{A^2} +\dfrac{(z-z_0)^2}{B^2}=1

avec LaTeX: A=\dfrac{ag}{\sigma} \dfrac{\cosh [ k(z+h) ] }  {\cosh kh} et LaTeX: B=\dfrac{ag}{\sigma} \dfrac{\sinh [ k(z+h) ] }  {\cosh kh}

Les particules se déplacent donc en suivant des ellipses centrées en LaTeX: (x_0,z_0).
On peut noter que :

  • en surface : LaTeX: A=\frac{ag}{\sigma} et LaTeX: B=\tanh kh (\frac{ag}{\sigma})
  • au fond : LaTeX: A=\dfrac{ag}{\sigma} \dfrac{1 }  {\cosh kh} et LaTeX: B=0

Si LaTeX: h=\rightarrow \infty alors les trajectoires sont des cercles de rayon LaTeX: \dfrac {ag }  {\sigma}

Dans le cas où deux ondes identiques voyagent dans 2 directions opposées, une onde stationnaire se développe. Elle est constituée d'une succession de ventres et de noeuds dont l'amplitude est double de celle de chaque onde. En combinant ces 2 ondes dont les nombres d'onde sont opposés, nous obtenons:

LaTeX: \zeta(x,t)=2a \cos kx \cos \sigma t

Les composantes du vecteur vitesse par:
LaTeX: \begin{cases}
u(x,z,t)= 2\dfrac{agk}{\sigma} \dfrac{\cosh [ k(z+h) ] } {\cosh kh} \sin kx \sin\sigma t\\
\\
v(x,z,t)=-2\dfrac{agk}{\sigma} \dfrac{\sinh [ k(z+h) ] } {\cosh kh} \cos kx \sin\sigma t\\
\end{cases}

En intégrant les composantes de la vitesse, nous trouvons l'équation de la trajectoire:
LaTeX: \begin{cases}
x=x_0-2\dfrac{ag}{\sigma} \dfrac{\cosh [ k(z+h) ] }  {\cosh kh} \cos kx\sin\sigma t\\
\\
z=z_0-2\dfrac{ag}{\sigma} \dfrac{\sinh [ k(z+h) ] }  {\cosh kh} \sin kx\sin\sigma t
\end{cases}

Soit LaTeX: \dfrac{z-z_0}{x-x_0} = \tanh[k(z_0+h ]\tanh kx_0

Ces vitesses se développent selon une droite dont la pente en un point LaTeX: (x_0,y_0) est donnée par la formule précédente.
Ainsi, pour des valeurs de LaTeX: kx_0=m\pi, soit LaTeX: x_0=m\pi/k, la pente est infinie, ce qui signifie que les particules suivent un mouvement vertical.

Cas d'application

Pour illustrer cette solution analytique, nous choisissons de reproduire la propagation d'une houle régulière dans les 3 configurations suivantes:

  1. Propagation dans un canal avec batteur à gauche, ouvert à droite
  2. Propagation dans un canal avec batteur à droite, ouvert à gauche
  3. Agitation dans un canal fermé des 2 côtés ou avec batteur à gauche et une condition de réflexion parfaite à droite ou inversement

Les paramètres de l'essai sont les suivants:

  • longueur du canal : 10 m
  • demi amplitude de l'onde : 0,1 m
  • profondeur d'eau : 1 m
  • période de l'onde : 1 s

Canal ouvert à droite

L'onde se propage vers la droite. Les paramètres calculés sont les suivants :

  • LaTeX: \sigma = 2\pi/T=6,28 s
  • LaTeX: k=4,03 m^{-1} est donné par l'équation de dispersion
  • la longueur d'onde a la valeur suivante : LaTeX: L= 1,56 m
  • la célérité est donnée par LaTeX: C = L/T= 1,56 m/s

Les valeurs de ces paramètres indiquent que l'essai a lieu en conditions d'"eau profonde" : LaTeX: kh=4>>1

Canal ouvert à droite.gif

Quelques observations:

  • la propagation de la surface libre se fait bien à vitesse constante
  • les vitesses sont en intensité décroissante depuis la surface jusqu'au fond
  • les particules se déplacent dans le sens des aiguilles d'une montre
  • les vitesses sont orientées vers la surface lorsque la surface est en montée et inversement

Canal ouvert à gauche

Les paramètres de la simulation sont les mêmes que pour la simulation précédente, mais la propagation est inversée. A noter que les particules se déplacent dans le sens anti-horaire.

Canal ouvert à gauche.gif

Agitation

Les paramètres sont identiques aux deux simulations précédentes. Cependant, ici les conditions aux parois droite et gauche sont des conditions de réflexion totale.
Physiquement, celles-ci peuvent être générées par un batteur à droite ou à gauche avec une réflexion totale sur le côté opposé.

Agitation.gif

Quelques observations :

  • Une onde stationnaire apparaît sous forme d'une succession de ventres et de nœuds
  • La position des nœuds est donnée par LaTeX:  \cos kx=0
LLaTeX:  x= \dfrac{\pi} {2k} +\dfrac{m} {k}\pi soit LaTeX:  x= 0,39 m ; 1,17 m...
  • Les vitesses oscillent en suivant une même droite plus ou moins inclinée, dont l'intensité diminue vers le fond. Le mouvement des particules est pendulaire le long de cette droite.
  • Cette inclinaison du vecteur vitesse dépend principalement de la position du point par rapport aux ventres et aux nœuds (par exemple, le point en LaTeX:  x= 7 m oscille "presque" à la verticale. Ceci correspond à la valeur de la pente infinie qui a lieu lorsque LaTeX:  \tanh x_0=0, qui donne une valeur voisine de LaTeX:  x=7,02 m).

Bibliographie

  • Le Méhauté B., "An Introduction to Hydrodynamics & Waterways" Springer-Verlag, 1976, 315 p.
  • Thual O., "Hydrodynamique de l'environnement", Les éditions de l'Ecole Polytechnique, Oct. 2011, 314 p.
  • Dinguemans M. W., "Water Wave Propagation Over Uneven Bottoms - Part 1 - Linear Wave Propagation", Advanced Series on Ocean Engineering - Volume 13, World Scientific, 471 p.
  • Dinguemans M. W., "Water Wave Propagation Over Uneven Bottoms - Part 2 - Non-Linear Wave Propagation", Advanced Series on Ocean Engineering - Volume 13, World Scientific, 494 p.
  • Ministère de l’Écologie, de l’Énergie, du Développement durable et de la Mer, "La gestion du trait de côte", éditions QUAE, 2010, 290 pages.

Code Scilab

Les animations précédentes ont été réalisées à l'aide le l'application SCILAB.
Elles peuvent être utilisées pour reproduire le graphique. Il suffit de sélectionner l'ensemble du texte dans le fichier *.pdf et de le copier dans l'éditeur du logiciel puis d'exécuter le programme.

Le fichier est disponible ici : Fichier:Canal plat - houle progressive et agitation.pdf.


Nous sommes bien entendu preneurs de toute amélioration du code source.



Le créateur de cet article est Jean-Michel Tanguy
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