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Ecoulement (HU)

De Wikhydro

Traduction anglaise : Stream, Flow

Dernière mise à jour : 23/3/2020

On parle d'écoulement pour désigner le mouvement d'une masse d'eau à la surface du sol, dans un bief ou une conduite, ou à l'intérieur du sol.

Le régime de l'écoulement caractérise les conditions dans lesquelles l'écoulement s'effectue. Nous traiterons essentiellement des écoulements unidimensionnels (fonction d'une seule variable d'espace). Il est en effet rare en hydrologie urbaine de considérer les écoulements à deux ou trois dimensions, même si le fonctionnement réel des réseaux d'assainissement devrait inciter à une certaine prudence quant aux hypothèses nécessaires pour justifier cette simplification.

Sommaire

Grandeurs caractéristiques d'un écoulement

Ligne d'eau, ligne piézométrique et ligne d'énergie

La hauteur piézométrique est la somme des termes de potentiel et des termes de pression exprimée par rapport au radier de la conduite. Dans le cas d'une répartition hydrostatique de la pression on peut l'écrire conformément à la relation (1) :


$ H_p = z + \frac{p}{ρ.g} = z_0 + h \quad(1) $


Avec :

  • $ H_p $ : hauteur piézométrique ($ m $) ;
  • $ z $ : cote par rapport à une référence arbitraire ($ m $) ;
  • $ p $ : pression ($ Pa $) ;
  • $ ρ $ : masse volumique du fluide ($ kg/m^3 $) ;
  • $ g $ : accélération de la pesanteur ($ m/s^2 $) ;
  • $ z_0 $ : cote du fond par rapport à une référence arbitraire ($ m $) ;
  • $ h $ : hauteur d'eau ($ m $).

On parle parfois de charge piézométrique.

La ligne piézométrique représente l'évolution de la hauteur piézométrique le long de l'écoulement. Dans le cas d'un écoulement à surface libre la hauteur piézométrique est égale à la hauteur d'eau et la ligne piézométrique est confondue avec la ligne d'eau (Voir figure 1).

La charge hydraulique s'exerçant sur un volume élémentaire de fluide s'exprime en hauteur de fluide de la manière suivante (relation (2) :


$ H = z + \frac{p}{ρ.g} + \frac{V^2}{2.g}= z_0 + h + \frac{V^2}{2.g} \quad(2) $


Avec :

  • $ H_p $ : charge hydraulique ($ m $) ;
  • $ V $ : vitesse moyenne du fluide ($ m/s $).

La charge hydraulique est donc la somme d'une hauteur ($ z0 + h $) représentant l'énergie potentielle et la pression et d'un terme représentant l’énergie cinétique ($ \frac{V^2}{2.g} $). La ligne d'énergie représente l'évolution de la charge hydraulique le long de l'écoulement La charge spécifique (ou énergie spécifique) est la charge hydraulique exprimée en hauteur d'eau par rapport au radier de la conduite.

Figure 1 : Ligne piézométrique, ligne d'énergie et charge spécifique.

Hauteur normale et hauteur critique

Dans un écoulement à surface libre :

  • la hauteur normale est la hauteur d'eau atteinte en régime uniforme.
  • la hauteur critique est la hauteur d'eau qui correspond au minimum de l'énergie spécifique. Lorsque la hauteur d'eau devient voisine de la hauteur critique, la pente de la ligne d'eau devient théoriquement infinie. S'il s'agit d'une transition d'un régime torrentiel vers un régime fluvial, le passage de la hauteur critique provoque l'apparition d'un ressaut.

Nombre de Reynolds

Nombre sans dimension apparaissant lorsque l'on écrit les équations de Navier-Stokes sous forme adimensionnelle. Il se met sous la forme :


$ R_e = \frac{V.L}{ν} $


avec :

  • $ V $ : vitesse caractéristique du fluide ($ m/s $) ;
  • $ L $ : dimension caractéristique ($ m $) ;
  • $ ν $ : viscosité cinématique du fluide ($ m^2/s $).

Le nombre de Reynolds permet de séparer les écoulements laminaires ($ R_e < 2000 $) pour lesquels la viscosité joue le rôle principal et les écoulements turbulents ($ R_e > 3000 $) où ce sont les aspects inertiels qui dominent.

