Voir la source de Utilisateur:Jean-Michel Tanguy/SujetENTPE2021/CAILLOUX - CLORENNEC - VALLEAU

== '''Contexte'''==

Le changement climatique, causé par les activités humaines, accentue la dégradation des littoraux. Il est responsable de la hausse du niveau des mers et cause des tempêtes de plus en plus fréquentes et sévères. Le changement climatique accélère également l’érosion. Au cours du XXe siècle, le niveau de la mer s’est élevé de 18 cm à l'échelle mondiale.

Cette augmentation du niveau des océans est due à deux phénomènes causés par le changement climatique par plusieurs éléments tels que la '''fonte des glaces''' qui constitue un apport d’eau supplémentaire pour l’océan, ce qui fait augmenter son volume et par conséquent son niveau. Mais aussi la '''dilatation thermique''' car en effet plus l’eau est chaude, plus elle occupe un volume important à quantité égale, les molécules soumises à la chaleur ont tendance à s'agiter et à s'éloigner les unes des autres.

Le changement climatique par l’augmentation du niveau de la mer et des tempêtes plus fréquentes et plus sévères accélère : l’'''érosion marine''', la mer érodent les rivages. Plus l’océan gagne du terrain sur la terre, plus il a de chance d’emporter avec lui du sable ou de fragiliser les roches, augmentant le risque d’éboulement. Ce phénomène d’érosion entraîne le recul du trait de côte dans de nombreuses régions du monde. De plus, cette augmentation peut également provoquer des '''inondations'''.

[[Fichier:Crozon.jpg|vignette|Bretagne]]

Le thème d’étude est la quantification de l’impact des houles sur le littoral. Le modèle le plus utilisé qui permet de modéliser les houles est le '''modèle de Berkhoff''', une équation aux dérivées partielles, que nous résoudrons par une méthode '''analytique''' puis par '''homotopie'''.

:

== '''Modèle de Berkhoff '''==

[[File:Webp.net-gifmaker.gif]]
:Afin de modéliser la houle, et ce plus précisément qu'un simple cosinus ( comme ci-dessus)  nous allons utiliser le modèle de Berkhoff. Il s'agit d'un modèle bi-dimensionnel qui a pour expression : 
<span style="color: Blue;"> <math>\boxed {\nabla.(CC_g\nabla \phi)+k^2CC_g\phi=0} </math>  <br>

Avec 
:'''<math> phi</math>''' : Le potentiel
:'''k''' : Le nombre d'onde 
:'''H''': La profondeur
:'''<math>\omega </math>''' : La fréquence
:'''T''': La période
:'''C''' la célérité de l'onde
:'''Cg''' : La célérité de groupe des vagues


Cette équation décrit l'effet combiné de la réfraction et de la diffraction sur la propagation de la houle, en particulier au niveau des zones portuaires. Nous nous placerons dans le domaine des ondes longues.

Simplification du problème  : ''C = Cg = <math> \sqrt{gH}</math>''.
L'équation devient alors : Δ<math>\phi</math>+<math>k^2</math><math>\phi</math>=0
:En 1D on obtient : <math>\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + k^{2}\phi=0</math>

== '''Cas n°1 : Canal monodimensionnel plat avec sortie libre''' ==

[[File:Capture d’écran 2021-06-01 à 14.32.35.png]]

=== Solution analytique ===

On résout le modèle de Berkhoff simplifié en 1D : <math>\frac{\partial^2 Φ}{\partial x^2} + k^{2}Φ=0</math>

Par simplification on obtient l’équation du second degré suivante : <math>r^{2}+k^{2}=0</math>,
Discriminant: <math>Δ = -4k²</math> avec <math>r1=-ik</math> et <math>r2=+ik</math>

Donc la solution sera de la forme : <math>Φ(x)=A \text{e}^{-ikx}+B \text{e}^{ikx}</math>, avec A,B réels

Déterminons A et B grâce aux conditions limites :
 
<math>Φ(x=0)=1</math>  d’où <math>A+B=1</math> et <math>Φ’(x=L)=ikΦ</math> d’où  <math>B=0</math>  et  <math>A=1</math>

On a donc: <span style="color: Green;"><math>\boxed{Φ(x)=\text{e}^{ikx}}</math></span> <br>

Grâce au potentiel des vitesses Φ, on cherche h, la hauteur d'eau algébrique s'ajoutant à la hauteur d'eau moyenne H constante dans ce Cas n°1.

