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Sommaire

1 Eléments de contexte
2 Modèle mathématique
3 Bibliographie

[modifier] Eléments de contexte

Cette page fait partie de la démarche collaborative ANSWER , dont l'objectif est de faire collaborer scientifiques et grand public autour du domaine de l'eau.
Le diagramme suivant illustre le positionnement de la page dans la partie de ANSWER consacrée à la morphodynamique. Chaque "perle" représente une solution analytique (perle "cliquable" sur le diagramme ci-dessous) qui renvoie sur une page plus théorique.

La page que vous consultez actuellement décrit le modèle mathématique dans lequel s'inscrit la solution analytique.

[modifier] Modèle mathématique

[modifier] liste des paramètres utilisés

Paramètres descriptifs du domaine	Paramètres hydrosédimentaires
Niveau de la surface : $ Z_s=Z_s(x,y) $	$ \rho_s,\rho $ : masse volumique des sédiments secs et du fluide
Niveau du fond : $ Z_f=Z_f(x,y) $	$ \tau_b $ : contrainte hydrodynamique moyenne sur le fond $ (N/m^2) $
Couche de charriage : $ a(x,y)=Z_a-Z_f $	$ \tau_cr $ : contrainte hydrodynamique moyenne sur le fond $ (N/m^2) $
Couche de suspension : $ h(x,y)=Z_s-Z_a $	$ C_h, K_s $ : coefficient de Chézy $ (m^{1/2}/s) $ et de Strikler $ (m^{1/3}/s) $
Profondeur d'eau : $ H(x,y)=Z_s-Z_f $	$ \nu $ : viscosité cinématique du fluide $ (m^2)/s $
	$ d_{50} $ : diamètre médian des matériaux $ (m) $
	$ q_s $ : débit volumique de transport solide $ (Kg/m^2.s) $
	$ u,v $ : composantes de la vitesse moyenne du fluide intégrée sur la verticale $ (m/s) $

[modifier] Lois de conservation

La loi de conservation d'un scalaire : ici la concentration pondérale $ C $ de sédiments en suspension exprimée en $ m^3/m^3 $, à l’intérieur d'un volume $ V $ entourée par une surface $ S $ a pour expression :
$ \dfrac{\partial }{\partial t}\int_{V} CdV $

La concentration $ C $ à l'intérieur du domaine varie sous l'effet des flux appliqués à sa surface, ainsi que sous l'effet des sources-puits qui sont appliquées soit sur sa surface $ Q_s $, soit à l'intérieur du domaine ($ Q_v $.

La forme générale de la loi de conservation s'écrit :

$ {(1)}\quad { } \dfrac{\partial }{\partial t}\int_{V} CdV+\int_{S} \vec {F}.d\vec {S}=\int_{V} Q_VdV+\int_{S} \vec {Q_s} dS $

Dans notre exemple, nous allons supposer qu'il n'y a aucune source à l'intérieur du domaine ou à sa surface. On a donc : $ Q_V = Q_S = 0 $. La relation (1) s'écrit donc :

$ {(2)}\quad { } \dfrac{\partial }{\partial t}\int_{V} CdV+\int_{S} \vec {F}.d\vec {S}=0 $

Le théorème de Gauss appliqué à cette équation nous donne :

$ {(3)}\quad { } \int_{V} \dfrac{\partial C }{\partial t} dV+\int_{V} Div\vec {F}.dV=0 $

Précisons ici qu'il s'agit de grandeurs instantanées. Le flux $ F $ représente le débit solide volumique par unité de surface $ \vec q $ : Par ailleurs, dans le cas du transport saturé, les taux d'accumulation et de production/perte sont nuls.

$ \dfrac{\partial } {\partial x} \int_{V} CdV $

Il reste :

$ {(4)}\quad { } Div \vec q = \dfrac{\partial q_x}{\partial x} +\dfrac{\partial q_y}{\partial y} +\dfrac{\partial q_z}{\partial z} $

La loi de conservation, sous forme intégrée sur la verticale s'écrit pour la couche de charriage (5)

$ {(5)}\quad { } \int_{Z_f}^{Z_a} \Bigl( \dfrac{\partial q_x}{\partial x} +\dfrac{\partial q_y}{\partial y} +\dfrac{\partial q_z}{\partial z} \Bigr) dz=0 $

$ Z_a(x,y) $ est remplacé par $ Z_s(x,y) $ pour le transport total.

