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ANSWER - Propagation-déformation d'une dune de fond par un courant : Différence entre versions

De Wikhydro
(Transport d'une dune par un transport linéaire)
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=== Transport d'une dune par un transport linéaire ===
 
=== Transport d'une dune par un transport linéaire ===
 
Ce transport a une intensité de <math>C_f=1.5 m/h</math><br />
 
Ce transport a une intensité de <math>C_f=1.5 m/h</math><br />
Dans le cas d'un transport linéaire, c'est-à-dire constant tout au long du profil en long de l'écoulement, la bosse se transporte sans se déformer vers l'aval.<br />
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Dans le cas d'un transport linéaire, c'est-à-dire constant tout au long du profil en long de l'écoulement, la bosse se transporte sans se déformer vers l'aval.<br /><br />
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[[File:Dune linéaire.gif|800px]]<br />
 
[[File:Dune linéaire.gif|800px]]<br />
  

Version du 24 avril 2014 à 17:08

Sommaire

Eléments de contexte

Cette page fait partie de la démarche collaborative ANSWER , dont l'objectif est de faire collaborer scientifiques et grand public autour du domaine de l'eau.

Quatre sous -domaines ont été identifiées : hydraulique fluviale, hydraulique maritime, hydrogéologie et morphodynamique.

Le graphe PEARLTREES ci-dessous illustre les solutions analytiques envisageables (perles blanches) et celles qui sont déjà disponibles (perles avec motif) dans le domaine de la morphodynamique.
Pour visualiser une page rédigée, cliquer sur l'une des perles actives.


Morphodynamique dans null (hydrologik)

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Le Groupement d'Intérêt Scientifique "Hydraulique pour l'Ecologie et le Développement durable" (GIS HED2) initie une action collaborative de recensement de solutions analytiques dans le domaine de la mécanique des fluides à surface libre. L'objectif de ce recensement est multiple :

  • il permet de disposer d'une base de référence de cas très simples, qui constituent des simplifications des équations de base et qui permettent de caler des codes de calcul
  • il peut servir d'accompagnement de programmes de formation pour des techniciens, ingénieurs et chercheurs qui souhaitent disposer d'une information très accessible et concentrée en un site

Pour atteindre cet objectif, chaque fiche comprend un rappel des simplifications réalisées, l'expression des modèles simplifiés, la solution analytique correspondante, la résolution d'un problème simple, une proposition de montage en laboratoire et une proposition de réalisation d'images ou de films en nature pour illustrer ce processus. Pour cela, un ensemble de 2 fiches types sont réalisées : l'une théorique (fiche à venir) explicite la méthode d'obtention de la solution analytique, la seconde, plus pratique concerne le traitement de la solution analytique (qui constitue la présente page).

Hiérarchie des hypothèses simplificatrices

Ce thème d’étude concerne l’évolution du fond d’un domaine soumis au transport saturé de sédiments.
Nous nous limiterons ici à l’étude du transport de sédiments non-cohésifs de type sable et nous n’envisagerons que le mode de transport dit saturé, qui se développe lorsque le transport effectif s’ajuste à la capacité de transport de l’écoulement. De manière générale, le transport saturé concerne le transport par charriage ou le transport total (charriage + suspension saturée).
Les simplifications qui suivent nous permettent de développer un modèle non-linéaire de déformation des fonds fluviaux, estuariens ou marins soumis à des contraintes hydrodynamiques exercées par les courants et/les houles. Les courants tout particulièrement exercent sur le fond des contraintes qui peuvent décoller les matériaux du fond, les transporter et les déposer plus loin. Les houles quant à elles, ont davantage pour effet de mettre les sédiments en suspension par un effet de battement vertical.
Les hypothèses simplificatrices sont les suivantes:

continuité des fonds
couplage avec équation de transport : charriage, suspension saturée ou transport total

Expression de l'équation simplifiée

L'équation de continuité des fonds soumis au transport s'écrit:

$ \begin{cases} \dfrac{ \partial Z_f }{ \partial t }+div( \vec {q_s} )=0 } \\ q_s=\alpha Z_f^{-5.5} \end{cases} $

$ q_s $ est exprimé en m3/ml/s. Cette équation peut se mettre sous la forme:
$ \begin{cases} \dfrac{ \partial Z_f }{ \partial t } }+C_f \dfrac{ \partial Z_f }{ \partial x } } =0 \\ avec \dfrac{ dZ_f }{ dt } }=C_f \end{cases} $

Solution analytique

Ce système ci-dessus peut être "résolu" simplement par la méthode des caractéristiques.
Il est en effet équivalent à l'assertion suivante:

$ Z_f $ est constant le long de la caractéristique (ici une droite) $ x=x_0+C_f(t-t_0) $
(voir ci-dessous les 2 faisceaux de caractéristiques).

