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=='''Introduction'''==

De nos jours le changement climatique est de plus en plus important et risque, si nous ne faisons rien, de bousculer nos vies. Un des premiers secteurs touchés par ce réchauffement climatique est le secteur côtier. Notamment, dans son rapport de février 2022, le GIEC alertait qu'une montée des eaux comme nous ne l'avions pas connu depuis 3000ans allait se produire à cause de ce dernier. En effet, d’après l’OCDE, le niveau des mers pourrait augmenter de plus d’un mètre dans les 80 prochaines années. Une telle augmentation engendrerait des déplacements massifs de population ainsi que de nombreux dommages sur nos infrastructures. 

[[Fichier: erosion cotes.jpg|500px]]

A travers ce projet, nous étudierons l'impact du changement climatique sur les côtes et dans les estuaires.

==='''Modèle de Berkhoff'''===

La propagation des vagues est un problème tridimensionnel compliqué. Pour simplifier ce problème, Berkhoff (1972) vient réduire ce problème a 2 dimensions en combinant en un seul modèle les effets de la réfraction et de la diffraction. <br>
Ainsi, pour modéliser la houle nous allons utiliser le modèle de Berkhoff, ou l'équation de pente douce.

En bi-dimensionnel : <math> \boxed{\displaystyle\color{red}\nabla.(CC_g\nabla \phi)+k^2CC_g\phi=0} </math>  <br>
avec : 
* <math> \phi</math> : le potentiel, <br>
* <math> k </math> : le nombre d’onde fonction de la profondeur <math> H </math> et de la fréquence <math>\omega </math>, par la relation implicite <math> \omega^2=gk \tanh(kH)</math> , <br>
* <math> C </math> : la célérité de l’onde, <br>
* <math> C_g </math> : la célérité de groupe des vagues.

Pour simplifier le problème, nous nous plaçons dans le domaine des houles longues (dont la longueur d'onde est supérieur a 300m). Ainsi : <math>C=C_g=\sqrt{gH} </math>

L'équation donnant l'évolution dans le temps de la hauteur de houle est : <math>h(x,t)=\mathrm{Re}(\phi(x,t))</math> avec <math>\phi(x,t)=\phi(x)e^{-iwt}</math>

Remarque : Dans le cas de la houle, l'entrée se situe en aval et la sortie en amont

==='''Principe d'homotopie'''===

L'homotopie est une méthode permettant de passer d'une solution initiale à une solution exacte grâce au paramètre p qui varie entre 0 à 1. L'idée est d'assurer une déformation continue entre la solution initiale, lorsque p=0, et la solution exacte du système d'équations à résoudre, lorsque p=1.
L'intérêt de la méthode est qu'elle permet de partir d'une solution connue relativement simple et de converger vers une solution complète et ainsi atteindre la solution finale avec peu de termes. De plus elle utilise la résolution formelle et peut donc facilement être programmée à l'aide d'outils de calcul formel tel que WXMAXIMA.

L'objectif du projet est alors de résoudre l'EDP de Berkhoff par la méthode semi-analytique d'homotopie grâce à des conditions limites et des conditions initiales ad-hoc fonction du domaine étudié et du régime de houle du projet.

== ''' 1<sup>er</sup>cas - Canal monodimensionnel plat avec sortie libre en amont''' ==



Dans un premier temps, nous étudions le cas d'un canal plat de longueur L. 

''Conditions aux limites :'' <br>
* Condition de Dirichlet : entrée par l'aval d'une onde de fréquence unitaire <math> \phi(x=0) = 1 </math>  <br>
* Condition de Robin : sortie libre par l'amont <math> \phi_{x}(x=L) =ik\phi(x=L) </math>

Pour simplifier le problème, nous imposons ces 2 conditions en x=0 (car ceci est équivalent au cas où les 2 conditions sont imposées aux 2 extrémités du domaines (c'est à dire en x=0 et x=L))

''Simplification de l'équation de Berkhoff :'' <br> Dans ce premier cas, l'équation de Berkhoff devient  <math> \boxed{\color{red}\displaystyle\frac{\partial^2 ϕ}{\partial x^2} +k^2ϕ = 0} </math>

