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Calage d'un modèle (HU) : Différence entre versions

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des valeurs observées de cette variable ou de cette grandeur.
 
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D’une manière générale un modèle <math>M</math> peut être représenté par une relation fonctionnelle du type :
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M ≡ f [Sj (x, y,t),
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<center><math>M ≡ f [S_j (x, y,t), E_j (x,y,t), {a, b, …. n(x,y,t)}]</math></center>
Ej (x,y,t), {a, b, …. n(x,y,t)}
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·    Sj                :               variables
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* <math>S_j</math> : variables « calculées » (ou « expliquées ») par le modèle ;
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* <math>E_j</math> : variables de « calcul » (ou « explicantes ») ;
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·     a, b, … :               paramètres.
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* <math>a, b, … n</math> : paramètres.
  
 
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« reproduire » un jeu d’événements ou de données observées.
 
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La qualité
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La qualité du calage peut être appréciée par une fonction d’écart (ou fonction « objectif »), <math>E_c</math>, entre les variables calculées <math>S_{jc}</math> et observées <math>S_{job}</math> dont l’expression générale est :
du calage peut être appréciée par une fonction d’écart (ou fonction
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« objectif »), Ec, entre les variables calculées Sjc et
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observées Sjob dont l’expression générale est :
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Ec = g [Sjc (a, b… n) – Sjob]
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Le choix « optimisé »”
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Le choix « optimisé » des paramètres revient à minimiser la fonction d’écart. Si cette dernière est dérivable, on doit alors résoudre simultanément :
des paramètres revient à minimiser la fonction d’écart. Si cette dernière est
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dérivable, on doit alors résoudre simultanément :
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∂Ec/∂a =
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<center><math>\frac{∂Ec}{∂a} = \frac{∂Ec}{∂b} = … = \frac{∂Ec}{∂n} = 0</math></center>
∂Ec/∂b = … = ∂Ec/∂n = 0
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Le minimum
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Le minimum de <math>E_c</math> peut être également estimé par des techniques de recherche opérationnelle
de Ec peut être également estimé par des techniques de recherche opérationnelle
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d’exploration numérique de l’hypersurface <math>E_c(a, b, …..n)</math>. Il n’existe
d’exploration numérique de l’hypersurface Ec (a, b, …..n). Il n’existe
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cependant pas de fonction d’écart unique pour juger de l’ajustement d’un
 
cependant pas de fonction d’écart unique pour juger de l’ajustement d’un
 
modèle, en particulier lorsqu’il s’agit d’évaluer sa faculté à reproduire une
 
modèle, en particulier lorsqu’il s’agit d’évaluer sa faculté à reproduire une
série chronologique S(t) ([[Hydrogramme (HU)|hydrogramme]] par exemple). Les hydrologues
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série chronologique <math>S(t)</math> ([[Hydrogramme (HU)|hydrogramme]] par exemple). Les hydrologues
 
utilisent souvent le critère de Nash-Sutcliffe qui s’écrit ;
 
utilisent souvent le critère de Nash-Sutcliffe qui s’écrit ;
  
Ec = 1 – [ ∑(Sob(i.Δt)
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<center><math>E_c = 1 – \frac{[ ∑(S_{ob}(i.Δt) – S_c(i.Δt))²]}{[ ∑ (S_{ob} (i.Δt) – S_{mob})² ]}</math></center>
Sc(i.Δt))2] / [ ∑ (Sob (i.Δt)
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Smob)2 ]
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* <math>S_{ob}</math> et <math>S_c</math> : Valeurs observées et calculées au i<sup>eme</sup> pas de temps ;
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et calculées au ieme pas de temps ;
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* <math>Δt</math> : pas de temps de la série chronologique discrétisée ;
Δt               :      pas de temps de la série
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chronologique discrétisée ;
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* <math>S_{mob}</math> : moyenne arithmétique des observations.  
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observations.  
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Ce critère
 
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valeurs Sob (i.Δt) (valeurs maximales ou minimales, valeurs
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au-dessus d’un seuil, etc.).
 
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incertitudes des variables Sob de contrôle mais également celles des
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variables « explicantes » Ej (x,y,t) du modèle. Dès lors, on peut
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variables « explicantes » <math>E-j (x,y,t)</math> du modèle. Dès lors, on peut
 
aisément concevoir que « l’optimisation » classique des paramètres
 
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d’un modèle, sans référence aux erreurs et incertitudes, n’a que peu de chance
 
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chercheurs, notamment en hydrologie, ont ainsi développé le concept
 
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d’ « équifinalité » des paramètres, dégageant des plages de
 
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l’hypersurface Ec (a,b,…n) de variation des valeurs numériques des paramètres
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l’hypersurface <math>E_c (a,b,…n)</math> de variation des valeurs numériques des paramètres
 
pour lesquelles les performances d’un modèle peuvent être considérées comme
 
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équivalentes (Beven, 1996)
 
