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Continuité (équation de) (HU) : Différence entre versions

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(Simplifications possibles et formulations pratiques en hydrologie urbaine)
 
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Relation traduisant la conservation de la masse (ou plus simplement du volume si on néglige la compressibilité de l'eau), dans un élément hydrologique quelconque ([[Tronçon (HU)|tronçon]], [[Bassin de retenue (HU)|bassin de retenue]], [[Bassin versant (HU)|bassin versant]], etc.). On devrait d'ailleurs plutôt dire équation de conservation.
[[Bassin de retenue (HU)|bassin de retenue]], [[Bassin versant (HU)|bassin versant]], etc.).
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== Formulation générale ==
 
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L'équation de continuité repose sur un
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L'équation de continuité repose sur un principe de physique qui permet d'établir une relation entre certaines caractéristiques du fluide et ses mouvements, indépendamment des causes qui les provoquent. Sa formulation générale sur un domaine quelconque <math>D</math> est la suivante :
principe de physique qui permet d'établir une relation entre certaines
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caractéristiques du fluide et ses mouvements, indépendamment des causes qui les
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provoquent. Sa formulation générale sur un domaine quelconque D est la
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* <math>ρ</math> : masse volumique du fluide (kg/m<sup>3</sup>) ;
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* <math>\overrightarrow V</math> : vitesse d'écoulement (m/s) ;
volumique du fluide (kg/m3) ;
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== Simplifications possibles et formulations pratiques en hydrologie urbaine ==
  
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Dans la plupart des cas on peut considérer que <math>ρ</math> est une constante. Selon les cas de figures, d'autres simplifications sont possibles et plusieurs formulations peuvent être rencontrées. Les deux plus classiques en hydrologie urbaine sont celle utilisée pour les ouvrages de stockage et celle utilisée dans les [[Barré de Saint Venant (équations de) (HU)|équations de Barré de Saint venant]]
  
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=== Cas des ouvrages de stockage ===
  
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d'écoulement (m/s) ;
 
 
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t           :   temps ;
 
 
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x, y, z  :   variables d'espace.
 
 
== Formulation pratique ==
 
 
Selon les cas de figure, plusieurs formulations peuvent être
 
rencontrées. Les deux plus classiques en hydrologie urbaine sont les
 
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·    Vs(t)    :      volume instantané
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* <math>V_s(t)</math> : volume instantané stocké dans l'élément hydrologique considéré (m<sup>3</sup>) ;
stocké dans l'élément hydrologique considéré (m3) ;
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* <math>Q_e(t)</math> : débit total entrant dans l'élément (m<sup>3</sup>/s) ;
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* <math>Q_s(t)</math> : débit total sortant de l'élément (m<sup>3</sup>/s).
  
·    Qe(t)    :      débit total entrant
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Cette relation est utilisée directement sous cette forme dans les modèles de simulation des bassins de retenue ainsi que dans certains modèles de propagation en réseau (modèle [[Muskingum (Modèle) (HU)|Muskingum]], modèles de [[Stock (modèle de) (HU)|stock]], etc.).
dans l'élément (m3/s) ;
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·    Qs(t)    :      débit total sortant
 
de l'élément (m3/s).
 
  
Cette relation est utilisée directement sous cette forme
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=== Cas des équations des Barré de saint venant ===
dans les modèles de simulation des bassins de retenue ainsi que dans certains
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modèles de propagation en réseau (modèle [[Muskingum (Modèle) (HU)|Muskingum]],
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modèles de [[Stock (modèle de) (HU)|stock]], etc.).
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Dans le cas des équations de [[Barré de Saint Venant (équations de) (HU)|Barré de
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Dans le cas des écoulements unidimensionnels, l'équation (2) se simplifie (avec l'hypothèse ρ constant) et peut être écrite sous la forme suivante :
Saint Venant]], et pour les écoulements unidimensionnels,
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le pas d'espace est un élément différentiel, cette équation est alors écrite
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sous une forme différente :
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<center><math>\frac{dQ(x,t)}{dx}+\frac{dS(x,t)}{dt}=q_e(x,t) \quad (4)</math></center>
  
  
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* <math>S(x,t)</math> : [[Section mouillée (HU)|section mouillée]] au point <math>x</math>, à l'instant <math>t</math> (m<sup>2</sup>) ;
S (x, t)    :   [[Section mouillée (HU)|section
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* <math>Q(x,t)</math> : débit circulant dans le bief au point <math>x</math> à l'instant <math>t</math> (m<sup>3</sup>/s>) ;
mouillée]] au point x, à l'instant t (m2) ;
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* <math>q_e(x,t)</math> : débit entrant ou sortant du bief au point <math>x</math> à l'instant <math>t</math> (m<sup>3</sup>/s).
 