==='''Solution analytique'''===

L'équation caractéristique associée à <math> \frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}} + k^{2}\phi = 0 </math> est : <math> x^{2} + k^{2} = 0 </math>. <br>
Ainsi <math> \Delta = -4k^{2} < 0 </math> <br>
d'où <math>\phi(x)=Ae^{-ikx}+Be^{ikx}</math>

Grâce aux CL on détermine les constantes A et B : <br>
* <math>\phi(x=0)=A+B=1</math> <br>
* <math>\dfrac{\partial ϕ}{\partial x}(x=L)=ik \phi \quad \Longrightarrow A=0</math>   et   <math>  B=1 </math>

De cette manière : <math>\phi(x)=e^{ikx} \Longrightarrow \phi(x,t)=e^{i(kx-wt)}</math>

L'évolution de la hauteur de la houle devient alors : <math>\boxed{\color{red}h(x,t)=\mathrm{Re}(\phi(x,t))=\cos(kx-wt)}</math>

==='''Solution par homotopie'''===

La relation d'homotopie s'écrit en choisissant la dérivée seconde comme fonction auxiliaire linéaire et en partant d'une solution initiale nulle:

<math> (1-p)\phi_{xx}+p(\phi_{xx}+k^2\phi)=0 </math>

En injectant la décomposition en série entière <math>\phi(x,p)=\phi_0(x)+p\phi_1(x)+p^2\phi_2(x)+p^3\phi_3(x)+...</math> et sa seconde dérivée:

<math>\phi_{0,xx}(x)+p\phi_{1,xx}(x)+p^2\phi_{2,xx}(x)+p^3\phi_{3,xx}(x)+...</math>

Nous obtenons:

<math> (1-p)(\phi_{0,xx}(x)+p\phi_{1,xx}(x)+p^2\phi_{2,xx}(x)+p^3\phi_{3,xx}(x)+...)+p[\phi_{0,xx}(x)+p\phi_{1,xx}(x)+p^2\phi_{2,xx}(x)+p^3\phi_{3,xx}(x)+...+k^2(\phi_0(x)+p\phi_0(x)+p^2\phi_2(x)+p^3\phi_3(x)+...)]=0 </math>

Il faut ensuite simplifier et écrire cette relation suivant les puissances de p croissantes. Cette relation étant valable quel que soit p, tous les coefficients devant les puissances de p sont donc nuls.

====Ordre 0====

En p=0, la relation d'homotopie devient : 
<math> \phi_{0,xx} = \frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}} = 0 \Longleftrightarrow  \phi_{0} = Ax+B </math>

Grâce au CL on détermine les constantes A et B : <br>
* <math> \phi_{0}(x=0)=1 \Longleftrightarrow B=1</math> <br>
* <math>\dfrac{\partial \phi_{0}}{\partial x}(x=L)=ik \phi_{0}(x=L)  \Longleftrightarrow  A=ik(AL+B) \Longleftrightarrow  A=\frac{ik}{1-ikL}</math>

D'où <math> \boxed{\color{red}\phi_{0} =\frac{ik}{1-ikL}x+1} </math>

====Ordre 1====

En p=1, la relation d'homotopie devient : 
<math> \phi_{1,xx} = \frac{\partial^{2}\phi_{1}}{\partial x^{2}} + k^2\phi_{0}= 0 \Longleftrightarrow  \phi_{1} = -k^2\iint\phi_{0}\mathrm{d}x\mathrm{d}x + A'x + B' \Longleftrightarrow  \phi_{1} = -k^2(\frac{ikx^3}{6(1-ikL)}+\frac{x^2}{2}) + A'x + B'</math>

Grâce au CL on détermine les constantes A' et B' : <br>
* <math> \phi_{1}(x=0)=0 \Longleftrightarrow B'=0</math> <br>
* <math>\dfrac{\partial \phi_{1}}{\partial x}(x=L)=ik \phi_{1}(x=L)  \Longleftrightarrow -k^2(\frac{ikL^2}{2(1-ikL)}+L) + A' = ik(-k^2(\frac{ikL^3}{6(1-ikL)}+\frac{L^2}{2}) + A'L)  \Longleftrightarrow  A' = -\frac{k^2L(k^2L^2+3ikL-3)}{3(1-ikL)^2}</math>

D'où <math> \boxed{\color{red}\phi_{1} = -k^2(\frac{ikx^3}{6(1-ikL)}+\frac{x^2}{2}) - \frac{k^2L(k^2L^2+3ikL-3)}{3(1-ikL)^2}x}</math>

====Ordres supérieurs====

On utilise le logiciel WXMAXIMA pour trouver <math>\phi</math> à tous les ordres. 

avec <math>k=\frac{1}{100}</math> (nombre d'onde en m<sup>-1</sup>), <math>H=40</math> (profondeur en m), <math>c=\sqrt{gH}</math> (célérité de l'onde en m/s), <math>\lambda=\frac{2\pi}{k}</math> (longueur d'onde en m), <math>L=2\lambda</math> (longueur du domaine en m).

