Utilisateur:Jean-Michel Tanguy/SujetENTPE2020/DAVID-POULTIER-TORNES : Différence entre versions

Version actuelle en date du 15 juin 2020 à 09:17

Le thème de l'étude a pour but de modéliser l'impact du changement climatique sur les côtes en quantifiant l'impact des houles sur le littoral.
Afin de modéliser les houles, l'étude utilise le modèle de Berkhoff (ou équation de pente douce) qui intègre la repésentation des phénomènes de réfraction des fonds, le shoaling, la diffraction et la réflexion des structures côtières comme les digues ou les jétées.
Les équations obtenues seront résolues par uné méthode analytique ainsi qu'une méthode semi analytique : l'homotopie.

[modifier] Equation de Berkhoff

Ce modèle a pour expression : $ \boxed{ \nabla.(CC_g\nabla \phi)+k^2CC_g\phi=0 } $

où $ \phi $ est le potentiel, k est le nombre d’onde fonction de la profondeur H et de la fréquence $ \omega $ (T est la période), par la relation implicite $ \omega^2=gk \tanh(kH) $ , C est la célérité de l’onde, Cg est la célérité de groupe des vagues.

Pour simplifier le problème, nous nous placerons dans le domaine des ondes longues, ce qui signifie que $ C=C_g=\sqrt{gH} $.

On peut alors déduire la hauteur de la houle : $ H_l(x)=\Re{(\phi)}/\left| \phi \right| $ et son évolution dans le temps: $ h(x,t)=\Re \left (H_l(x)e^{-i\omega t} \right ) $.

[modifier] Principe de la résolution par homotopie

Le principe d'une résolution par homotopie est d'approcher une solution finale précise à l'aide d'une solution initiale simple et connue. Pour se faire on déforme la solution initiale de manière continue jusqu'à atteindre la solution finale. La continuité de la déformation est assurée par un paramètre p variant de 0 à 1.

Pour résoudre une équation différentielle avec cette méthode il faut transformer l'équation de base en une relation d'homotopie comme suit: $ (1−p)[L(U(x,t);p)−L(u_0(x,t))]+cH(p)[L(U(x,t);p)−N(U(x,t),p)−f(x)] $
avec L un opérateur linéaire, N un opérateur non-linéaire, f les termes complémentaires de l’équation et $ u_0 $ une estimation initiale de la solution.

Pour la suite, nous ferons l'hypothèse que H(p)=p.

[modifier] Canal uniforme plat avec sortie libre en amont

On s'intéresse à une onde se propageant dans un domaine monodimensionnel plat de longueur L avec entrée par l'aval d'une onde de fréquence unitaire et une sortie libre en amont.

On se place dans un domaine monodimensionnel de profondeur constante. L'équation se simplifie alors en $ \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+k^2\phi=0 $
Cette équation correspond à l'équation de Helmholtz.

[modifier] Solution analytique

La forme des solutions est donc de la forme $ \phi(x)=A\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx}+B\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx} $ où A et B sont deux constantes à déterminer grâce aux conditions aux limites $ \phi=1 $ en $ x=0 $ et $ \frac{\partial \phi}{\partial x}=\mathrm{i}k\phi $ en $ x=L $.
On trouve alors $ A=0 $ et $ B=1 $ d'où $ \phi(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx} $.

On peut alors déduire la hauteur de houle car $ \phi(x,t)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(kx-\omega t)} $ d'où $ \boxed{h(x,t)=\cos (kx-\omega t)} $.

[modifier] Résolution par homotopie

La relation d'homotopie s'écrit $ (1-p)\Phi_{xx} +p(\Phi_{xx}+k^{2}\Phi)=0 $ qui se simplifie en $ \Phi_{xx} +pk^{2}\Phi=0 $. On prend $ u_{0}=0 $.

Ordre 0: L'équation s'écrit $ \Phi_{0,xx}=0 $.