Nous allons illustrer cette méthode par un exemple:

Il s’agit de reproduire le transport - déformation d’une forme de fond dans un canal à plafond soumis au transport par charriage, c’est-à-dire un canal dont la surface libre reste horizontale durant le processus d’évolution.
Ce canal a une forme rectangulaire et une pente nulle. Sa largeur est de 1 m et le débit qui y transite est de 400 l/s.
La longueur du tronçon modélisé est de 12 m.
La forme du fond a l'allure d'une bosse d'équation :
$ \begin{cases} Z_f=0.3-0.1 \sin^2\Bigl( \dfrac{ \pi (x-2) }{8}\Bigr)\quad \text{pour} \quad x \mathcal{2}[2,10] \\ Z_f=0.3 \qquad \text{ailleurs } \end{cases} $

la profondeur d’eau en section hors dune est de 0,3 m, ce qui donne une surface libre horizontale à la cote 0,6 m. Le débit à l’amont est maintenu constant et égal à 400 l/s. Les valeurs numériques des paramètres utilisés sont:

  • $ \rho_s=2665 Kg/m^3 $
  • $ d_{50}=0.3 mm $
  • $ K_f=80 m^{1/3}/s $

Transport d'une dune par un transport linéaire

Ce transport a une intensité de $ C_f=1.5 m/h $
Dans le cas d'un transport linéaire, c'est-à-dire constant tout au long du profil en long de l'écoulement, la bosse se transporte sans se déformer vers l'aval.

Dune linéaire.gif

Le faisceau des caractéristiques est un ensemble de droites à pente constante et donc parallèles entre elles.

Dune caractéristiques linéaire.gif

Déformation d'une dune par un transport non-linéaire

Pour le transport non-linéaire, l'équation de transport déformation des fonds est donnée par :
$ \dfrac{ \partial Z_f }{ \partial t }+ C_f\dfrac{ \partial Z_f }{ \partial x }=0 } $

$ C_f=2.10^{-9}Z_f^{-6.5} $

$ Z_f $ est la cote du fond pris à partir de la surface de l'écoulement : c'est-à-dire la profondeur d'eau L'animation ci-dessous représente la déformation de la dune soumis au transport non-linéaire des matériaux du fond.

Le transport non-linéaire est particulièrement important $ C_f=\beta Z_f^{-6.5} $, avec $ \beta=2.10^{-9} $
qui représente la célérité de translation de la forme des fonds en tout point.
Cette expression montre que:

  • cette vitesse est d'autant plus importante que la profondeur d'eau est faible, ce qui indique que le sommet de la bosse va se déplacer plus vite que son pied
  • cette différence de vitesse va produire un éboulement numérique qui est visible en fin d'animation à un temps voisin de 27000 s.
  • les pieds amont (x=2 m) et aval (x=8 m) se déplacent très peu car la fonction transport est très amortie à ce niveau

L'animation a été conduite jusqu'au temps t=27000 s.
Ce choc n’a pas d’existence réelle. Il correspondrait en nature à un écroulement de la face aval de la dune, qui ne se produit pas dans la réalité, à cause de l’effet diffusif de la turbulence.


Dune non-linéaire.gif


Le faisceau des caractéristiques qui présente un point de convergence a été tracé pour une partie uniquement de la dune (6 m < x < 8 m). Ce point focal représente un choc et se situe au voisinage de 27000 s.

Dune caractéristiques non linéaires.gif

Essai en laboratoire

Des essais en laboratoires peuvent être envisagés pour reproduire partiellement ces deux phénomènes. En effet, ces derniers ne peuvent être obtenus de manière très pure, car la turbulence de l'écoulement induit des phénomènes qui ne sont pas pris en compte dans les deux cas traités ci-dessus.

Observation en nature

Des videos en nature ou des résultats de modèles numériques pourraient donner une vision dynamique et réaliste du phénomène.

Conclusions

Les deux exemples traités ci-dessus montrent des comportements très différents suivant que le transport est linéaire ou non.

En réalité, les dunes progressent en nature par transport superficiel et alimentation de la face aval qui est le siège d'un courant de retour à axe horizontal.
Par ailleurs, la méthode des caractéristiques est une méthode très simple et très performante pour représenter de manière exacte les équations simplifiées de propagation déformation des formes de fond.

Bibliographie

Francais

  • Le Guennec B. et Tanguy J.M., 2009, "Modèles de transport solide et d'évolution des fonds", Traité d'hydraulique environnementale - Ed. Jean-Michel Tanguy, Hermes-Lavoisier Vol. 4, pp 161-191.
  • Thual O., 2011, "Hydrodynamique de l'environnement, Editions de l'Ecole Polytechnique, 322 p

Anglais

  • Le Guennec B. et Tanguy J.M., 2010, "Solid Transport Models and Evolution of the Seabed", Mathematical Models - Environment Hydraulics series, Ed. Jean-Michel Tanguy, John Wiley, pp 336 - 367.