L'évolution dans le temps de la hauteur de houle est donnée par : <math>h(x,t)=R(Φ\text{e}^{-iωt})</math>=
R(<math>\text{e}^{i(kx−ωt)}</math>)
or <math>H=R(ϕ)</math>

En conclusion, on a:  <span style="color: Green;"><math>\boxed{h(x,t)=\cos(kx-ωt)}</math></span> <br>

=== Solution par la méthode d'homotopie ===

La relation d'homotopie s'écrit en choisissant la dérivée seconde comme fonction auxiliaire linéaire et en partant d'une solution initiale nulle:

<math> (1-p)\phi_{xx}+p(\phi_{xx}+k^2\phi)=0 </math>

En injectant la décomposition en série entière <math>\phi(x,p)=\phi_0(x)+p\phi_1(x)+p^2\phi_2(x)+p^3\phi_3(x)+...</math> et sa seconde dérivée:

<math>\phi_{0,xx}(x)+p\phi_{1,xx}(x)+p^2\phi_{2,xx}(x)+p^3\phi_{3,xx}(x)+...</math>

Nous obtenons:

<math> (1-p)(\phi_{0,xx}(x)+p\phi_{1,xx}(x)+p^2\phi_{2,xx}(x)+p^3\phi_{3,xx}(x)+...)+p[\phi_{0,xx}(x)+p\phi_{1,xx}(x)+p^2\phi_{2,xx}(x)+p^3\phi_{3,xx}(x)+...+k^2(\phi_0(x)+p\phi_0(x)+p^2\phi_2(x)+p^3\phi_3(x)+...)]=0 </math>

Il faut ensuite simplifier et écrire cette relation suivant les puissances de p croissantes. Cette relation étant valable quel que soit p, tous les coefficients devant les puissances de p sont donc nuls.

==== Ordre 0 ====

<math>\phi_{0,xx}=0</math> soit <math>\phi_0=Ax+B</math>. 

Introduisant les conditions limites suivantes: <math>\phi_0^0=1</math> et <math>\phi_{0,x}^L=ik\phi_{0}^L</math>, il vient : 

<span style="color: Green;"><math>\boxed{\phi_0(x)=\dfrac{ikx}{1-ikL}x+1}</math></span> <br>

==== Ordre 1 ====

<math>\phi_{1,xx}-\phi_{0,xx}+\phi_{0,xx}+k^2\phi_0=0</math> soit <math>\phi_{1}=-k^2\int\phi_0dxdx +Ax+B</math>. 

Introduisant les conditions limites suivantes: <math>\phi_1^0=0</math> et <math>\phi_{1,x}^L=ik\phi_{1}^L</math>, 
il vient : <span style="color: Green;"><math>\boxed{Φ(1)=- \dfrac{k^2L(k^2L^2+3ikL-3)} {3(1-ikL)^2}x-k^2\left (\dfrac{ik} {6(1-ikL)}x^3+\dfrac{1} {2}x^2 \right )}</math></span> <br>

==== Ordre 2 ====
:On effectue le calcul à l'ordre 2 avec maxima, avec comme hypothèses N=10 et k=1/L pour simplifier les calculs. 
:La valeur de h est :
[[File:capture ordre 2 cas 1.png|400px]]

==== Ordres supérieurs ====
:Pour les ordres supérieurs on effectue les calculs sur maxima jusqu'au rang n.
:On peut ici voir la solution analytique comparée à la solution par homotopie selon son ordre ( de 0 à 10) :
[[File:gif cas 1 clorennec.gif|400px]]