Puis on superpose la solution analytique et la solution par homotopie
 
[[Fichier:Cas 1.gif|500px]]

On constate que la solution par homotopie converge vers la solution analytique

==='''Étude de la sensibilité de la solution en fonction du nombre d'onde'''===

Dans ce premier cas, on constate que plus le produit <math> kL </math> est petit, plus la solution par homotopie converge rapidement (exemple avec <math> kL=0,25 </math>, <math> kL=1 </math> et <math> kL=2 </math>)

[[Fichier:cas 1 kL=0,25.png|300px]] [[Fichier:cas 1 kL=1.png|300px]] [[Fichier:cas 1 kL=2.png|300px]]

== ''' 2<sup>ème</sup>cas - Canal monodimensionnel plat avec réflexion totale en amont''' ==

Dans ce deuxième cas, nous nous plaçons toujours dans l'hypothèse d'un canal plat de longueur L mais avec des conditions aux limites différentes.

''Conditions aux limites :'' <br>
* Flux en aval : <math> \phi_{x}(x=0) =ik(2-\phi(x=0)) </math>  <br>
* Réflexion totale en amont :  <math> \phi_{x}(x=L) = 0 </math>

''Simplification de l'équation de Berkhoff :'' <br> L'équation de Berkhoff se simplifie de la même façon que dans le 1<sup>er</sup>cas   <math> \boxed{\color{red}\displaystyle\frac{\partial^2 ϕ}{\partial x^2} +k^2ϕ = 0} </math>

==='''Solution analytique'''===

L'équation caractéristique associée à <math> \frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}} + k^{2}\phi = 0 </math> est : <math> x^{2} + k^{2} = 0 </math>. <br>
Ainsi <math> \Delta = -4k^{2} < 0 </math> <br>
d'où <math>\phi(x)=Ae^{-ikx}+Be^{ikx}</math>

Grâce aux CL on détermine les constantes A et B : <br>
* <math>\dfrac{\partial ϕ}{\partial x}(x=0)=ik(2- \phi(x=0)) \Longleftrightarrow -ikA + ikB = ik(2-(A+B)) \Longleftrightarrow B=1 </math> <br>
* <math>\dfrac{\partial ϕ}{\partial x}(x=L)=0 \Longleftrightarrow -ikAe^{-ikL}+ikBe^{ikL} = 0 \Longleftrightarrow A=e^{2ikL} </math>

De cette manière : <math>\phi(x)=e^{ik(2L-x)}+e^{ikx} \Longrightarrow \phi(x,t)=e^{i(k(2L-x)-wt)}+e^{i(kx-wt)}</math>

L'évolution de la hauteur de la houle devient alors : <math>\boxed{\color{red}h(x,t)=\mathrm{Re}(\phi(x,t))=cos(k(2L-x)-wt)+cos(kx-wt)}</math>

==='''Solution par homotopie'''===

====Ordre 0====

En p=0, la relation d'homotopie devient : 
<math> \phi_{0,xx} = \frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}} = 0 \Longleftrightarrow  \phi = Ax+B </math>

Grâce au CL on détermine les constantes A et B : <br>
* <math> \dfrac{\partial \phi_{0}}{\partial x}(x=L)=0 \Longleftrightarrow A=0</math> <br>
* <math> \dfrac{\partial \phi_{0}}{\partial x}(x=0)=ik(2- \phi_{0}(x=0))  \Longleftrightarrow  0=ik(2-B) \Longleftrightarrow  B=2 </math>

D'où <math> \boxed{\color{red}\phi_{0} = 2}</math>

====Ordre 1====

En p=1, la relation d'homotopie devient : 
<math> \phi_{1,xx} = \frac{\partial^{2}\phi_{1}}{\partial x^{2}} + k^2\phi_{0}= 0 \Longleftrightarrow  \phi_{1} = -k^2x^2 + A'x + B' </math>