Nous pouvons écrire en utilisant la formule d'intégration de Leibnitz :

$ {(6)}\quad { }\begin{cases} \int_{Z_f}^{Z_a}Div\vec q \, dz= & \dfrac{\partial }{\partial x}\int_{Z_f}^{Z_a} q_x dz-q_x(Z_a) \dfrac{\partial Z_a}{\partial x}+q_x(Z_f) \dfrac{\partial Z_f}{\partial x} + \\ \\ & \dfrac{\partial }{\partial y}\int_{Z_f}^{Z_a} q_y dz-q_y(Z_a) \dfrac{\partial Z_a}{\partial y}+q_y(Z_f) \dfrac{\partial Z_f}{\partial y} + \\ \\ & q_z(Z_a) -q_z(Z_f) \end{cases} $

que l'on peut écrire sous la forme:

$ {(7)}\quad { } \dfrac{\partial q_{sx } }{\partial x} +\dfrac{\partial q_{ sy}}{\partial y} +\vec q_z(Z_a)\bullet \vec n_a J_a -\vec q_z (Z_f)\vec q_z(Z_a) \bullet \vec n_f J_f =0 $

avec :

$ q_{ sx} \int_{Z_f}^{Z_a} q_x dz \quad \text{et} \quad q_{ sy}\int_{Z_f}^{Z_a}q_ydz $

$ J_a=\Bigl( 1+ \dfrac{\partial Z_a^2}{\partial x} + \dfrac{\partial Z_a^2}{\partial y}\Bigr)^ {1/2 } \quad \text{et} \quad J_f=\Bigl( 1+ \dfrac{\partial Z_f^2}{\partial x} + \dfrac{\partial Z_f^2}{\partial y} \Bigr)^ {1/2 } $

et:

$ \vec n_a=\left\langle \dfrac{\partial Z_a}{\partial x} ; \dfrac{\partial Z_a}{\partial y};1 \right\rangle /J_a \quad \text{et} \quad \vec n_f=\left\langle \dfrac{\partial Z_f}{\partial x} ; \dfrac{\partial Z_f}{\partial y};1 \right\rangle /J_f $

La relation (7) s'écrit sous la forme :

$ {(8)}\quad { } \dfrac{\partial q_{sx }}{\partial x} +\dfrac{\partial q_{sy }}{\partial y} +q_ {na } (x,y) +q_ {nf } (x,y) =0 $

avec :

$ q_ {na }(x,y)= \vec q(Z_a)\bullet \vec n_a J_a \quad \text{et} \quad q_ {na }(x,y)= \vec q(Z_a)\bullet \vec n_a J_a $

$ q_ {sx }(x,y) \; \text{et} \quad q_ {sy }(x,y) $ exprimés en (m3/m.s) sont les composantes du flux sédimentaire total, s'exerçant sur la couche de charriage, suivant les deux directions horizontales.
$ q_ {na}(x,y) \; \text{et} \quad q_ {nf }(x,y) $et exprimés en (m3/m.s) sont les composantes du flux sédimentaire, s'exerçant dans le sens des normales (na et nf) à la couche de charriage.
$ q_ {na}(x,y) $ est le flux d'échange entre le charriage et la suspension ;
$ q_ {nf}(x,y) $ est le flux d'érosion ou de dépôt entre le fond et la couche de charriage. Dans le cas du transport saturé, on suppose que $ q_ {na}(x,y)=0 $

Pour le transport total, la couche verticale est représentée par la profondeur d'eau :

$ H=Z_s-Z_f \quad \text {avec} \quad q_ {ns}=0 $

Nous obtenons ainsi la loi de conservation bidimensionnelle :

$ {(9)}\quad { } Div\vec q_s+q_ {nf}(x,y)=0 \quad \text {avec} \quad \vec q_s=(q_ {nx},q_ {ny}) $

Le flux sédimentaire caractérise les processus de dépôt et d'érosion qui ont lieu avec le fond. Ces échanges entre la couche de charriage (ou la colonne d'eau pour le modèle de transport total) et le fond, provoquent la modification de celui-ci.

Plaçons nous maintenant au niveau du fond et intéressons nous à la matière constituant ce fond. Nous allons écrire que le flux de matériaux érodés ou déposés provoque l'évolution du niveau du fond. Si l'on désigne par n la porosité de la couche du fond en contact avec la couche de charriage, la loi de conservation de la matière peut s'écrire sous la forme :

$ {(10)}\quad { } q_ {nf}(x,y)=(1-n) \dfrac{\partial Z_f }{\partial t} $

En rapprochant les équations (9) et (10), nous retrouvons l'équation bien connue de l'évolution de la cote du fond :

$ {(11)}\quad { } (1-n) \dfrac{\partial Z_f } {\partial t} +Div\vec q_s =0 $

Le flux de charriage ou de transport total $ q_ s $ (exprimé en m3/m².s) est évalué par une formule empirique.

Pour simplifier les écritures dans la suite de cet article, nous supposerons que le facteur $ (1-n) $ est inclus dans $ Z_ f $.

L'évaluation du transport saturé se fait au moyen de formules empiriques, qui prennent en compte :

des paramètres hydrodynamiques : $ u, v, Z_s $ calculés par un modèle d'écoulement hydrodynamique ($ u $ et $ v $sont les composantes de la vitesse moyenne sur la verticale de l'écoulement suivant les directions x et y ; $ Z_ s $ la cote de surface libre).
des paramètres sédimentaires : $ \rho_ s, d_{50 } $ qui représentent respectivement la masse volumique et le diamètre moyen du sédiment.