== '''Cas n°2 : Canal monodimensionnel plat avec réflexion totale en amont''' ==

:On étudie un canal uniforme unidimensionnel avec une réflexion totale en amont <math>\partial\phi(x)/\partial x=0</math> et en aval une condition sur le flux <math>\partial\phi/\partial x=ik(2-\phi)</math>. L'équation de Berkhoff est simplifiée de la même manière qu'avec le cas 1, seules les conditions aux limites changent. L'équation caractéristique : <math>X^2+k^2=0</math>  (similaire au cas 1)

Solution : <math>A\exp(-ikx)+B\exp(ikx)</math>, A et B étant des constantes
:On détermine A et B grâce aux conditions aux limites : A=<math>\exp(2ikL)</math> et B=1
Donc <math>\phi(x)=\exp(ik(2L-x))+\exp(ikx)</math>

Ajouter une amplitude et une phase ne change pas cette solution. On peut alors écrire : <span style="color: Green;"><math>\boxed{Φ(x,t)=\exp(i(k(2L-x)-wt)+\exp(i(kx-wt))}</math></span> <br>

:La hauteur d'eau est alors : 
<span style="color: Green;"><math>\boxed{h(x,t)=Re\phi(x,t)=\cos(k(2L-x)-wt)+\cos(kx-wt)}</math></span> <br>


:Solution analytique sur Maxima
[[File:gif cas 2 clorennec.gif|400px]]

=== Solution par homotopie ===

==== Ordre 0 ====
:On a <math>\phi_0=Ax+B</math>
:On détermine les constantes A et B grâce aux conditions aux limites :
:en aval : <math>x=L\to\partial\phi_0/\partial x =0\to A=0</math>
:en amont :<math>x=0\to\partial\phi_0/\partial x =ik(2-\phi_0)=ik(2-Ax-B)=A \to ik(2-B)=0 \to B=2</math>
:Donc <math>\phi_0=2</math>

==== Ordre 1 ====
:On a <math>\phi_1=-k^2\int\int\phi_0+A_1x+B_1</math>
:comme <math>\int\int\phi_0=x^2</math>, on a <math>\phi_1(x)=-k^2x^2+A_1x+B_1</math>
:Grace aux conditions aux limites :
:en aval <math>x=L\to A_1=2k^2L</math>
:en amont <math>x=0\to\partial\phi/\partial x=\partial\phi_0/\partial x+p\partial\phi_1/\partial x=ik(2-\phi)\to B=2ikL</math>
:Donc<math>\phi_1(x)=-k^2x^2+2k^2Lx+2ikL</math>

==== Ordres supérieurs ====
:On continue le processus sur n itérations. On peut ensuite calculer Re(<math>(\phi_0+....+\phi_n)\exp(-iwt)</math>)
:Après calcul sur Maxima, avec les ordres de 0 à 13 :
:On choisit k=1 et L=1/100 sinon l'homotopie ne fonctionne pas bien.
:[[File:gif cas 2 clorennec2.gif|400px]]

====Analyse de la sensibilité de la solution====
Si on fait varier le nombre d'onde en gardant kL constant on obtient: 

:[[File:tous les k.png|400px]] [[File:Capture d’écran 2021-06-01 à 15.17.30.png]]

Le nombre d'onde est ainsi modifié. Il induit la modification du cosinus et donc de la modélisation de la houle.
En effet plus le nombre d'onde est élevé plus les vagues sont rapprochés.

== '''Cas n°3 : Canal monodimensionnel avec fond de pente constante : sans onde réfléchie''' ==
[[File:Capture d’écran 2021-06-01 à 14.44.20.png]]

Domaine monodimensionnel de longueur L avec le fond du canal qui est en pente constante d'équation <math>z = H_0 - sx</math> avec entrée par l'aval d'une onde de fréquence unitaire <math> \phi=1</math> et sortie libre amont <math> \phi_x=ik\phi</math>.