Ainsi, on a $ \Phi_0=Ax+B $ où $ A $ et $ B $ sont deux constantes à déterminer avec les conditions aux limites énoncées précedemment.
On en déduit alors $ A=\frac{ik}{1-ikL} $ et $ B=1 $.

Finalement, on a $ \boxed{\Phi_0(x)=1+\dfrac{ik}{1-ikL}x} $.

Ordre 1: L'équation s'écrit $ \Phi_{1,xx}+k^2\Phi_0=0 $.

Ainsi, on a $ \displaystyle\Phi_1+k^2\iint\Phi_0+Ax+B=0 $. Pour déterminer les deux constantes, il faut choisir comme condition en amont $ \Phi_1(0)=0 $ puisque la condition $ \Phi_1(0)=1 $ a déjà été utilisé.
On en déduit alors $ A=\frac{3k^{2}L-2k^{4}L^{3}-3\mathrm{i}k^{3}L^{2}}{3(1-ikL)^{2}} $ et $ B=0 $.

Finalement, on a $ \boxed{\Phi_1(x)=-k^{2}\dfrac{ik}{1-ikL}\dfrac{x^{3}}{6}-k^{2}\dfrac{x^{2}}{2}+\frac{3k^{2}L-2k^{4}L^{3}-3\mathrm{i}k^{3}L^{2}}{3(1-ikL)^{2}}x} $.

Ainsi, en déterminant tout les ordres jusqu'à un certain ordre $ n $ on obtient la solution $ \Phi(x)=\sum_{i=0}^{n}p^{i}\Phi_{i}(x) $. On peut alors évaluer ce polynôme en 1 et déterminer la hauteur de la houle en prenant les mêmes valeurs de constante que dans la simulation analytique.

[modifier] Etude de sensibilité

Les paramètres qui influent sur la houle sont la période temporelle T ainsi que la profondeur.
Il est plutôt évident que l'augmentation de la période mène à un éloignement entre chaque vague. Cet espacement peut être plus ou moins grand selon la valeur de la période.

Voici, l'impact de la profondeur :

On observe que la profondeur a une grande influence sur la forme des vagues. En effet, lorsque la profondeur est faible, les vagues sont très resserées alors qu'une grande profondeur éloigne les vagues les unes des autres. Ainsi, lorsque la profondeur est élevé, les vagues se déplacent plus vites et plus longtemps et pourraient donc atteindre les côtes.

[modifier] Canal uniforme unidimensionnel plat avec réflexion totale en amont

On s'intéresse à une onde se propageant dans un domaine monodimensionnel plat de longueur L avec entrée par l'aval d'une onde de fréquence unitaire ainsi qu'une condition de flux aval précisée plus loin et une réflexion totale en amont.

L'équation reste la même que dans le cas n°1 : $ \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+k^2\phi=0 $.

[modifier] Solution analytique

La forme des solutions est donc toujours de la forme $ \phi(x)=A\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx}+B\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx} $ où A et B sont deux constantes à déterminer grâce aux conditions aux limites $ \frac{\partial \phi}{\partial x}=\mathrm{i}k(2-\phi) $ en $ x=0 $ et $ \frac{\partial \phi}{\partial x}=0 $ en $ x=L $.
On trouve alors $ A=\mathrm{e}^{2\mathrm{i}kL} $ et $ B=1 $.

On en déduit alors $ \phi(x,t)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(k(x-2L)+\omega t)}+\mathrm{e}^{\mathrm{i}(kx-\omega t)} $ et donc $ h(x,t)=\frac{\cos (kx-\omega t)+\cos(k(x-2L)+\omega t)}{\sqrt{2(1+\cos(2k(x-L))}} $ qui se simplifie en $ \boxed{h(x,t)=cos(kL-\omega t)} $.

Voici alors l'allure de la houle lorsqu'on prend seulement la partie réelle du potentiel :
Nous prenons ici les valeurs telles que k=1 et L=1.

[modifier] Résolution par homotopie

La relation d'homotopie s'écrit toujours $ (1-p)\Phi_{xx} +p(\Phi_{xx}+k^{2}\Phi)=0 $ qui se simplifie en $ \Phi_{xx} +pk^{2}\Phi=0 $. On prend $ u_{0}=0 $.

