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Caractéristique (courbe) (HU)

De Wikhydro
Version du 19 septembre 2019 à 10:10 par (discuter)

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Traduction anglaise : Characteristics

Pour une équation aux dérivées partielles hyperboliques (ou pour un système d'équations aux dérivées partielles), les courbes caractéristiques (ou les surfaces caractéristiques si le système a plus de deux dimensions) sont les courbes (ou les surfaces) sur lesquelles se propagent les perturbations. Les courbes caractéristiques jouent un rôle important dans la résolution des équations régissant les écoulements.

Interprétation intuitive

En hydraulique, il est possible d'imager ces courbes dans un cas simple : imaginons un plan d'eau parfaitement tranquille. A l'instant t = 0, on jette un caillou en un point particulier de ce plan d'eau. Ce caillou provoque l'apparition d'ondes qui se déplacent à partir du point d'impact. Si l'on trace une droite passant par le point d'impact et que l'on représente par la variable x la position d'un point sur cet axe, il est possible de représenter le déplacement de la première onde dans un repère x, t (t représentant le temps).


DEHUA024.png


Figure 1 : Représentation schématique de la propagation d'une perturbation dans l'espace abscisse-temps.

Les deux courbes obtenues sont les courbes caractéristiques de l'équation régissant le phénomène. Elles séparent le domaine en deux sous-domaines aux propriétés très différentes :

·         la partie non hachurée n'est pas encore perturbée par le fait que l'on a jeté un caillou. En fait, l'information « on a jeté un caillou » n'est pas encore arrivé jusqu'en ces points ;

·         la partie hachurée, pour sa part a reçu l'information et son état dépend du fait que l'on a jeté un caillou.

Importance des courbes caractéristiques

Ces courbes jouent un rôle important dans deux domaines :

·         La séparation des régimes d’écoulement (séparation entre régime torrentiel et régime fluvial) ;

·         L’analyse de la stabilité des schémas numériques de résolution des équations.

Considérons par exemple un point quelconque A, situé à l'abscisse x et au temps t. Ce point est situé à l'intersection de deux courbes caractéristiques, l'une provenant de la droite et l'autre de la gauche (des x négatifs et des x positifs). Au temps t - t, ces deux courbes passaient respectivement par les positions x - x et x + x. Ceci signifie que l'état du milieu au point x dépend de l'état du milieu au temps t - t entre les points x - x et x + x, mais qu'il est indépendant de l'état du milieu au même instant et à l'extérieur de ce domaine, l'information n'ayant pas eu le temps d'arriver jusqu'à l'abscisse x.


DEHUA025.png


Figure 2 : Domaine d'influence du point A.

Ceci montre qu’il existe une relation entre la célérité de l’onde et les pas de temps et d’espace qui doit être vérifiée pour assurer la stabilité du schéma de résolution. Cette relation se met sous la forme

DEHUA026.png

, dans le cas d'un schéma explicite.

Dans le cas des équations de Barré de Saint Venant, les ondes se propagent dans un milieu qui est lui-même en mouvement, l'eau s'écoulant de l'amont vers l'aval à la vitesse V. Le déplacement des ondes dans un repère fixe x, t s'effectue donc à la vitesse V + c pour l'onde « descendante » (allant de l'amont vers l'aval) et à la vitesse V - c pour l'onde « montante ».

On retrouve ainsi simplement la condition de Courant-Friedrisch-Levy :


DEHUA027.png

, dans le cas d'un schéma explicite.

Il est important de préciser que l'établissement de cette condition nécessite que la dérivée seconde de la relation entre la section mouillée et la hauteur soit nulle, c'est-à-dire pratiquement, que la section soit rectangulaire. On peut également noter que si l'onde se déplace moins vite que l'eau (c < V), les deux ondes vont de l'amont vers l'aval. Il s'agit alors d'un régime hypercritique (torrentiel) dont la résolution nécessite deux conditions aux limites à l'amont, alors que dans le cas d'un régime fluvial, la résolution se fait à partir d'une condition amont et d'une condition aval. Voir Ecoulement.

Méthode des caractéristiques

Sur une courbe caractéristique, il existe une relation entre le temps et l'espace. Cette relation peut être utilisée pour remplacer les équations aux dérivées partielles hyperboliques par un système d'équations différentielles totales. En hydraulique, cette méthode est parfois utilisée pour résoudre le système d'équations de Barré de Saint Venant.

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