On obtient après simplification de l'équation de Berkhoff : <math>H(x)\phi_{xx}(x)+H'(x)\phi_x(x)+k^2H(x)\phi(x)=0</math>. <br> avec <math>H(x)=-αx+h</math> tel que α représente la pente et h la profondeur d'eau à l'origine.

=== Résolution analytique ===

On cherche à mettre cette équation sous forme d'équation de Bessel de type : <math>X^2*\phi_{xx} + X *\phi_{x} + X^2*\phi(x) = 0 </math>. En réalisant le changement de variable <math>X = \frac{k*(H_0 - sx)}{P} </math>, on obtient la solution générale <span style="color: Green;"><math>\boxed{Φ(x)=A.J_0(x)+B.Y_0(x)}</math></span> <br> avec <math>J_0</math> une fonction de Bessel de 1ère espèce et <math>Y_0</math> une fonction de Bessel de 2ème espèce.

D'après les conditions limites : <math>\phi(0)=1</math> et <math> \phi_x=ik\phi</math>.
On trouve : <span style="color: Green;"><math>\boxed{Φ(x)=\frac{J_0(x)*(ikY_0(L)-Y_1(L)) + Y_0(x)*(J_1(L)- ikJ_0(L))}{J_0(0)*( ikY_0(L) - Y_1(L))+Y_0(0)*(J_1(L)-ikJ_0(L))}}</math></span> <br>

=== Résolution par la méthode d'homotopie ===

==== Ordre 0 ====

On a donc la relation d'homotopie : <math>(1-p)(\phi_{xx}-u_{0,xx})+p((h-αx)\phi_{xx}-α\phi_x(x)+k^2(h-αx)\phi(x))=0</math> <br>

<math>\phi_{0,xx}=0 \Rightarrow \dfrac{\partial ϕ_0}{\partial x} = A \Rightarrow \phi_0=Ax+B</math> <br>

On prend <math>u_0=0</math> pour simplifier les calculs et les conditions limites suivantes : <math>\phi(0)=1</math> et <math> \phi_x=ik\phi</math>.

On obtiendra par le calcul: <span style="color: Green;"><math>\boxed{Φ_0(x)=\dfrac{ikx}{1-ikL}+1}</math></span> <br>
:[[File:ordre 0.png|400px]]

==== Ordre 1 ====

conditions limites : <math>\phi(0)=0</math> et <math>\phi_x(x)=ik\phi</math> <br>

<math>\phi_{xx}=p*\phi_{1,xx}+\phi_{0,xx}</math>

De même, on obtient : <span style="color: Green;"><math>\boxed{Φ_1(x)=-(-αx-1-h)\phi_0+α(\dfrac{ikx^2}{2(1-ikL)}+x)-k^2(\dfrac{ikx^3}{6(1-ikL)}+\dfrac{x^2}{2})+Ax+B}</math></span> <br>

A et B calculés par la suite grâce aux conditions limites, alpha est la pente du canal
:B=0
:A=
:[[File:ordre 1.png|400px]]

==== Ordre 2 ====
conditions limites : <math>\phi_2^0=0</math> et <math>\phi_{2,x}^L=ik\phi_{2}^L</math>
:<math> \phi_{2,xx}-\phi_{1,xx}+(H_0-sx)\phi_{1,xx}-s\phi_{1,x}+k^2(H_0-sx)\phi_1=0</math>.
<br />
:[[File:ordre 2.png|400px]]

====Ordre n ====
Résolution par récurrence,conditions aux limites : <math>\phi_2^0=0</math> et <math>\phi_{2,x}^L=ik\phi_{2}^L</math>.
:<math> \phi_{n,xx}-\phi_{n-1,xx}+(H_0-sx)\phi_{n-1,xx}-s\phi_{n-1,x}+k^2(H_0-sx)\phi_{n-1}=0</math>.
<br />
:Ordre 3
:[[File:ordre 3.png|400px]]
:Ordre 4
:[[File:ordre 4.png|400px]]