Ordre 0: L'équation s'écrit $ \Phi_{0,xx}=0 $.

Ainsi, on a $ \Phi_0=Ax+B $ où $ A $ et $ B $ sont deux constantes à déterminer avec les conditions aux limites énoncées précedemment.
On en déduit alors $ A=0 $ et $ B=1 $.

Finalement, on a $ \boxed{\Phi_0(x)=2} $.

Ordre 1: L'équation s'écrit $ \Phi_{1,xx}+k^2\Phi_0=0 $.

Ainsi, on a $ \displaystyle\Phi_1+k^2\iint\Phi_0+Ax+B=0 $. On en déduit alors $ A=2k^{2}L $ et $ B=2+2\mathrm{i}kL $.

Finalement, on a $ \boxed{\Phi_1(x)=-k^{2}x^{2}+2k^{2}Lx+2+2\mathrm{i}kL} $

Ci-dessous, les solutions aux ordes 1, 7 et 10:

[modifier] Etude de sensibilité

Nous obtenons les mêmes résulats que dans le cas précédent puisque le fond est toujours plat. Cependant, l'amplitude de la vague est encore plus grande lorsque la profondeur est grande à cause du phénomène de réflexion.

[modifier] Canal uniforme unidimensionnel avec pente du fond constante

On s'intéresse à une onde se propageant dans un domaine monodimensionnel de longueur L avec pente du fond constante avec entrée par l'aval d'une onde fréquence unitaire et une sortie libre en amont. On supposera que le nombre d'onde $ k $ est constant.

On se place dans un domaine monodimensionnel avec pente du fond constante. On va noter la pente $ H(x)=H_0-\alpha x $ où $ H_0 $ correspond à la hauteur initiale du fond et $ \alpha $ correspond à la pente du fond. L'équation s'écrit donc :
$ (H_0-\alpha x)\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}-\alpha \frac{\partial \phi}{\partial x}+k^2(H_0-\alpha x)\phi=0 $
On effectue alors le changement de variable $ X=\frac{k}{\alpha}(H_0-\alpha x) $. L'équation devient alors :
$ \alpha kX\frac{\partial^2 \phi}{\partial X^2}+\alpha k\frac{\partial \phi}{\partial X}+\alpha kX\phi=0 $
En divisant alors par $ \alpha k $ et en multipliant par $ X $, on obtient alors l'équation de Bessel suivante :
$ X^2\frac{\partial^2 \phi}{\partial X^2}+X\frac{\partial \phi}{\partial X}+X^2\phi=0 $

[modifier] Solution analytique

La forme des solutions est donc de la forme $ \phi(X)=AJ_0(X)+BY_0(X) $ où $ J_0 $ et $ Y_0 $ correspondent aux fonctions de Bessel respectivement de première et de deuxième espèce.
On effectue alors le changement de variable inverse :
$ \phi(x)=AJ_0(\frac{k}{\alpha}(\alpha x-H_0))+BY_0(\frac{k}{\alpha}(px-H_0)) $.
On pose $ x_L=\frac{k}{\alpha}(\alpha L-H_0) $ et $ x_0=-\frac{k}{\alpha}H_0 $.
On trouve alors $ A=\frac{Y_1(x_L)-\mathrm{i}Y_0(x_L)}{\epsilon} $ et $ B=\frac{J_1(x_L)+\mathrm{i}J_0(x_L)}{\epsilon} $ en posant $ \epsilon=(Y_1(x_L)-\mathrm{i}Y_0(x_L))J_0(x_0)+(J_1(x_L)+\mathrm{i}J_0(x_L))Y_0(x_0) $.

[modifier] Résolution par homotopie

L'équation peut s'écrire $ (1-e*x)\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}-e\frac{\partial \phi}{\partial x}+k^{2}(1-e*x)\phi=0 $ en posant $ e=\frac{H_0}{\alpha} $.

