Utilisateur:Jean-Michel Tanguy/SujetENTPE2020/DAVID-POULTIER-TORNES

Cas n°1

On s'intéresse à une onde se propageant dans un domaine monodimensionnel plat de longueur L avec entrée par l'aval d'une onde de fréquence unitaire et une sortie libre en amont.

Équation de Berkhoff

On se place dans un domaine monodimensionnel de profondeur constante. L'équation se simplifie alors en $ \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+k^2\phi=0 $
Cette équation correspond à l'équation de Helmholtz.

Solution analytique

La forme des solutions est donc de la forme $ \phi(x)=A\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx}+B\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx} $ où A et B sont deux constantes à déterminer grâce aux conditions aux limites $ \phi=1 $ en $ x=0 $ et $ \frac{\partial \phi}{\partial x}=\mathrm{i}k\phi $ en $ x=L $.
On trouve alors $ A=0 $ et $ B=1 $ d'où $ \phi(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx} $.

On peut alors trouver le potentiel temporel et en déduire la hauteur de la houle. On a $ \phi(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(kx-\omega t)} $ d'où $ h(x)=\cos (kx-\omega t) $.

Cas n°2

On s'intéresse à une onde se propageant dans un domaine monodimensionnel plat de longueur L avec entrée par l'aval d'une onde de fréquence unitaire ainsi qu'une condition de flux aval précisée plus loin et une réflexion totale en amont.

Équation de Berkhoff

L'équation reste la même que dans le cas n°1 :$ \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+k^2\phi=0 $.

Solution analytique

La forme des solutions est donc toujours de la forme $ \phi(x)=A\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx}+B\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx} $ où A et B sont deux constantes à déterminer grâce aux conditions aux limites $ \frac{\partial \phi}{\partial x}=\mathrm{i}k(2-\phi) $ en $ x=0 $ et $ \frac{\partial \phi}{\partial x}=0 $ en $ x=L $.