== '''Cas n°4 : Canal monodimensionnel avec fond de forme exponentielle et sortie libre en amont'''==
[[File:Capture d’écran 2021-06-01 à 14.55.10.png]]

Maintenant on s'intéresse à un canal monodimensionnel de largeur uniforme, de longueur L avec forme du fond exponentielle et sortie libre amont. On se place dans les conditions initiales suivantes : <math>ϕ=1</math> et <math>ϕ_x=ikϕ</math> <br />
On pose <math>H(x)=H_0e^{-sx}</math>

=== Résolution analytique ===

D'après le modèle de Berkhoff : <math> ∇.(CCg∇ϕ)+k^2CCgϕ=0 </math> et en remplaçant <math>CCg = gH(x)</math> <br />

On obtient : <math> H(x)\phi_{xx}-H'(x)\phi_{x}+k^2H(x)\phi=0 </math> <br /> soit, <math>H_0\mathrm{e}^{-sx}\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}-sH_0\mathrm{e}^{-sx}\frac{\partial\phi}{\partial x}+k^2H_0\mathrm{e}^{-sx}\phi=0</math>

En factorisant l'expression par <math>H_0\mathrm{e}^{-sx}\neq0</math>, on obtient une équation caractéristique du type : <math> x^2-sx+k^2=0</math> avec <math>x^2=\phi_{xx}</math>, <math>x=ϕ_x</math> et <math>ϕ_0=1</math>

On obtient donc 3 cas différents, selon le signe du discriminant : <math>\Delta=s^2-4k^2</math>

Si <math>\color{Green}\Delta<0</math> : <math>\phi(x)=\mathrm{e}^{\frac{s}{2}x}[A\cos\Big(\frac{\sqrt{s^2-4k^2}}{2}x\Bigr)+B\sin\Big(\frac{\sqrt{s^2-4k^2}}{2}x\Bigr)]</math>

Si <math>\color{Green}\Delta=0</math> : <math>\phi(x)=(Ax+B)\mathrm{e}^{\frac{s}{2}x}</math>

Si <math>\color{Green}\Delta>0</math> : <math>\phi(x)=A\mathrm{e}^{\frac{s-\sqrt{s^2-4k^2}}{2}x}+B\mathrm{e}^{\frac{s+\sqrt{s^2-4k^2}}{2}x}</math>

'''Calcul des valeurs des constantes A et B grâce aux conditions limites <math>\phi(0)=1 </math> et <math>\frac{\partial\phi}{\partial_x}(x=L)=ik\phi(L)</math> :
'''

'''1er cas :'''  

Si <math>\color{Green}\Delta<0</math> : <math>A=1</math> et en posant <math>ρ=\frac{\sqrt{s^2-4k^2}}{2}</math>, <math>B=\frac{ρ\sin(ρL)+\cos(ρL)(ik-s/2)}{ρ\cos(ρL)+\sin(ρL)(s/2-ik)}</math>

'''2ème cas''' : 

Si <math>\color{Green}\Delta=0</math> : <math>B=1</math> et <math>A=\frac{ik-\frac{s}{2}}{1-\frac{s}{2}L-ikL}</math>
:[[File:delta=0 le bon analytique.png|400px]]

'''3ème cas''' : 

Si <math>\color{Green}\Delta>0</math> : <math>B=1-A</math> et <math>A=\frac{ik-\frac{s+\sqrt{s^2-4k^2}}{2}}{ik-\frac{s+\sqrt{s^2-4k^2}}{2}+ik-\frac{-\sqrt{s^2-4k^2}+ik}{2}}</math>

=== Résolution par la méthode d'homotopie ===

On résout par la méthode homotopie l'équation suivante : 
<math> (1-p)\phi_{xx} + p(\phi_{xx}-s\phi_{x}+k^2\phi)=0</math> <br />
On prend <math>s=1/200</math>, <math>k=1/400</math> et <math>L=10</math>
<br/>

==== Ordre 0 ====

On résout : <math>\phi_0=Ax+B </math>.