Code Scilab

// transport déformation d'une dune de fonds par un courant en eau peu profonde
// clin=1 pour transport linéaire et clin=0 pour transport non linéaire
clin=1
ctransp=1
clf()
g=9.81
// caractéristiques du domaine
xmin=0; xmax=12; L=xmax-xmin; ymin=0;
np=121 // nb de points du domaine
lint=L/(np-1)
x=0:L/(np-1):L;x0=x
// position et amplitude de la bosse 
xbm=2;xbM=10;Lbosse=xbM-xbm;
nbxbm=xbm/lint+1;nbxbM=xbM/lint+1;nbmed=(nbxbm+nbxbM)/2
k=%pi/Lbosse; hbosse=0.1;
prof=0.3 // profondeur d'eau en amont et en aval
Zs=0.6
Zf=prof*ones(1,np);Zsurf=Zs*ones(1,np)
nbx=x/lint
arg=(nbxbm-nbxbm:nbxbM-nbxbm)*lint;
Zf(nbxbm:nbxbM)=0.3-hbosse*(sin(k.*arg)^2)
f=gcf()
// définit les dimensions de la figure
f.figure_position
f.figure_size=[1000,500]
//couleurs des aires des courbes
id1=color("white")
id2=color(0,191,255)
id3=color(160,64,0) 
 
npas=30;dt=900
 
// boucle sur les pas de temps
//==============================================================================
 
for j=1:npas
    t=j*dt
    clf
    if clin==1 then ctransp=1.5/3600 // soit 1,5 m/h
    else
        ctransp=2*10^(-9)*(Zf^(-6.5))
    end
    // fixer la couleur du champ de vecteur à "blanc"
    f=gcf()
    f.figure_position; // définit les dimensions de la figure
    d=gca() //définition des axes    d.data_bounds=[xmin,0;xmax,2];
    x=x0+ctransp*t
    d.data_bounds=[xmin,0;xmax,0.6]    
    d.labels_font_size=2;
    d.tight_limits="on";
    d.x_label.font_size = 3;
    d.y_label.text="profondeur en m"
    d.x_location="top"
    plot(x,Zsurf-Zf)
    d.data_bounds=[xmin,0;xmax,0.6] 
    xfpolys([x';xmax;xmax;xmin;xmin],[(Zsurf-Zf)';prof;Zs;Zs;prof],[id2]) 
    xfpolys([x';xmax;xmax;xmin;xmin],[(Zsurf-Zf)';prof;ymin;ymin;prof],[id3]) 
    num=string(j/4)
    if(clin==1) then 
    title('Propagation linéaire d''une forme de fond :...
        '+num+ ' heure(s)','position',[0 0.65],'fontsize',5)
    else 
    title('Propagation non-linéaire d''une forme de fond :...
        '+num+ ' heure(s)','position',[0 0.65],'fontsize',5)
    end
    //GIF export
 
    if(clin==1) then 
    xs2gif(0,'Charriage dune linéaire'+string(j)+'.gif');
    else 
    xs2gif(0,'Charriage dune non-linéaire'+string(j)+'.gif');
    end
    // arrêt des calculs en cas d'éboulement
    arret="false"
    for ij=2:np
        if(x(ij-1)>x(ij)) then arret="true" ;disp(t);break; end
    end
    if(arret=="true") then break; end
end
// dessin des caractéristiques
//g=gcf()
 
h=scf()
clf
g=gca()
t=3600*10
coef=2*10^(-9)
xc=zeros(1,2);yc=xc;
xp=[6,6.1,6.2,6.3,6.4,6.5,6.6,6.7,6.8,6.9,7,7.1,7.2,7.3,7.4,7.5,7.6,7.7,7.8,7.9,8]
nz=size(xp);   
for i=1:nz(2)
    yc(1)=0;yc(2)=t;xc(1)=xp(i)
    np=round(xc(1)/lint+1)
    if(clin==1) then pent=ctransp
    else pent=coef*(Zf(np))^(-6.5) 
    end
    xc(2)=xc(1)+yc(2)*pent 
    plot(xc,yc)
end
title('Déformation non-linéaire d''une dune - droites caractéristiques','fontsize',4)
g.x_label.text ="abscisse (m)";g.x_label.font_size = 3;
g.y_label.text="temps (s)";g.y_label.font_size = 3;
if(clin==1) then 
    g.data_bounds=[6,0;8.6,10000] 
    title('Déformation linéaire d''une dune - droites caractéristiques','fontsize',4)
else 
    g.data_bounds=[6,0;8.6,35000] 
    title('Déformation non-linéaire d''une dune - droites caractéristiques','fontsize',4)
end
h=gcf()
// définit les dimensions de la figure
h.figure_position
h.figure_size=[800,500]
xs2gif(1,'caractéristiques.gif');



Le créateur de cet article est Jean-Michel Tanguy
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