ANSWER : ondes de disjonction dans les canaux : Différence entre versions

Version du 13 novembre 2016 à 00:30

Eléments de contexte

Cette fiche a été conçue dans le cadre du projet de sciences participatives ANSWER qui a pour objectif de rassembler ou de développer suivant l'état des connaissances, des solutions analytiques des équations de Navier-Stokes dans les domaines de l'hydraulique à surface libre. Il s'agit de les valider par des essais en laboratoire et de les comparer avec des codes de calcul sur des cas schématiques. Des vidéos illustrent ces processus dans la nature si cela s'avère techniquement réalisable.

Problématique

à rédiger

Mise en équations

Nous nous placerons ici dans des configurations de fermetures ou d'ouvertures de vannes, qui vont provoquer de brusques variations et la génération d'ondes que nous appellerons ondes de disjonction ou de translation. L'écoulement sera supposé non stationnaire et rapidement varié. Nous distinguerons quatre différents types d'onde qui résultent de deux situations :

• la fermeture d'une vanne produit :

une onde positive vers l'amont (blocage du débit) qui provient donc de l'aval (appelée onde positive d'aval)

une onde négative vers l'aval (baisse de niveau dû à une diminution de débit) qui provient donc de l'amont (appelée onde négative d'amont)

• l'ouverture d'une vanne produit:

une onde négative vers l'amont (augmentation du débit à l'aval) qui provient donc de l'aval (appelée onde négative d'aval)

une onde positive vers l'aval (augmentation de débit) qui provient donc de l'amont (appelée onde positive d'amont)

Les ondes positives sont caractérisées par une forte discontinuité , sous la forme d'un train d'onde qui peut déferler. Par contre, les ondes négatives auront la forme de courbes à cambrure plus douce.`` (inclure un schéma) Nous reprendrons ici les appellations et les développements de W.H. Graf et M.S. Altinakar (1)

Mise en équations Nous allons donc établir les équations de continuité et de quantité de mouvement.

Equation de continuité

Considérons un volume unité de fluide. L'équation de continuité traduit la conservation du fluide le long d'un tube de courant $ x $ qui traverse avec un débit $ Q $ une surface $ S $. Elle s'écrit:

$ \dfrac{ \partial S }{ \partial t }+\dfrac{ \partial Q }{ \partial x }=0 $
Or le premier membre peut être transformé en :
$ \dfrac{ \partial S }{ \partial t }=\dfrac{ \partial S}{ \partial Q }\dfrac{ \partial Q}{ \partial t } $
L'équation de continuité s'écrit alors:
$ \dfrac{ \partial S }{ \partial Q}\dfrac{ \partial Q}{ \partial t }+\dfrac{ \partial Q}{ \partial x }=0 $
Ou encore:
$ \dfrac{ \partial Q }{ \partial t}+\dfrac{ \partial Q}{ \partial S }\dfrac{ \partial Q}{ \partial x }=0 $
Ce qui revient à dire que le débit $ Q $ est constant le long de la caractéristique et qu'il se déplace à la vitesse suivante :
$ c=\dfrac{ \partial Q }{ \partial S} $
qui est la célérité de l'onde transportant le débit $ Q $:
L'équation de continuité s'écrit alors:
$ \dfrac{Q }{ dt }+c\dfrac{ \partial Q }{ \partial x }=0 $

Equation de quantité de mouvement

La première loi de Newton nous permet d'écrire que la variation de quantité de mouvement d'un corps de masse $ m $ occupant un volume de contrôle $ V $ est le résultat de la somme des forces qui lui sont appliquées. Ainsi:

$ \sum\vec{ F_e}= \int_{m} \dfrac{ d(m\vec{U}) }{ d t } =\int_{V} \rho\dfrac{ d\vec{U} }{ d t } \mathrm{d}V $

Nous supposons que l'axe des $ x $ est perpendiculaire à la surface $ S $. Si le fluide ne se déplace que selon la direction $ x $, nous pouvons écrire:

$ \dfrac{ dU}{ dt } = \dfrac{ \partial U}{ \partial t } +U\dfrac{ \partial U}{ \partial x} $
Soit :

$ \sum {F_e}= \int_{V} \ro\dfrac{ \partial U }{ \partial t } \mathrm{d}V + \int_{V} \ro U\dfrac{ \partial U }{ \partial x} \mathrm{d}V $
Traitons ces deux membres en décomposant la direction $ x $ et la surface $ S $ :
$ \sum {F_e}=\sum {F_{e1}}+\sum {F_{e2}} $

première partie

$ \sum {F_{e1}}= \int_{V} \rho \dfrac{ \partial U }{ \partial t} \mathrm{d}V $
qui peut se décomposer suivant la direction $ x $ et la surface $ S $

$ \sum {F_{e1}}= \rho \int_{x} \int_{S} \dfrac{ \partial U }{ \partial t} \mathrm{d}x \mathrm{d}S $
Ce qui conduit à:

$ \sum {F_{e1}}= \rho \int_{x} \dfrac{ \partial Q }{ \partial t} \mathrm{d}x $
En utilisant l'équation de continuité, nous obtenons entre deux sections;

$ \sum {F_{e1}}= -\rho c\int_{x} \dfrac{ \partial Q }{ \partial x} \mathrm{d}x $
Soit en intégrant suivant la direction $ S $ :

$ \sum {F_{e1}}= -\rho c \Delta Q $

seconde partie

$ \sum {F_{e2}}= \int_{x} \int_{S} \ro U\dfrac{ \partial U }{ \partial x} \mathrm{d}x \mathrm{d}S $
Nous obtenons:
$ \sum {F_{e2}}= \rho \int_{x} \dfrac{ \partial U }{ \partial x} \mathrm{d}x \int_{S} U\mathrm{d}S $
Or la seconde partie de l'intégrale représente le débit traversant la surface $ S $ :
L'équation de continuité s'écrit donc:
$ \sum {F_{e2}}= -\rho c \Delta U Q $

expression générale de l'équation de continuité

$ \sum {F_{e}}= \rho Q \Delta U- \rho c \Delta Q $

Application à un canal

Soit un canal rectiligne de gabarit constant. Ecrivons le système d'équations (continuité et quantité de mouvement) entre 2 sections $ S_1 $ et $ S_2 $ caractérisées par des vitesses de l'écoulement $ U_1 $ et $ U_2 $ .

$ \begin{cases} (U_1-c)S_1=(U_2-c)S_2 \\ \sum {F_{e}}= \rho \left[ Q_2U_2-Q_1U_1-c (Q_2-Q_1) \right] \end{cases} $

En réarrangeant et en utilisant l'équation de continuité, nous obtenons:

$ \begin{cases} (U_1-c)S_1=(U_2-c)S_2 \\ \sum {F_{e}}= \rho \left[ (U_2-U_1)(U_1-c) S_1 \right] \end{cases} $

Nous allons maintenant exprimer les forces extérieures pour un canal de gabarit constant et de pente négligeable et de très faible rugosité. Seule est donc prise en compte les forces de pression qui s'exercent selon les deux surfaces de profondeur $ h_1 $ et $ h_2 $ et de largeur $ B $

$ \sum {F_{e}}= -\rho g \int_{x} S \dfrac{ \partial h }{ \partial x} \mathrm{d}x =-\rho g \int_{x} Bh \dfrac{ \partial h }{ \partial x} \mathrm{d}x=-\rho g B\int_{x} S \dfrac{ 1}{ 2} \dfrac{ \partial h^2 }{ \partial x} \mathrm{d}x $
D'où finalement: $ \sum {F_{e}}= g\dfrac{ h_1^2 }{ 2}-g\dfrac{ h_2^2 }{ 2} $

Finalement nous obtenons :

$ g\dfrac{ h_1^2 }{ 2}-g\dfrac{ h_2^2 }{ 2}=h_1(U_1-c)(U_2-U_1) $

et donc l'expression de la célérité de l'onde:

$ c=U_1-\sqrt {gh_1} \sqrt { \dfrac {h_2 }{ 2h_1} \left( 1+\dfrac { h_2 }{ h_1} \right) } $

Pour résoudre ce problème, nous connaissons en général $ h_1 $, $ U_1 $ et la variation de débit $ \Delta Q $.

En utilisant cette dernière relation et la valeur de la célérité : $ c=\Delta Q/\Delta S =\Delta q/\Delta h $, nous pouvons en déduire $ h_2 $ et $ c $.

A noter que l'expression ci-dessus est valable pour les ondes d'aval positives et négatives. Pour les ondes d'amont positives et négatives, il convient de prendre un signe positif avant le radical dans l'expression ci-dessus.

Profil en long de l'onde de rupture d'un barrage

Nous allons déterminer dans ce cas simple, le profil de l'onde de rupture d'un barrage (à rédiger)

réalisation d'essais physiques à la CNR

Plusieurs essais physiques ont été réalisés à la CNR sur le canal de laboratoire dont les dimensions sont les suivantes:

à rédiger

Les résultats mettent

Bibliographie

1. Hydraulique fluviale - vol. 16 - Ecoulement et phénomènes de transport dans les canaux à géométrie simple, 628 p., Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 2000

Remerciements

Les auteurs expriment leurs remerciements à :

• Laurence Duchenne, Pierre Roumieu et Pierre Balayn ainsi qu'à tous les personnels de la CNR qui ont aidé à la réalisation de ces essais
• Bernard Clément de l'ENTPE, responsable du projet FORM@HYDRO

Les auteurs

Jean-Michel Tanguy William Chloé Angeline Emmanuelle Damien et Lucas