Utilisateur:Jeanmi Tanguy/brouillon4 : Différence entre versions

Version du 27 avril 2014 à 09:55

Sommaire

1 Eléments de contexte
2 Modèle mathématique
3 Bibliographie

Eléments de contexte

Cette page fait partie de la démarche collaborative ANSWER , dont l'objectif est de faire collaborer scientifiques et grand public autour du domaine de l'eau.
Le diagramme suivant illustre le positionnement de la page dans la partie de ANSWER consacrée à la morphodynamique. Chaque "perle" représente une solution analytique (perle "cliquable" sur le diagramme ci-dessous) qui renvoie sur une page plus théorique.

La page que vous consultez actuellement décrit le modèle mathématique dans lequel s'inscrit la solution analytique.

Modèle mathématique

liste des paramètres utilisés

Paramètres descriptifs du domaine	Paramètres hydrosédimentaires
Niveau de la surface : $ Z_s=Z_s(x,y) $	$ \rho_s,\rho $ : masse volumique des sédiments secs et du fluide
Niveau du fond : $ Z_f=Z_f(x,y) $	$ \tau_b $ : contrainte hydrodynamique moyenne sur le fond $ (N/m^2) $
Couche de charriage : $ a(x,y)=Z_a-Z_f $	$ \tau_cr $ : contrainte hydrodynamique moyenne sur le fond $ (N/m^2) $
Couche de suspension : $ h(x,y)=Z_s-Z_a $	$ C_h, K_s $ : coefficient de Chézy $ (m^{1/2}/s) $ et de Strikler $ (m^{1/3}/s) $
Profondeur d'eau : $ H(x,y)=Z_s-Z_f $	$ \nu $ : viscosité cinématique du fluide $ (m^2)/s $
	$ d_{50} $ : diamètre médian des matériaux $ (m) $
	$ q_s $ : débit volumique de transport solide $ (Kg/m^2.s) $
	$ u,v $ : composantes de la vitesse moyenne du fluide intégrée sur la verticale $ (m/s) $

Lois de conservation

La loi de conservation d'un scalaire : ici la concentration pondérale $ C $ de sédiments en suspension exprimée en $ m^3/m^3 $, à l’intérieur d'un volume $ V $ entourée par une surface $ S $ a pour expression :

La concentration $ C $ à l'intérieur du domaine varie sous l'effet des flux appliqués à sa surface, ainsi que sous l'effet des sources-puits qui sont appliquées soit sur sa surface $ Q_s $, soit à l'intérieur du domaine ($ Q_v $.

La forme générale de la loi de conservation s'écrit : (1) Dans notre exemple, nous allons supposer qu'il n'y a aucune source à l'intérieur du domaine ou à sa surface. On a donc : QV = QS = 0. La relation (1) s'écrit donc : (2)

Le théorème de Gauss appliqué à cette équation nous donne : (3)

Précisons ici qu'il s'agit de grandeurs instantanées. Le flux F représente le débit solide volumique par unité de surface : Par ailleurs, dans le cas du transport saturé, les taux d'accumulation et de production/perte sont nuls.

Il reste :

(4)

La loi de conservation, sous forme intégrée sur la verticale s'écrit pour la couche de charriage : (5)

est remplacé par  pour le transport total.

Nous pouvons écrire en utilisant la formule d'intégration de Leibnitz : (6)

que l'on peut écrire sous la forme : (7)

avec : et

et : et

La relation (7) s'écrit sous la forme : (8)

avec : et

et  exprimés en (m3/m.sec) sont les composantes du flux sédimentaire total, s'exerçant sur la couche de charriage, suivant les deux directions horizontales.
et  exprimés en (m3/m².sec) sont les composantes du flux sédimentaire, s'exerçant dans le sens des normales (na et nf) à la couche de charriage.
est le flux d'échange entre le charriage et la suspension ;
est le flux d'érosion ou de dépôt entre le fond et la couche de charriage. Dans le cas du transport saturé, on suppose que .

Pour le transport total, la couche verticale est représentée par la profondeur d'eau : avec .

Nous obtenons ainsi la loi de conservation bidimensionnelle :

  avec   	(9)

Le flux sédimentaire caractérise les processus de dépôt et d'érosion qui ont lieu avec le fond. Ces échanges entre la couche de charriage (ou la colonne d'eau pour le modèle de transport total) et le fond, provoquent la modification de celui-ci.