:Avec les conditions limites suivantes: <math>\phi_0^0=1</math> et <math>\phi_{0,x}^L=ik\phi_{0}^L</math>, on obtient : 

<span style="color: Green;"><math>\boxed{\phi_0=1+\dfrac{ik}{1-ikL}x}</math></span> <br>
:[[File:ordre0.png|400px]]

==== Ordre 1 ====
Conditions aux limites :<math>\phi_1^0=0</math> et <math>\phi_{1,x}^L=ik\phi_{1}^L</math>.
:On résout : <math>\phi_{xx,1}-s\phi_{x,0}+k^2\phi_{0}=0</math>
:On trouve <math>\phi_1=s\dfrac{ik}{1-ikL}\dfrac{x^2}{2}-k^2\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{k^3 i}{1-ikL}\dfrac{x^3}{6}+Ax+B</math>

:Avec <math>A=\dfrac{ik\Big(\dfrac{sik}{1-ikL}\dfrac{x^2}{2}-k^2\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{k^3 i}{1-ikL}\dfrac{x^3}{6}\Big)-\dfrac{sik}{1-ikL}x+k^2 x+\dfrac{k^3 i}{1-ikL}\dfrac{x^2}{2}}{1-ikx}</math>
et <math>B=0</math>
:[[File:ordre1.png|400px]]
==== Ordre 2 ====
Conditions aux limites : <math>\phi_2^0=0</math> et <math>\phi_{2,x}^L=ik\phi_{2}^L</math>.
:On résout : <math>\phi_{xx,2}-s\phi_{x,1}+k^2\phi_{1}=0</math>
:[[File:ordre2.png|400px]]

=== Ordre n ===
On résout : <math>\phi_{xx,n}-s\phi_{x,n-1}+k^2\phi_{n-1}=0</math> 
:[[File:gif cas 4.gif|400px]]

== '''Analyse des résultats, limites et intérêt de la méthode d'homotopie''' ==


=== Intérêts de la méthode d'homotopie ===

La méthode d'homotopie comme nous venons de l'illustrer peut permettre la modélisation des ondes, en l'occurence ici, de la houle qui est un phénomène complexe. En effet on peut a l'aide de cette méthode modéliser les réflexions, réfraction ou diffraction des ondes aquatiques. Une solution mathématique simple converge par la méthode d'homotopie vers une solution finale complète. Le paramètre p variant de 0 a 1 permet d'approcher la solution recherchée. 
 
Ceci nous permet de mieux comprendre le comportement de cette houle sur nos cotes (prévision de submersions marines ou d'érosion). 
[[File:Capture d’écran 2021-05-24 à 17.53.27.png|200px]]      [[File:fonte-glace-arctique-antarctique-rechauffement-climatique.jpg|200px]]

=== Limites des résultats obtenus ===

Cependant, il existe des limites à ce modèle,on peut dire que l'homotopie ne marche pas toujours en fonction de la valeur de k .

==== Paramètres naturels et physiques ====

Tectonique des plaques, séismes, transport sédimentaire influençant le fond du canal (hypothèse de fond plat), tous ces paramètres naturels difficilement quantifiables et aléatoires ne permettent pas au modèle de coller parfaitement à la réalité.

De plus les phénomènes de réfraction et diffraction sont plus importants dans la réalité car le trait de côte ne se limite pas à un parfait trait horizontal comme précisé dans le modèle.

==== Approximation mathématique ====

En effet, la houle est considérée constante or un phénomène naturel de cette ampleur n'est pas réellement constant.

De plus les constantes L et k sont des approximations mathématiques de phénomènes naturels, par définition le modèle s'éloigne de la réalité au fur et à mesure qu'on le simplifie mathématiquement.