Grâce au CL on détermine les constantes A' et B' : <br>
* <math> \dfrac{\partial \phi_{1}}{\partial x}(x=L)=0 \Longleftrightarrow A'=2k^2L</math> <br>
* <math> \dfrac{\partial \phi_{1}}{\partial x}(x=0)=ik\phi_{1}(x=0)  \Longleftrightarrow  2k^2L=ikB' \Longleftrightarrow  B'=2ikL </math>

D'où <math> \boxed{\color{red}\phi_{1} = -k^2x^2 + 2k^2Lx + 2ikL} </math>

====Ordres supérieurs====

On utilise le logiciel WXMAXIMA pour trouver <math>\phi</math> à tous les ordres

Puis on superpose la solution analytique et la solution par homotopie

[[Fichier:cas 2 kL=0,001.gif|500px]]

On constate que la solution par homotopie converge vers la solution analytique

==='''Étude de la sensibilité de la solution en fonction du nombre d'onde'''===

On remarque cependant que selon la valeur du produit <math>kL</math> (notamment <math>kL \geqslant 1</math>) la solution ne converge pas

Exemple pour <math>kL = 1</math> :

[[Fichier:cas 2 kL=1.gif|300px]]

==='''Analyse des résultats, des limites et de l'interêt de la méthode d'homotopie dans les cas 1 et 2'''===

Grâce à la méthode d'homotopie nous pouvons déterminer les solutions du modèle à partir de solutions simples et grâce au logiciel WXMAXIMA nous pouvons tracer l'évolution de la houle en fonction du temps.

Ce modèle nous permet d'étudier un cas simple de modélisation de la houle. Tout d'abord, nous faisons l'hypothèse d'une onde monodimensionnelle alors qu'en réalité l'onde est tridimensionnelle. Ensuite, nous n'avons pas pris en compte plusieurs paramètres tel que l'irrégularité des fonds océaniques et des littoraux.

=='''3<sup>ème</sup>cas - Canal monodimensionnel avec une pente de fond constante'''==


Dans ce troisième cas, nous nous plaçons dans l'hypothèse d'un canal monodimensionnel avec une pente de fond constante <math> \displaystyle s = \frac{1}{200} </math>, avec entrée par l'aval d'une onde de fréquence unitaire et sortie libre en amont.


''Conditions aux limites :'' <br>
* En aval : <math> \displaystyle \phi = 1 </math> (Condition de Dirichlet) <br>
* En amont :  <math> \displaystyle \phi_{x} = ik\phi </math> (Condition de Robin)

La résolution est plus complexe car <math> \displaystyle H(x) </math> n'est plus égal à <math> \displaystyle Ho </math> mais à <math> \displaystyle H(x) = H_{0} - sx </math>

En reprenant le modèle de Berkhoff : <math> \displaystyle ∇.(CCg∇ϕ)+k^2CCgϕ=0 </math> avec <math> \displaystyle CCg = gH(x) </math>, on obtient : <math> \displaystyle \boxed{\color{red}\displaystyle H(x)\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + (-s)\frac{\partial \phi}{\partial x} + k_{0}^2H_{0} \phi = 0} </math>


==='''Solution analytique'''===


L'équation de Berkhoff se simplifie en prenant pour expression de la profondeur du fond : <math> \displaystyle H(x) = H_{0} - sx </math> et en prenant <math> \displaystyle k </math> (nombre d'onde) non constant et égal à : <math> \displaystyle k(x) = k_{0}\sqrt{\frac{H_{0}}{H_{0}-sx}} </math>

On cherche donc à résoudre l'équation : <math> \displaystyle (H_{0} - sx)\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + (-s)\frac{\partial \phi}{\partial x} + k_{0}^2H_{0} \phi = 0 </math>

Pour se faire, on cherche à mettre cette équation sous la forme d'une équation de type Bessel : <math> \displaystyle z\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} + \frac{\partial \phi}{\partial z} + \alpha^2 \phi = 0 </math>