La relation d'homotopie s'écrit alors$ (1-p)\Phi_{xx} +p((1-ex)\Phi_{xx}-e\Phi_{x}+k^{2}(1-ex)\Phi)=0 $ qui se simplifie en $ \Phi_{xx} +p(-ex\Phi_{xx}-e\Phi_{x}+k^{2}(1-ex)\Phi)=0 $. On prend $ u_{0}=0 $.

L'allure de la houle est alors la suivante en prenant des valeurs telles que k=1. Ici le terme de pente est égal à 1.

[modifier] Canal uniforme unidimensionnel avec pente du fond exponentielle

On s'intéresse à une onde se propageant dans un domaine monodimensionnel de longueur L avec pente du fond exponentiel avec entrée par l'aval d'une onde fréquence unitaire et une sortie libre en amont.

On se place dans un domaine monodimensionnel avec pente du fond exponentielle. On va noter la pente $ H(x)=H_0\mathrm{e}^{-\alpha x} $ où $ H_0 $ correspond à la hauteur initiale du fond et $ \alpha $ correspond à la pente du fond. L'équation s'écrit donc :
$ \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}-\alpha\frac{\partial \phi}{\partial x}+k^2\phi=0 $

On en déduit alors l'équation caractéristque : $ r^2-\alpha r+k^2 $ et ainsi le discrimant associé $ \Delta = \alpha^2 -4k^2 $. Il faut donc résoudre suivant la valeur du discriminant.

[modifier] Solution analytique

[modifier] Discriminant positif : $ \alpha^2 > 4k^2 $

On a $ \Delta=\alpha^2-4k^2>0 $. Alors on dispose de deux solutions réelles à savoir $ r_1 $ et $ r_2 $ telles que :

Les solutions sont donc de la forme $ A\mathrm{e}^{r_1x}+B\mathrm{e}^{r_2x} $ avec $ A $ et $ B $ deux constantes à déterminer grâce aux conditions aux limites $ \phi=1 $ en $ x=0 $ et $ \frac{\partial \phi}{\partial x}=\mathrm{i}k\phi $ en $ x=L $.

On trouve alors $ A=\dfrac{(r_2-\mathrm{i}k)\mathrm{e}^{r_2L}}{(-r_1+\mathrm{i}k)\mathrm{e}^{r_1L}+(r_2-\mathrm{i}k)\mathrm{e}^{r_2L}} $ et $ B=\dfrac{(-r_1+\mathrm{i}k)\mathrm{e}^{r_1L}}{(-r_1+\mathrm{i}k)\mathrm{e}^{r_1L}+(r_2-\mathrm{i}k)\mathrm{e}^{r_2L}} $.

En prenant, k=1, L=1 et $ \alpha=3 $, on obtient cette allure :

Etude de sensibilité

Ici, nous allons étudier l'influence du terme de pente $ \alpha $ en prenant comme période $ \pi /5 $ et 10 pour la profondeur.

On observe que plus le terme de pente est important, plus la "discontinuité" se fait en amont. Cependant, on observe aussi qu'il y a un terme de pente limite car la différence entre la pente de 15 et celle de 30 est très minime comparé au terme 3. Ici, la modélisation a été ralentie ce qui montre que les vagues sont très rapides pour ces valeurs.

[modifier] Discriminant nul : $ \alpha=2k $

On a $ \Delta=\alpha^2-4k^2=00 $. Alors on dispose d'une solution réelle telle que :

Les solutions sont donc de la forme $ (Ax+B)\mathrm{e}^{kx} $ avec $ A $ et $ B $ deux constantes à déterminer grâce aux conditions aux limites $ \phi=1 $ en $ x=0 $ et $ \frac{\partial \phi}{\partial x}=\mathrm{i}k\phi $ en $ x=L $.

On trouve alors $ A=\dfrac{\mathrm{i}k-k}{1+kL-\mathrm{i}k} $ et $ B=1 $.