Nombre de Froude

Nombre sans dimension apparaissant dans l'écriture adimensionnelle de l'équation de Navier-Stockes. Il se met sous la forme :


$ Fr = \frac{V}{\sqrt{g.h}} \quad = \quad \sqrt{\frac{Q^2.B}{g.S^3}} $


Avec :

  • $ B $ : largeur de la surface libre ($ m $) ;
  • $ g $ : accélération de la pesanteur ($ m/s^2 $) ;
  • $ h $ : hauteur d'eau moyenne ($ h = S / B $) ($ m $) ;
  • $ Q $ : débit ($ m^3/s $) ;
  • $ S $ : section mouillée ($ m^2 $) ;
  • $ V $ : vitesse ($ m/s $).

Le nombre de Froude permet de distinguer les écoulements fluviaux ou infracritiques ($ Fr < 1 $) et les écoulements torrentiels ou supercritiques ($ Fr > 1 $).

Différents régimes d'écoulement

Le régime de l'écoulement est déterminé d'une part par la pente, la forme et la rugosité de la conduite et d'autre part par le débit et la viscosité du liquide. Il existe différentes classifications des régimes d'écoulement, qui peuvent tous se rencontrer dans les réseaux d'assainissement urbains.

On peut ainsi opposer :

Écoulements à surface libre et écoulements en charge

L'écoulement est dit à surface libre lorsqu'il se produit dans un canal à ciel ouvert ou dans une conduite fermée avant que celle-ci ne soit pleine, et tant que la pression de l'air au dessus de la veine liquide est voisine de la pression atmosphérique. Dans ces conditions, l'écoulement possède deux degrés de liberté (la vitesse moyenne de l'eau et la section mouillée). Il n'existe donc pas de relation simple entre le débit et les caractéristiques de l'écoulement, sauf dans le cas très particulier du régime uniforme.

L'écoulement est dit en charge lorsqu'il se produit dans une conduite fermée et que celle ci est pleine. Il n'y a alors plus d'air dans la conduite et la section mouillée de l'écoulement est égale à la section totale de la conduite. Il existe alors une relation linéaire entre le débit et la vitesse moyenne. Dans une conduite totalement en charge, le débit à l'aval est toujours strictement égal au débit à l'amont, du moins si l'on néglige la compressibilité de l'eau ou les déformations possibles des conduites (coups de bélier par exemple).

Les écoulements en charge sont théoriquement exceptionnels dans les réseaux d'assainissement qui doivent être dimensionnés pour écouler à surface libre les débits correspondant à la période de retour choisie comme référence (en général 10 ans). Cependant, du fait du sous-dimensionnement de beaucoup de réseaux d'assainissement, les écoulements en charge et les écoulements à surface libre coexistent fréquemment lors des événements pluvieux importants.

Écoulements turbulents et écoulements laminaires

La distinction entre les régimes laminaire et turbulent se fait selon la valeur du nombre de Reynolds ($ R_e $).

Physiquement, les deux régimes se distinguent par la nature des interactions qui se produisent entre les particules liquides :

  • dans un régime d'écoulement laminaire les trajectoires suivies par deux particules élémentaires du fluide restent toujours strictement parallèles et indépendantes, définissant ainsi des tubes de courant ; dans ce type d'écoulement, il n'y a donc théoriquement aucun brassage des différentes couches constituant l'écoulement ;
  • dans un régime d'écoulement turbulent les trajectoires suivies par deux particules élémentaires du fluide ne sont jamais strictement parallèles ; il y a donc un brassage permanent des différentes couches constituant l'écoulement conduisant à une dissipation plus importante de l'énergie.

Les écoulements laminaires correspondent à une faible valeur du nombre de Reynolds (en conduite circulaire : $ R_e < 2000 $), c'est à dire à des vitesses faibles, à une faible distance entre les parois et à une forte viscosité. Ils ne se rencontrent quasiment jamais en hydrologie urbaine. La viscosité de l'eau n'est en effet pas suffisante pour compenser les diamètres importants des canalisations utilisées dans les réseaux d'assainissement et les vitesses atteintes. Les écoulements turbulents constituent donc la règle générale.