En effectuant le changement de variable <math> \displaystyle z(x) = H_{0} - sx </math>, on trouve : <math> \displaystyle \boxed{\color{red}\displaystyle z(x)\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} + \frac{\partial \phi}{\partial z} + \frac{k_{0}^2H_{0}}{s^2} \phi = 0} </math>

Donc : <math> \displaystyle \alpha^2 = \frac{k_{0}^2H_{0}}{s^2} </math>


La solution générale de cette équation est : 
<math> \displaystyle \phi(z) = C_{1} * J_{0}(2\alpha\sqrt{z}) + C_{2} * Y_{0}(2\alpha\sqrt{z}) </math>

Avec : 
* <math> \displaystyle J_{0} </math> : fonction de Bessel de première espèce
* <math> \displaystyle Y_{0} </math> : fonction de Bessel de deuxième espèce
* <math> \displaystyle C_{1} </math> et <math> \displaystyle C_{2} </math> : constantes à déterminer


On détermine les constantes <math> \displaystyle C_{1} </math> et <math> \displaystyle C_{2} </math> à l’aide des conditions aux limites : 

* <math> \displaystyle \phi(z = H_{0}) = 1   </math>
* <math> \displaystyle -s \phi(z = H_{0} - sL) = ik\phi(z = H_{0} – sL)   </math>


Et en utilisant le fait que : 

* <math> \displaystyle \frac{\partial z^nJ_n(z)}{\partial z} = z^nJ_{n-1}(z) </math>
* <math> \displaystyle J_{-1}(z) = -J_1(z) </math>


On résout le système et on trouve : 

* <math> \displaystyle C_{1} = \frac{Y_{1}^L – i Y_{0}^L}{J_{0}^0(Y_{1}^L – i Y_{0}^L) – Y_{0}^0(J_{1}^L – i J_{0}^L)}  </math>
* <math> \displaystyle C_{2} = - \frac{ J_{1}^L – i J_{0}^L}{ J_{0}^0(Y_{1}^L – i Y_{0}^L) – Y_{0}^0(J_{1}^L – i J_{0}^L)}  </math>

Avec : 

* <math> \displaystyle J_{0}^0 = J_{0}(2\alpha\sqrt{H_{0}}) </math>
* <math> \displaystyle Y_{0}^0 = Y_{0}(2\alpha\sqrt{H_{0}}) </math>
* <math> \displaystyle J_{0}^L = J_{0}(2\alpha\sqrt{H_{0} - sL}) </math>
* <math> \displaystyle Y_{0}^L = Y_{0}(2\alpha\sqrt{H_{0} - sL}) </math>
* <math> \displaystyle J_{1}^L = J_{1}(2\alpha\sqrt{H_{0} - sL}) </math>
* <math> \displaystyle Y_{1}^L = Y_{1}(2\alpha\sqrt{H_{0} - sL}) </math>


D’où : <math> \boxed{\color{red}\displaystyle \phi(z) = \frac{Y_{1}^L – i Y_{0}^L}{J_{0}^0(Y_{1}^L – i Y_{0}^L) – Y_{0}^0(J_{1}^L – i J_{0}^L)} * J_{0}(2\alpha\sqrt{z}) - \frac{ J_{1}^L – i J_{0}^L}{ J_{0}^0(Y_{1}^L – i Y_{0}^L) – Y_{0}^0(J_{1}^L – i J_{0}^L)} * Y_{0}(2\alpha\sqrt{z})}  </math>


==='''Solution par homotopie'''===


Pour ce cas, la relation d’homotopie est la suivante : 

<math> \displaystyle (1 – p) \phi_{xx} + p ((1 - \epsilon x) \phi_{xx} - \epsilon \phi_{x} + ko^2 \phi) = 0 </math>

A l’aide de la décomposition en série entière de <math> \displaystyle \phi </math> et de ses dérivées, on obtient : 

<math> \displaystyle (1 – p) * (\phi_{0,xx}(x) + p\phi_{1,xx}(x) + p^2\phi_{2,xx}(x) + p^3\phi_{3,xx}(x) + …) + p * ((1 - \epsilon x) * (\phi_{0,xx} + p\phi_{1,xx}(x) + p^2\phi_{2,xx}(x) + p^3\phi_{3,xx}(x) + …) - \epsilon * (\phi_{0,x} + p\phi_{1,x}(x) + p^2\phi_{2,x}(x) + p^3\phi_{3,x}(x) + …) + ko^2 * (\phi_{0} + p\phi_{1}(x) + p^2\phi_{2}(x) + p^3\phi_{3}(x) + …)= 0 </math>