équivalentes (Beven, 1996)
  
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<u>Pour en savoir plus</u> : Beven K. J. (1996) Equifinality and uncertainty in geomorphological modelling, pp. 289-313, The
en savoir plus : Beven K. J. (1996) Equifinality and uncertainty in geomorphological modelling, pp. 289-313, The
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scientific nature of Geomorphology, ed. Wiley, Chichester, GB
 
scientific nature of Geomorphology, ed. Wiley, Chichester, GB
  
[[Catégorie:Dictionnaire DEHUA]]
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Version actuelle en date du 12 février 2020 à 10:10

Traduction anglaise : Model Calibration

Ajustement des valeurs numériques attribuées aux paramètres d'un modèle afin que les valeurs calculées d’une variable ou d’une grandeur soient aussi proches que possible des valeurs observées de cette variable ou de cette grandeur.

D’une manière générale un modèle $ M $ peut être représenté par une relation fonctionnelle du type :

$ M ≡ f [S_j (x, y,t), E_j (x,y,t), {a, b, …. n(x,y,t)}] $

Avec :

  • $ S_j $ : variables « calculées » (ou « expliquées ») par le modèle ;
  • $ E_j $ : variables de « calcul » (ou « explicantes ») ;
  • $ a, b, … n $ : paramètres.

Suivant la structure du modèle, les valeurs des paramètres peuvent être déduites théoriquement ou empiriquement ou être calculées après un calage consistant à ajuster leur valeur de façon à faire correspondre les prévisions du modèle à des observations. Le calage est donc une opération de détermination des valeurs numériques des paramètres d’un modèle permettant à ce dernier de « reproduire » un jeu d’événements ou de données observées.

La qualité du calage peut être appréciée par une fonction d’écart (ou fonction « objectif »), $ E_c $, entre les variables calculées $ S_{jc} $ et observées $ S_{job} $ dont l’expression générale est :

$ E_c = g [S_{jc} (a, b… n) – S_{job}] $

Le choix « optimisé » des paramètres revient à minimiser la fonction d’écart. Si cette dernière est dérivable, on doit alors résoudre simultanément :

$ \frac{∂Ec}{∂a} = \frac{∂Ec}{∂b} = … = \frac{∂Ec}{∂n} = 0 $

Le minimum de $ E_c $ peut être également estimé par des techniques de recherche opérationnelle d’exploration numérique de l’hypersurface $ E_c(a, b, …..n) $. Il n’existe cependant pas de fonction d’écart unique pour juger de l’ajustement d’un modèle, en particulier lorsqu’il s’agit d’évaluer sa faculté à reproduire une série chronologique $ S(t) $ (hydrogramme par exemple). Les hydrologues utilisent souvent le critère de Nash-Sutcliffe qui s’écrit ;

$ E_c = 1 – \frac{[ ∑(S_{ob}(i.Δt) – S_c(i.Δt))²]}{[ ∑ (S_{ob} (i.Δt) – S_{mob})² ]} $

Avec :

  • $ S_{ob} $ et $ S_c $ : Valeurs observées et calculées au ieme pas de temps ;
  • $ Δt $ : pas de temps de la série chronologique discrétisée ;
  • $ S_{mob} $ : moyenne arithmétique des observations.

Ce critère donne beaucoup de poids aux plus fortes valeurs et il est parfois utilisé sur des variables transformées (logarithmes par exemple). D’autres fonctions d’écart peuvent être utilisées ou être appliquées à une fraction seulement des valeurs $ S_{ob} (i.Δt) $ (valeurs maximales ou minimales, valeurs au-dessus d’un seuil, etc.).

Enfin, la fonction d’écart devrait également prendre en compte les erreurs et incertitudes des variables $ S_{ob} $ de contrôle mais également celles des variables « explicantes » $ E-j (x,y,t) $ du modèle. Dès lors, on peut aisément concevoir que « l’optimisation » classique des paramètres d’un modèle, sans référence aux erreurs et incertitudes, n’a que peu de chance d’améliorer la connaissance des phénomènes et, notamment, de dégager des valeurs de paramètres applicables à des situations non observées. Certains chercheurs, notamment en hydrologie, ont ainsi développé le concept d’ « équifinalité » des paramètres, dégageant des plages de l’hypersurface $ E_c (a,b,…n) $ de variation des valeurs numériques des paramètres pour lesquelles les performances d’un modèle peuvent être considérées comme équivalentes (Beven, 1996)

Pour en savoir plus : Beven K. J. (1996) Equifinality and uncertainty in geomorphological modelling, pp. 289-313, The scientific nature of Geomorphology, ed. Wiley, Chichester, GB

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