B.23 - Modèles hydrologiques empiriques

Les modèles empiriques sont souvent « boîtes noires »

De nombreux outils de prévision sont des modèles empiriques basés au mieux sur une représentation très schématique du fonctionnement d'un bassin versant ou d'une rivière. Certains sont même des objets totalement « déconnectés » de la physique des écoulements, comme peuvent l'être des relations de régression (par exemple, des relations linéaires ou des réseaux de neurones artificiels).

Il est rarement possible de donner une interprétation « hydrologique » aux prévisions établies à l'aide de ces outils et par suite de suivre « physiquement » la propagation des incertitudes (à partir de leurs sources identifiées). Par ailleurs, l'incertitude épistémique intrinsèque au modèle^[1] est difficilement estimable directement : on aura donc plutôt recours à des méthodes d’estimation de l’incertitude globale (fiche C.07).

De nombreux modèles sont souvent traduits par une ou par un petit nombre d’équations. Il est alors possible d’estimer l’incertitude de prévision liée à l’incertitude sur les entrées (section 2). Cette approche néglige l’incertitude intrinsèque au modèle et donc sous-estime, le plus souvent grandement, l’incertitude de prévision « totale ».

D’autres modèles font des hypothèses implicites sur la structure des erreurs (section 3).

Modèles exprimés par une équation

Considérons une prévision basée sur une équation reliant une ou plusieurs variables explicatives u1, u2, ..., un (par exemple des cumuls de pluie ou des débits en amont) à la variable à prévoir x (un débit, une hauteur, etc.) : . où f est donnée à travers une équation ou une « cascade d'équations » avec des variables intermédiaires.

L’ordre de grandeur de l'incertitude de prévision due à l'incertitude sur les variables explicatives peut être estimée en appliquant le calcul « standard » d'incertitude dans une relation mathématique (fiche A.07).

Exemple 1. La plate-forme de modélisation SOPHIE propose d'employer le modèle de Fabret : .

où Qt est le débit observé à l'instant t, est le cumul de pluie brute sur sont des paramètres.

L'incertitude de prévision due aux incertitudes sur les variables explicatives est estimée par : .

Cette estimation ne prend pas en compte l'incertitude due au modèle qui est très sommaire. Aussi, il est vraisemblable que ce calcul seul conduise à une sous-estimation (potentiellement importante) de l'incertitude de prévision.

Exemple 1bis. Le SPC Seine aval Côtiers normands utilise un modèle PQb avec b variable pour leurs prévisions à Coulonces à 4 heures : , avec b compris entre 0,08 et 0,27.

L’incertitude de prévision due à la connaissance imparfaite des données d’entrée peut être estimée par : .

La pluie de bassin a été estimée égale à 17,8 mm du 15 décembre 2011, 20 h 00 au 16 décembre, 00 h 00. Le débit observé à minuit est de 13,06 m3/s. Le modèle prévoit donc pour un débit à 04 h 00 égal à 19,2 m3/s (b = 0,24 à cet instant de la crue). Si on considère que l’incertitude des pluies lors d’un épisode pluvieux est de l’ordre de 20 %, que l’incertitude du débit (hors extrapolation) est de l’ordre de 10 %, on obtient un ordre de grandeur de .

Si on considère maintenant une partie de l’incertitude intrinsèque du modèle, à savoir que le paramètre b est mal connu, et si on estime son incertitude proche du quart de sa plage d’évolution (0,08 – 0,27) alors l’incertitude de prévision est de l’ordre de :

Bien que cette estimation ne tienne pas compte de toute l’incertitude intrinsèque du modèle mais seulement de l’incertitude sur un paramètre jugé particulièrement incertain, elle est significativement supérieure à la précédente.

Cas des modèles par régression

Le calage d'une régression fait implicitement une hypothèse sur la structure des erreurs de prévision. En se basant sur cette hypothèse, on peut obtenir facilement une estimation théorique de l'incertitude « épistémique ».

Exemple 2. La plate-forme SOPHIE propose également une prévision du débit par régression linéaire à partir d'un ou plusieurs débits en amont :

où désigne le débit à la station s (située en amont) et est une estimation du délai de propagation de la station s au point de prévision. Si le calage des paramètres se base sur les moindres carrés, alors on suppose implicitement que l'erreur présente une structure gaussienne (loi normale). On pourra donc estimer lors du calage l'incertitude due au modèle par la prise en compte de l'écart-type des erreurs résiduelles.