====Ordre 0====

À l’ordre 0 (correspondant à une puissance de p nulle), on a la relation : 

<math> \displaystyle \phi_{0,xx} = 0 \Longleftrightarrow \phi_{0} = A * x + B </math>


A l’aide des conditions aux limites, on détermine les constantes A et B : 

* <math> \displaystyle \phi_{0}(x = 0) = 1 \Longleftrightarrow B = 1 </math>
* <math> \displaystyle \phi_{0,x}(x = L) = ik(L) \phi_{0}(x = L) \Longleftrightarrow A = \frac{ik(x)}{1 – ik(x)L} </math>

D’où : <math> \boxed{\color{red}\displaystyle \phi_{0}(x) = 1 + \frac{ik(x)}{1 – ik(x)L}*x} </math>


====Ordre 1====

A l’ordre 1, on a la relation : 

<math> \displaystyle \phi_{1,xx} - \phi_{0,xx} + (1 - \epsilon x)\phi_{0,xx} - \epsilon\phi_{0,x} + k_{0}^2 \phi_{0} = 0 </math>

Cette expression se simplifie : 
<math> \displaystyle \phi_{1,xx} - \epsilon\phi_{0,x} + k_{0}^2 \phi_{0} = 0 </math>

Comme on connait <math> \displaystyle \phi_{0} </math>, en intégrant deux fois cette expression, on trouve <math> \displaystyle \phi_{1} </math> :
<math> \displaystyle \phi_1(x) = \int \int (\epsilon \phi_{0,x}-k_0^2\phi_0) \,dx\,dx +A_1x+B_1</math>

A l’aide des conditions aux limites, <math> \displaystyle \phi_{1}(x = 0) = 0 </math> et <math> \displaystyle \phi_{1,x}(x = L) = ik(L) \phi_{1}(x = L) </math>, on trouve les constantes grâce à la programmation sur le logiciel wxmaxima.


====Ordres supérieurs====

Pour n <math>\geq 1 </math>, on a la relation : 

<math> \displaystyle \phi_{n,xx} - \phi_{n-1,xx} + (1 - \epsilon x)\phi_{n-1,xx} - \epsilon \phi_{n-1,x} + k_0^2 \phi_{n-1} = 0 </math>

Donc, <math> \displaystyle \phi_n(x) = \int \int (\epsilon x \phi_{n-1,xx} + \epsilon\phi_{n-1,x} - k_0^2 \phi_0) \,dx\,dx + A_n x + B_n </math>

On peut résoudre cette équation par récurrence avec les conditions initiales : 
* <math> \displaystyle \phi_{n}(x = 0) = 0 </math>
* <math> \displaystyle \phi_{n,x}(x = L) = ik(L) \phi_{n}(x = L) </math>



On utilise le logiciel WXMAXIMA pour trouver <math> \displaystyle \phi </math> à tous les ordres puis on superpose la solution analytique et la solution par homotopie

Avec les valeurs numériques suivantes, on remarque que la solution par homotopie converge vers la solution analytique à partir de l'ordre 9 :

 
* <math> \displaystyle H_0 = 40 </math> (profondeur en <math> m </math>)
* <math> \displaystyle k_0 = \frac{1}{100} </math> (nombre d'onde en <math> m^(-1) </math>)
* <math> \displaystyle L = 100 </math> (longueur du domaine en <math> m </math>)
* <math> \displaystyle s = \frac{1}{200} </math> (pente du fond)


[[Fichier:Webp.net-gifmaker.gif|500px]]


==='''Étude de la sensibilité de la solution en fonction du nombre d'onde'''===

On constate que plus le produit <math> \displaystyle kL </math> est proche de <math> \displaystyle 1 </math>, plus la solution par homotopie converge rapidement (exemple avec <math> \displaystyle kL = 0,1 </math> , <math> \displaystyle kL=0,5 </math> , <math> \displaystyle kL=1 </math> et <math> \displaystyle kL=2 </math>, à l'ordre <math> \displaystyle 9 </math> )


[[Fichier:sensibilité kL = 0,1.PNG|300px]] [[Fichier:sensibilité kL=0.5.PNG|300px]] [[Fichier:ordre 9.PNG|300px]] [[Fichier:sensibilité kL=2.PNG|300px]]

=='''4<sup>ème</sup>cas - Vague générée par une source périodique sinusoïdale '''==

Dans ce 4ème cas, nous allons nous intéresser à une vague sphérique générée par une source périodique sinusoïdale.