Nota : Dans ce qui suit, nous désignerons par $ \vec \tau_b=\rho g \dfrac{ |\vec u | \vec u} {C_h^2} $ en (N/m²) la contrainte hydrodynamique s'exerçant sur le fond, par $ \tau_{*b }=\tau_b/( \rho_s- \rho)g d_{50 } $ la contrainte adimensionnelle de cisaillement, par $ u_*=\sqrt { \tau_b/\rho} $ en (m/s) la vitesse de cisaillement sur le fond et par $ \tau _{cr }=0.047 $ (Meyer-Peter) la contrainte critique adimensionnelle de début d'entraînement des matériaux sur le fond.

On trouve, dans la littérature, toute une panoplie de formules empiriques de transport, qui ont été établies pour des conditions hydrodynamiques et sédimentologiques bien précises et qu'il convient d'utiliser avec beaucoup de précaution. Nous en donnons ici deux exemples :

Meyer-Peter et Müller pour le charriage : $ 0.4 \le d_{50 } \le 30 mm $

$ {(12)}\quad { }\begin{cases} \tau_{*b }>\tau_{*cr } \quad \vec q_s=8 \sqrt {\Delta g d_{50 }^3} (\tau_{*b }-\tau_{*cr } )^{3/2 } \dfrac{ \vec u } { |\vec u | } \\ \tau_{*b }\le\tau_{*cr } \quad \vec q_s=0 \end{cases} $

Engelund-Hansen pour le transport total :

$ {(13)}\quad { }\begin{cases} \tau_{*b }>\tau_{*cr } \quad \vec q_s=0.053 \sqrt { \dfrac{ \Delta d_{50 }^3} {g } } C_h^2 \tau_{*b } ^{5/2 } \dfrac{ \vec u } { |\vec u | } \\ \tau_{*b }\le\tau_{*cr } \quad \vec q_s=0 \end{cases} $

[modifier] Identification des termes de l'équation

Terme 1 : $ \dfrac{\partial Z_f }{\partial t} $ est le terme d'évolution temporelle du fond. Terme 2 : $ \dfrac{\partial q_{sx } }{\partial x} +\dfrac{\partial q_{ sy}}{\partial y} $ est le terme de conservation du débit solide.

Cette équation est donc :

NON-STATIONNAIRE (terme 1),

soit LINEAIRE si l'on considère $ q_{sx } $ , $ q_{sy } $ comme indépendants de $ Z_f $ ,
soit QUASI-LINEAIRE si $ q_{sx } $ , $ q_{sy } $ sont faiblement dépendants de $ Z_f $ ,
soit NON-LINEAIRE si $ q_{sx } $ , $ q_{sy } $ sont très dépendants de $ Z_f $,

à dominante HYPERBOLIQUE.

[modifier] Conditions aux limites et conditions initiales

Les conditions aux limites pour ce modèle sont liées à la cote du fond $ Z_f $,:

Amont : cote de fond fixe
Aval : cote de fond libre.

[modifier] Solutions analytiques

Pour obtenir une solution analytique en 1D du système constitué par les relations (11) et (13), nous pouvons choisir d’exprimer explicitement l’une des relations de transport en fonction de l’inconnue $ Z_f $ , en positionnement le niveau de référence au niveau de la surface libre, ce qui signifie que $ Z_f $ représente la profondeur d’eau. Pour simplifier les choses, nous considèrerons un canal à plafond (niveau de la surface libre fixe et horizontale) suivant l’axe des x. Nous désignerons par $ q_{lx} $ le débit liquide. Ainsi, en reportant l’expression du transport solide (13) dans l’équation de conservation des fonds (11), nous obtenons d’une part l’expression explicite du transport solide :

$ {(14)}\quad { } q_s=0.053 \Bigl( \dfrac{ \rho } {\rho_s - \rho } \Bigr)^2 \dfrac{ 1} {d_{50} \sqrt {g} C_h^3} q_{lx}^{5}Z_f^{-5/6} $

et d’autre part le système suivant à résoudre :

$ {(15)}\quad { }\begin{cases} \dfrac { \partial Z_f} {\partial t } + C_{ fn} (Z_f) \dfrac { \partial Z_f} {\partial x } =0 \\ C_{ sx}= 0.044\Bigl( \dfrac{ \rho } {\rho_s - \rho } \Bigr)^2 \dfrac{ 1} {d_{50} \sqrt {g} C_h^3} q_{lx}^{5}Z_f^{-11/6} \end{cases} $

La solution analytique est donnée par la méthode des caractéristiques selon la direction principale de l’écoulement $ q_l $

[modifier] Bibliographie

Francais

Le Guennec B. et Tanguy J.M., 2009, "Modèles de transport solide et d'évolution des fonds", Traité d'hydraulique environnementale - Ed. Jean-Michel Tanguy, Hermes-Lavoisier Vol. 4, pp 161-191.
Thual O., 2011, "Hydrodynamique de l'environnement, Editions de l'Ecole Polytechnique, 322 p

Anglais

Le Guennec B. et Tanguy J.M., 2010, "Solid Transport Models and Evolution of the Seabed", Mathematical Models - Environment Hydraulics series, Ed. Jean-Michel Tanguy, John Wiley, pp 336 - 367.

Le créateur de cet article est Jean-Michel Tanguy
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