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Continuité (équation de) (HU) : Différence entre versions
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Relation traduisant la conservation de la masse (ou plus simplement du volume si on néglige la compressibilité de l'eau), dans un élément hydrologique quelconque ([[Tronçon (HU)|tronçon]], [[Bassin de retenue (HU)|bassin de retenue]], [[Bassin versant (HU)|bassin versant]], etc.). On devrait d'ailleurs plutôt dire équation de conservation. | Relation traduisant la conservation de la masse (ou plus simplement du volume si on néglige la compressibilité de l'eau), dans un élément hydrologique quelconque ([[Tronçon (HU)|tronçon]], [[Bassin de retenue (HU)|bassin de retenue]], [[Bassin versant (HU)|bassin versant]], etc.). On devrait d'ailleurs plutôt dire équation de conservation. | ||
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| − | <center><math>\int\int\int_D\left\frac{\partial ρ}{\partial t}+ | + | <center><math>\int\int\int_D\left(\frac{\partial ρ}{\partial t}+div(ρ.\overrightarrow V)\right) = 0 \quad (1)</math></center> |
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* <math>x, y, z</math> : variables d'espace. | * <math>x, y, z</math> : variables d'espace. | ||
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| − | * | + | * <math>Q_s(t)</math> : débit total sortant de l'élément (<math>m^3/s</math>). |
Cette relation est utilisée directement sous cette forme dans les modèles de simulation des bassins de retenue ainsi que dans certains modèles de propagation en réseau (modèle [[Muskingum (Modèle) (HU)|Muskingum]], modèles de [[Stock (modèle de) (HU)|stock]], etc.). | Cette relation est utilisée directement sous cette forme dans les modèles de simulation des bassins de retenue ainsi que dans certains modèles de propagation en réseau (modèle [[Muskingum (Modèle) (HU)|Muskingum]], modèles de [[Stock (modèle de) (HU)|stock]], etc.). | ||
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| − | * S (x, t) | + | * <math>S(x,t)</math> : [[Section mouillée (HU)|section mouillée]] au point <math>x</math>, à l'instant <math>t</math> (<math>m^2</math>) ; |
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| − | * | + | * <math>q_e(x,t)</math> : débit entrant ou sortant du bief au point <math>x</math> à l'instant <math>t</math> (<math>m^3/s</math>). |
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Sous l'une ou l'autre de ces formes, cette équation constitue la base de toute simulation d'un système hydraulique. Sa vérification est indispensable à la bonne qualité de la modélisation. | Sous l'une ou l'autre de ces formes, cette équation constitue la base de toute simulation d'un système hydraulique. Sa vérification est indispensable à la bonne qualité de la modélisation. | ||
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Version du 25 juin 2020 à 09:32
Traduction anglaise : Continuity equation
Dernière mise à jour : 24/1/2020
Relation traduisant la conservation de la masse (ou plus simplement du volume si on néglige la compressibilité de l'eau), dans un élément hydrologique quelconque (tronçon, bassin de retenue, bassin versant, etc.). On devrait d'ailleurs plutôt dire équation de conservation.
Sommaire |
Formulation générale
L'équation de continuité repose sur un principe de physique qui permet d'établir une relation entre certaines caractéristiques du fluide et ses mouvements, indépendamment des causes qui les provoquent. Sa formulation générale sur un domaine quelconque $ D $ est la suivante :
Soit
Avec :
- $ ρ $ : masse volumique du fluide ($ kg/m^3 $) ;
- $ \overrightarrow V $ : vitesse d'écoulement ($ m/s $) ;
- $ t $ : temps ;
- $ x, y, z $ : variables d'espace.
Simplifications possibles et formulations pratiques en hydrologie urbaine
Dans la plupart des cas on peut considérer que $ ρ $ est une constante. Selon les cas de figures, d'autres simplifications sont possibles et plusieurs formulations peuvent être rencontrées. Les deux plus classiques en hydrologie urbaine sont celle utilisée pour les ouvrages de stockage et celle utilisée dans les équations de Barré de Saint venant
Cas des ouvrages de stockage
Avec :
- $ V_s(t) $ : volume instantané stocké dans l'élément hydrologique considéré ($ m^3 $) ;
- $ Q_e(t) $ : débit total entrant dans l'élément ($ m^3/s $) ;
- $ Q_s(t) $ : débit total sortant de l'élément ($ m^3/s $).
Cette relation est utilisée directement sous cette forme dans les modèles de simulation des bassins de retenue ainsi que dans certains modèles de propagation en réseau (modèle Muskingum, modèles de stock, etc.).
Cas des équations des Barré de saint venant
Dans le cas des écoulements unidimensionnels, l'équation (2) se simplifie (avec l'hypothèse ρ constant) et peut être écrite sous la forme suivante :
Avec :
- $ S(x,t) $ : section mouillée au point $ x $, à l'instant $ t $ ($ m^2 $) ;
- $ Q(x,t) $ : débit circulant dans le bief au point $ x $ à l'instant $ t $ ($ m^3/s $) ;
- $ q_e(x,t) $ : débit entrant ou sortant du bief au point $ x $ à l'instant $ t $ ($ m^3/s $).
C'est sous cette forme qu'elle est mise en œuvre dans les équations de Barré de Saint Venant.
Sous l'une ou l'autre de ces formes, cette équation constitue la base de toute simulation d'un système hydraulique. Sa vérification est indispensable à la bonne qualité de la modélisation.