Écoulements permanents et écoulements non permanents

Le régime d'écoulement est dit permanent si ses caractéristiques sont indépendantes du temps. Dans ces conditions, les différentes grandeurs hydrauliques (hauteur, vitesse et débit) conservent toujours la même valeur en un point donné. Dans le cas contraire, on parle de régime non permanent, de régime transitoire, ou encore parfois de régime évolutif. Les écoulements dans les systèmes d'assainissement sont presque toujours fortement non permanents.

Écoulements uniformes et écoulements variés

Le régime uniforme correspond à un écoulement dont les caractéristiques hydrauliques (vitesse, hauteur, débit) sont strictement indépendantes du temps et de la position. Dans ce cas, la pente de la ligne d'eau est parallèle à celle du fond, la répartition des pressions est hydrostatique, tous les filets liquides sont parallèles entre eux et parallèles au fond, la hauteur d'eau est égale à la hauteur normale. Il s'agit de l'écoulement le plus simple que l'on puisse étudier ; il se rencontre de façon très exceptionnelle dans les réseaux d'assainissement.

Lorsque les grandeurs hydrauliques (hauteur et vitesse) varient suffisamment lentement pour que l'on puisse négliger leurs dérivées du deuxième ordre (accélération pour la vitesse, concavité de la ligne d'eau pour la hauteur), l'écoulement est dit graduellement varié. Ce régime est celui auquel on assimile généralement les écoulements dans les réseaux d'assainissement ou dans les rivières.

Lorsque la courbure de la ligne d'eau est trop prononcée pour pouvoir être négligée, l'écoulement est dit rapidement varié. Ce type d'écoulement se rencontre au passage d'un ouvrage spécial (déversoir, vanne, seuil, chute, etc.) ou dans le cas d'un ressaut (passage brutal d'un régime torrentiel à un régime fluvial).

Écoulements à pente forte, à pente critique et à pente faible

Les propriétés hydrauliques d'une rivière ou d'une conduite diffèrent considérablement suivant les valeurs relatives de sa pente, $ formule $I, et de la pente critique, $ I_c $, correspondant au débit :

  • si $ I < I_c $ (c'est à dire si la hauteur normale est au dessus de la hauteur critique), le tronçon est dit à pente faible ;
  • si $ I = I_c $ (hauteur normale et hauteur critique confondues, il est dit à pente critique) ;
  • si $ I > I_c $ (hauteur normale en dessous de la hauteur critique, il est dit à pente forte).

Nota : la pente critique correspond à une valeur de la pente telle que la hauteur critique soit égale à la hauteur normale

Écoulements torrentiels, critiques et fluviaux

La distinction entre le régime fluvial et le régime torrentiel se fait selon la valeur d'un nombre sans dimension apparaissant dans l'équation de Navier : le nombre de Froude : $ F_r $.

  • si $ F_r < 1 $ : le régime est torrentiel et la hauteur d'eau est inférieure à la hauteur critique (on parle parfois d'écoulement supercritique). Dans ces conditions, la célérité des ondes est inférieure à la vitesse de l'eau et une perturbation n'affecte les conditions de l'écoulement qu'à l'aval de son point de départ.
  • si $ F_r > 1 $ : Le régime est fluvial ; la hauteur d'eau est supérieure à la hauteur critique (on parle parfois d'écoulement infracritique). Dans ces conditions, les ondes se propagent plus vite que l'eau et toute perturbation affecte les conditions de l'écoulement à la fois à l'amont et à l'aval de son point de départ.
  • si $ F_r = 1 $ : le régime est dit critique ; il correspond à une profondeur d'eau telle que la charge spécifique soit minimum et à une hauteur d'eau égale à la hauteur critique.

Le débit critique est donné par la formule :


$ Q^2.B = g.S^3 $


Avec :

  • $ Q $ : débit ($ m^3/s $) ;
  • $ B $ : largeur de la surface libre ($ m $) ;
  • $ g $ : accélération de la pesanteur ($ m/s^2 $) ;
  • $ S $ : section mouillée ($ m^2 $) ;

Différents cas selon la valeur du nombre de Froude et la valeur du rapport $ I/I_c $

En croisant le régime d'écoulement et le type de pente, on peut construire la figure 2 qui résume les différents possibilités pour la ligne d'eau.

Figure 2 : Différentes formes de lignes d’eau.
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