En prenant, k=1, L=1 et $ \alpha=2 $, on obtient cette allure :

[modifier] Discriminant négatif : $ \alpha^2 < 4k^2 $

On a $ \Delta=\alpha^2-4k^2<0 $. Alors on dispose de deux solutions complexes : $ x=\frac{\alpha}{2} \pm i\frac{\sqrt{\vert \alpha^{2}-4k^{2}\vert }}{2} \\ $

On pose :$ \gamma=\frac{\alpha}{2} $ et $ k' =\frac{\sqrt{\vert \alpha^{2}-4k^{2}\vert }}{2}\\ $.

Les solutions sont donc de la forme $ \phi (x)= \mathrm{e}^{\gamma x}(C_{1}\cos (k'x)+C_{2}\sin (k'x)) $ avec $ C_1 $ et $ C_2 $ deux constantes à déterminer grâce aux conditions aux limites énoncées précédemment.

On trouve alors $ C_1=1 $ et $ C_2=\dfrac{(\mathrm{i}k-\gamma)cos(k'L)+k'sin(k'L)}{(-\mathrm{i}k+\gamma)sin(k'L)+k'cos(k'L)} $.

En prenant, k=1, L=1 et $ \alpha=1 $, on obtient cette allure :

Etude de sensibilité

On observe dans ce cas que la pente n'a pas d'influence sur l'amplitude de la houle qui est toujours la même que dans les deux cas précédents. Cependant, le terme de pente semble avoir une importance sur la déformation de la vague. En effet, on observe que le plus grand terme de pente montre une vague très déformée ce qui est moins le cas pour les autres vagues. On peut imaginer que la vague va plus facilement déferler ce qui pourrait être dangereux pour les côtes si la vague est rapide d'autant plus qu'ici aussi la modélisation a été ralentie afin d'observer au mieux les effets.

[modifier] Résolution par homotopie

La relation d'homotopie s'écrit $ (1-p)\Phi_{xx} +p(\Phi_{xx}+\alpha\Phi_{x}+k^{2}\Phi)=0 $ qui se simplifie en $ \Phi_{xx} +p(\Phi_{x}+k^{2}\Phi=0 $. On prend $ u_{0}=0 $.

A l'aide du logiciel Maxima on obtient avec $ k = L = 1 $ :

Pour $ \Delta > 0 $ , (p = 3):

Pour n = 5, n= 20 et n = 40 itérations :

Pour $ \Delta = 0 $ , (p = 2):

Pour n = 5, n= 20 et n = 40 itérations :

Pour $ \Delta < 0 $ , (p = 1):

Pour n = 5, n= 20 et n = 40 itérations :

[modifier] Limites et applications possibles du modèle

[modifier] Limites du modèle

Le modèle associé à l'équation de Berkhoff possède comme tout modèle des inexactitudes liées à des limites. Ces limites sont surtout dues à une impossibilité d'être exhaustif dans le nombre de variables à prendre en compte. Par exemple, le vent, les courants marins ou les frottements à l'interface air/eau sont des variables qui n'apparaissent pas dans notre modèle mais qui sont pourtant importantes à prendre en compte.

De plus notre modèle a pour but de simplifier la réalité. En ce sens, il se peut que plusieurs des hypothèses que nous avons pris influencent l'exactitude de notre réponse. Notamment les choix de prendre $ kL=1 $ ainsi que $ C = C_g $.

De même, on peut douter de l'uniformité du sol et de la pente sur des grandes distances.

[modifier] Applications possibles du modèle

Si le modèle de Berkhoff possède quelques limites, il reste un modèle correct pour évaluer la hauteur de la houle au niveau des côtes. Pour des bureaux d'étude cherchant à travailler à grande échelle, il serait envisageable d'estimer la hauteur d'eau entrante quotidiennement. Ces derniers n'auraient alors qu'à mesurer la période de la houle chaque jour puis qu'à appliquer le modèle de Berkhoff. En produisant des données sur une longue durée, il serait alors possible de quantifier les effets du changement climatique sur la hauteur de la houle.