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Q (x, t)    :   débit circulant dans le bief au point x à
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l'instant t (m3/s) ;
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·   
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C'est sous cette forme qu'elle est mise en œuvre dans les équations de [[Barré de Saint Venant (équations de) (HU)|Barré de Saint Venant]].
qe (x, t)  :   débit
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entrant ou sortant du bief au point x à l'instant t (m3/s).
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Sous l'une ou l'autre de ces formes, cette équation
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Sous l'une ou l'autre de ces formes, cette équation constitue la base de toute simulation d'un système hydraulique. Sa vérification est indispensable à la bonne qualité de la modélisation.
constitue la base de toute simulation d'un système hydraulique. Sa vérification
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est indispensable à la bonne qualité de la modélisation.  
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[[Catégorie:Dictionnaire DEHUA]]
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[[Catégorie:Dictionnaire_DEHUA]]
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[[Catégorie:Généralité_modélisation_(HU)]]
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[[Catégorie:Modélisation_des_écoulements_en_réseau_et_en_rivière_(HU)]]
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[[Catégorie:Outils_mathématiques_(HU)]]

Version actuelle en date du 3 octobre 2022 à 15:14

Traduction anglaise : Continuity equation

Dernière mise à jour : 03/10/2022

Relation traduisant la conservation de la masse (ou plus simplement du volume si on néglige la compressibilité de l'eau), dans un élément hydrologique quelconque (tronçon, bassin de retenue, bassin versant, etc.). On devrait d'ailleurs plutôt dire équation de conservation.


Sommaire

[modifier] Formulation générale

L'équation de continuité repose sur un principe de physique qui permet d'établir une relation entre certaines caractéristiques du fluide et ses mouvements, indépendamment des causes qui les provoquent. Sa formulation générale sur un domaine quelconque $ D $ est la suivante :


$ \int\int\int_D\left(\frac{\partial ρ}{\partial t}+div(ρ.\overrightarrow V)\right) = 0 \quad (1) $


Soit


$ \int\int\int_D\left(\frac{\partial ρ}{\partial t}+\frac{\partial ρ.\overrightarrow V}{\partial x}+\frac{\partial ρ.\overrightarrow V}{\partial y}+\frac{\partial ρ.\overrightarrow V}{\partial z}\right) = 0 \quad (2) $


Avec :

  • $ ρ $ : masse volumique du fluide (kg/m3) ;
  • $ \overrightarrow V $ : vitesse d'écoulement (m/s) ;
  • $ t $ : temps (s) ;
  • $ x, y, z $ : variables d'espace (m)

[modifier] Simplifications possibles et formulations pratiques en hydrologie urbaine

Dans la plupart des cas on peut considérer que $ ρ $ est une constante. Selon les cas de figures, d'autres simplifications sont possibles et plusieurs formulations peuvent être rencontrées. Les deux plus classiques en hydrologie urbaine sont celle utilisée pour les ouvrages de stockage et celle utilisée dans les équations de Barré de Saint venant

[modifier] Cas des ouvrages de stockage

$ \frac{dV_s(t)}{dt}=Q_e(t)-Q_s(t) \quad (3) $


Avec :

  • $ V_s(t) $ : volume instantané stocké dans l'élément hydrologique considéré (m3) ;
  • $ Q_e(t) $ : débit total entrant dans l'élément (m3/s) ;
  • $ Q_s(t) $ : débit total sortant de l'élément (m3/s).

Cette relation est utilisée directement sous cette forme dans les modèles de simulation des bassins de retenue ainsi que dans certains modèles de propagation en réseau (modèle Muskingum, modèles de stock, etc.).


[modifier] Cas des équations des Barré de saint venant

Dans le cas des écoulements unidimensionnels, l'équation (2) se simplifie (avec l'hypothèse ρ constant) et peut être écrite sous la forme suivante :


$ \frac{dQ(x,t)}{dx}+\frac{dS(x,t)}{dt}=q_e(x,t) \quad (4) $


Avec :

  • $ S(x,t) $ : section mouillée au point $ x $, à l'instant $ t $ (m2) ;
  • $ Q(x,t) $ : débit circulant dans le bief au point $ x $ à l'instant $ t $ (m3/s>) ;
  • $ q_e(x,t) $ : débit entrant ou sortant du bief au point $ x $ à l'instant $ t $ (m3/s).

C'est sous cette forme qu'elle est mise en œuvre dans les équations de Barré de Saint Venant.

Sous l'une ou l'autre de ces formes, cette équation constitue la base de toute simulation d'un système hydraulique. Sa vérification est indispensable à la bonne qualité de la modélisation.

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