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Titre de la page : solution analytique : propagation linéaire

Hiérarchie des hypothèses simplificatrices

Navier-Stokes

fluide incompressible

intégration dans une section de calcul (canal rectangulaire) ==> Saint-Venant 1D

accélération négligeable

frottement négligeable

Expression de l'équation simplifiée

A partir des hypothèses précédentes, considérons un canal infini de forme rectangulaire : largeur $ b $ et profondeur d'eau $ H $.
Soit $ h $ le niveau d'eau, $ u $ la vitesse moyenne de l'écoulement dans la section de surface $ A = bH $ et enfin $ Q=bHu $ le débit, les équations simplifiées prennent la forme suivante :

$ \begin{cases} \frac{ \partial h }{ \partial t }+H \frac{ \partial u }{ \partial x }=0 } \\ \frac{ \partial u }{ \partial t }+g \frac{ \partial h }{ \partial x }=0 \end{cases} $ Si l'on dérive la première équation par rapport à $ t $ et la seconde par rapport à $ x $, et en éliminant le terme $ \frac{ \partial^2 Hu }{ \partial t^2 } $

Nous obtenons l'équation des ondes suivante: $ \frac{ \partial^2 u }{ \partial t^2 }-gH \frac{ \partial^2 u }{ \partial x^2 } $

Expression de la solution analytique

Cette équation peut se mettre sous la forme: $ (\frac{ \partial u }{ \partial t }-c \frac{ \partial h }{ \partial x }) ( \frac{ \partial u }{ \partial t }+c \frac{ \partial h }{ \partial x })=0 $

qui correspond à la propagation de 2 ondes de vitesse $ c=\sqrt{gH} $ dans les deux sens (vers la gauche et vers la droite)

Cas d'application : translation d'une onde sinusoïdale

Domaine 1D

Conditions initiales

Conditions limites

Animation des résultats

Domaines d'application

houle linéaire

illustration n°1 : essai en canal de laboratoire

https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=0B_co9LWcaC97QWoyRFU1dzZQcjg#t=0

illustration n°2 : clip sur la propagation de vagues

transport de sédiment - évolution des fonds

illustration n°1 : essai en canal de laboratoire

illustration n°2 : clip sur la propagation de vagues

Bibliographie