Nous traitons ici de l'évolution de la surface libre dans un domaine infini en grande profondeur. La source ponctuelle est appliquée autour d'un cercle de rayon <math> r_0 </math> centré sur un domaine circulaire de rayon <math> R </math> qui laisse sortir librement cette onde en <math> r=R </math>.

''Conditions aux limites'':
*<math> \phi(r=r_0)=1 </math>
*<math> \frac{\partial \phi}{\partial r}(r=R)=ik\phi(r=R) </math> <br>

''Simplification de l'équation de Berkhoff :'' 

L'équation de Berkhoff se simplifie alors en équation de Helmholtz et s'exprime en coordonnées polaires avec les conditions suivantes  <math>  \displaystyle\boxed{\color{red} \Delta \phi + k^2\phi=0 }</math>

En coordonnées polaires, la relation ci-dessus s'écrit de manière simplifiée étant donné que le problème est caractérisé par une symétrie de révolution, donc est indépendant de <math> \theta </math>.

<math>  \boxed{\displaystyle\color{red} \frac{\partial^2 \phi}{\partial r^2} +\frac{\partial \phi}{\partial r}  + k^2\phi=0} </math>

==='''Solution analytique'''===

L'équation <math> \frac{\partial^2 \phi}{\partial r^2} +\frac{\partial \phi}{\partial r}   + k^2\phi=0 </math> est une équation de Bessel. La solution générale de cette équation est donc de la forme :

<math> \phi(r)=AJ_0(r)+BY_0(r) </math>

* <math>J_0</math> : fonction de Bessel de 1ère espèce
* <math>Y_0</math> : fonction de Bessel de 2ème espèce
* A et B : constante

Grâce aux conditions limites, on détermine les constantes A et B.

* <math> AJ_0(r_0)+BY_0(r_0)=1 </math>
* <math> AJ_0'(R)+BY_0'(R)=ik\ (AJ_0(R)+BY_0(R)) </math>


En utilisant le fait que : 

* <math>\displaystyle\frac{\partial r^nJ_n(r)}{\partial r} = r^nJ_{n-1}(r) </math>
* <math> J_{-1}(r) = -J_1(r) </math>

On trouve :
* <math> A = \displaystyle\frac{Y_1(R) + ikY_0(R) }{Y_1(R)J_0(r_0) + ikY_0(R)J_0(r_0) - J_1(R)Y_0(r_0) - ikJ_0(R)}</math>
* <math> B = \displaystyle\frac{1 }{Y_0(r_0)} \left(1-J_0(r_0)\frac{Y_1(R) + ikY_0(R) }{Y_1(R)J_0(r_0) + ikY_0(R)J_0(r_0) - J_1(R)Y_0(r_0) - ikJ_0(R)}\right)</math>


D'où <math> \displaystyle\phi(r)=\frac{Y_1(R) + ikY_0(R) }{Y_1(R)J_0(r_0) + ikY_0(R)J_0(r_0) - J_1(R)Y_0(r_0) - ikJ_0(R)}J_0(r)+\frac{1 }{Y_0(r_0)}\left(1-J_0(r_0)\frac{Y_1(R) + ikY_0(R) }{Y_1(R)J_0(r_0) + ikY_0(R)J_0(r_0) - J_1(R)Y_0(r_0) - ikJ_0(R)}\right)Y_0(r)</math>



A l'aide du logiciel Maxima, on peut ensuite tracer l'évolution de la hauteur de l'eau h(r) = <math> {Re}(\phi(r))</math>

[[File:solution_analytique_cas4.png|400px]]

==='''Solution par homotopie'''===

Pour ce cas, la relation d'homotopie est la suivante : 
<math> (1-p)\phi_{rr}+p(\phi_{rr}+\frac{1}{r}.\phi_{r}+k^2\phi)=0 </math>