Plaçons nous maintenant au niveau du fond et intéressons nous à la matière constituant ce fond. Nous allons écrire que le flux de matériaux érodés ou déposés provoque l'évolution du niveau du fond. Si l'on désigne par n la porosité de la couche du fond en contact avec la couche de charriage, la loi de conservation de la matière peut s'écrire sous la forme : (10)

En rapprochant les équations (9) et (10), nous retrouvons l'équation bien connue de l'évolution de la cote du fond : (11)

Le flux de charriage ou de transport total (exprimé en m3/m².sec) est évalué par une formule empirique.

Pour simplifier les écritures dans la suite de cet article, nous supposerons que le facteur est inclus dans .

L'évaluation du transport saturé se fait au moyen de formules empiriques, qui prennent en compte : des paramètres hydrodynamiques : calculés par un modèle d'écoulement hydrodynamique (u et v sont les composantes de la vitesse moyenne sur la verticale de l'écoulement suivant les directions x et y ; la cote de surface libre). des paramètres sédimentaires : qui représentent respectivement la masse volumique et le diamètre moyen du sédiment.

Nota : Dans ce qui suit, nous désignerons par en (N/m²) la contrainte hydrodynamique s'exerçant sur le fond, par la contrainte adimensionnelle de cisaillement, par en (m/s) la vitesse de cisaillement sur le fond et par (Meyer-Peter) la contrainte critique adimensionnelle de début d'entraînement des matériaux sur le fond.

On trouve, dans la littérature, toute une panoplie de formules empiriques de transport, qui ont été établies pour des conditions hydrodynamiques et sédimentologiques bien précises et qu'il convient d'utiliser avec beaucoup de précaution. Nous en donnons ici deux exemples : Meyer-Peter et Müller pour le charriage : (12)

Engelund-Hansen pour le transport total : (13)

Identification des termes de l'équation

Terme 1 : est le terme d'évolution temporelle du fond. Terme 2 : est le terme de conservation du débit solide.

Cette équation est donc :

NON-STATIONNAIRE (terme 1), soit LINEAIRE si l'on considère comme indépendants de , soit QUASI-LINEAIRE si sont faiblement dépendants de , soit NON-LINEAIRE si sont très dépendants de , Nous choisirons de considérer ici l'hypothèse de non linéarité

à dominante HYPERBOLIQUE.

Conditions aux limites et conditions initiales

Les conditions aux limites pour ce modèle sont liées à la cote du fond: Amont : cote de fond fixe Aval : cote de fond libre.

Bibliographie

Le créateur de cet article est Jean-Michel Tanguy
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+== Modèle mathématique ==
+=== liste des paramètres utilisés ===
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 |  || <math>u,v</math> : composantes de la vitesse moyenne du fluide intégrée sur la verticale <math>(m/s)</math>
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-|  || Texte de la cellule
 |}
-Les différents
-Les différents paramètres hydrosédimentaires, utilisés dans cette étude sont les suivants :
-	 : 	masse volumique des sédiments secs et du fluide (Kg/m3)
-	 : 	contrainte hydrodynamique moyenne sur le fond (N/m²)
-	 : 	contrainte critique de mise en mouvement des particules (N/m²)
-	 : 	coefficient de Chézy (m1/2/sec) et de Strickler (m1/3/sec)
-	 : 	viscosité cinématique du fluide (m²/sec)
-	: 	diamètre médian des matériaux (m)
-	 : 	débit volumique de transport solide (Kg/m².sec)
-	 :	composantes de la vitesse moyenne du fluide intégrée sur la verticale (m/sec).
-== Modèle mathématique ==
 === Lois de conservation ===
-La loi de conservation d'un scalaire : ici la concentration pondérale C de sédiments en suspension exprimée en m3/m3, à l’intérieur d'un volume V entourée par une surface S a pour expression :
+La loi de conservation d'un scalaire : ici la concentration pondérale <math>C</math> de sédiments en suspension exprimée en <math>m^3/m^3</math>, à l’intérieur d'un volume <math>V</math> entourée par une surface <math>S</math> a pour expression :
-La concentration C à l'intérieur du domaine varie sous l'effet des flux appliqués à sa surface, ainsi que sous l'effet des sources-puits qui sont appliquées soit sur sa surface (QS), soit à l'intérieur du domaine (QV).
+La concentration <math>C</math> à l'intérieur du domaine varie sous l'effet des flux appliqués à sa surface, ainsi que sous l'effet des sources-puits qui sont appliquées soit sur sa surface <math>Q_s</math>, soit à l'intérieur du domaine (<math>Q_v</math>.
 La forme générale de la loi de conservation s'écrit :