S'abonner à un flux RSS
Utilisateur:Jean-Michel Tanguy/SujetENTPE2020/DAVID-POULTIER-TORNES : Différence entre versions
(→Solution analytique) |
(→Solution analytique) |
||
| Ligne 5 : | Ligne 5 : | ||
=== Solution analytique === | === Solution analytique === | ||
| + | \usepackage{empheq} | ||
La forme des solutions est donc de la forme <math>\phi(x)=A\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx}+B\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx} </math> où A et B sont deux constantes à déterminer grâce aux conditions aux limites <math> \phi=1 </math> en <math>x=0</math> et <math>\frac{\partial \phi}{\partial x}=\mathrm{i}k\phi </math> en <math> x=L </math>. | La forme des solutions est donc de la forme <math>\phi(x)=A\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx}+B\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx} </math> où A et B sont deux constantes à déterminer grâce aux conditions aux limites <math> \phi=1 </math> en <math>x=0</math> et <math>\frac{\partial \phi}{\partial x}=\mathrm{i}k\phi </math> en <math> x=L </math>. | ||
<br> | <br> | ||
On trouve alors <math> A=0 </math> et <math> B=1 </math> d'où <math> \phi(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx} </math>. <br><br> | On trouve alors <math> A=0 </math> et <math> B=1 </math> d'où <math> \phi(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx} </math>. <br><br> | ||
On peut alors trouver le potentiel temporel et en déduire la hauteur de la houle. | On peut alors trouver le potentiel temporel et en déduire la hauteur de la houle. | ||
| − | On a <math>\phi(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(kx-\omega t)}</math> d'où \ | + | On a <math>\phi(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(kx-\omega t)}</math> d'où \begin{empheq}[box=\fbox]{equation*} |
| + | \| <math>h(x)=\cos (kx-\omega t)</math> | ||
| + | \end{empheq} <math>h(x)=\cos (kx-\omega t)</math> | ||
Version du 22 avril 2020 à 18:54
Cas n°1
On s'intéresse à une onde se propageant dans un domaine monodimensionnel plat de longueur L avec entrée par l'aval d'une onde de fréquence unitaire et sortie libre en amont.
Équation de Berkhoff
On se place dans un domaine monodimensionnel de profondeur constante. L'équation se simplifie alors :$ \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+k^2\phi=0 $ qui correspond à l'équation de Helmholtz.
Solution analytique
\usepackage{empheq}
La forme des solutions est donc de la forme $ \phi(x)=A\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx}+B\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx} $ où A et B sont deux constantes à déterminer grâce aux conditions aux limites $ \phi=1 $ en $ x=0 $ et $ \frac{\partial \phi}{\partial x}=\mathrm{i}k\phi $ en $ x=L $.
On trouve alors $ A=0 $ et $ B=1 $ d'où $ \phi(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx} $.
On peut alors trouver le potentiel temporel et en déduire la hauteur de la houle.
On a $ \phi(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(kx-\omega t)} $ d'où \begin{empheq}[box=\fbox]{equation*}
\| $ h(x)=\cos (kx-\omega t) $
\end{empheq} $ h(x)=\cos (kx-\omega t) $