Comme précédemment, on utilise la décomposition en série entière <math>\phi(r,p)=\phi_0(r)+p\phi_1(r)+p^2\phi_2(r)+p^3\phi_3(r)+...</math> 
et sa seconde dérivée: <math>\phi_{0,rr}(r)+p\phi_{1,rr}(r)+p^2\phi_{2,rr}(r)+p^3\phi_{3,rr}(r)+...</math>

Nous obtenons:

<math> (1-p)(\phi_{0,rr}(r)+p\phi_{1,rr}(r)+p^2\phi_{2,rr}(r)+p^3\phi_{3,rr}(r)+...)+p[\phi_{0,rr}(r)+p\phi_{1,rr}(r)+p^2\phi_{2,rr}(r)+p^3\phi_{3,rr}(r)+...+k^2(\phi_0(r)+p\phi_0(r)+p^2\phi_2(r)+p^3\phi_3(r)+...)]=0 </math>

====Ordre 0====

A l'ordre 0, on obtient la relation <math> \phi_{0,rr}(r)=0 \Longleftrightarrow \phi_0(r)=Ar + B </math>

Grâce aux CL on détermine les constantes A et B : 
* <math> Ar_0 + B = 1 \Longleftrightarrow  A = \displaystyle \frac{ik}{1 + ik(r_0 - R)} </math>
* <math> A = ik(AR + B) \Longleftrightarrow B = \displaystyle \frac{1 - ikR}{1 + ik(r_0 - R)}</math>


D'où <math> \boxed{\color{red}\displaystyle \phi_0(r) = \frac{ik}{1 + ik(r_0 - R)}r + \frac{1 - ikR}{1 + ik(r_0 - R)} } </math>

====Ordre 1====

A l'ordre 1, on trouve la relation <math> \displaystyle \phi_{1,rr}(r) + \frac{1}{r}\phi_{0,r}(r) + k^2\phi_0(r) =0 \Longleftrightarrow  \displaystyle\phi_1(r) + A r(ln(r)-1) + \frac{Ak^2}{6}r^3 + \frac{Bk^2}{2}r^2 +Cr + D = 0 </math>

avec : 
* <math>   A = \displaystyle \frac{ik}{1 + ik(r_0 - R)} </math>
* <math>  B = \displaystyle \frac{1 - ikR}{1 + ik(r_0 - R)}</math>

En utilisant les conditions limites, on trouve que :
<math>\boxed{\displaystyle\color{red}\phi_1(r)  + A r(ln(r)-1) + \frac{Ak^2}{6}r^3 + \frac{Bk^2}{2}r^2 +\frac{ik(\delta - \alpha) - \beta}{1 + ik(r_0 - R)}r +  \frac{\beta - ik(\delta - \alpha)}{1 + ik(r_0 - R)}r_0 - \alpha  = 0 }</math>

Sachant que : 
* <math>   \alpha = \displaystyle r_0(ln(r_0)-1)A + \frac{Ak^2}{6}r_0^3 + \frac{Bk^2}{2}r_0^2  </math>
* <math>   \beta = \displaystyle Aln(R) + \frac{Ak^2}{2}R^2 + Bk^2R </math>
* <math>   \delta = \displaystyle R(ln(R)-1)A + \frac{Ak^2}{6}R^3 + \frac{Bk^2}{2}R^2  </math>

====Ordres supérieurs====

Pour n <math>\geq 1 </math>, on trouve la relation de récurrence suivante : <math> \boxed{\displaystyle\color{red}\phi_{n,rr}(r)+\frac{1}{r}\phi_{n-1,r}(r)+k^2\phi_{n-1}(r) =0 }</math>.

On utilise ensuite le logiciel MAXIMA pour résoudre et trouver<math> \phi </math>à un ordre quelconque.


==='''Application temporelle'''===

Dans cette partie,  nous allons réaliser une application temporelle avec une fréquence de <math> \omega=\sqrt{gk} </math> car nous sommes en profondeur infinie.


==''' Conclusion '''==

L'intérêt de la méthode d'homotopie est qu'elle nous permet de simuler tous les cas de figures et tous les profils de vague possibles, y compris les plus complexes, non résolubles analytiquement.

De nos jours, et cela va s'accentuer avec les changements climatiques, la modélisation de la houle est un outil très important. En effet, elle nous permet de prévoir la forme et donc l'impact des vagues sur les côtes, ce qui permet de prévoir les infrastructures nécessaires à construire pour empêcher les dégâts.