Voir la source de ANSWER - Propagation d'une onde dans un estuaire à pente du fond inclinée

== Eléments de contexte == 
Cette page fait partie de la démarche collaborative <big><span style="color:Green">'''[[ANSWER - disciplines|ANSWER]]''' </span></big>, dont l'objectif est créer les conditions de collaboration  entre scientifiques et grand public autour du domaine de l'eau.<br />

Quatre sous-domaines ont été identifiées : hydraulique fluviale, hydraulique maritime, hydrogéologie et morphodynamique.<br />

== Les estuaires entre rivière et mer  ==

Zone de rencontre entre les eaux d'origine fluviale et les eaux marines, un estuaire est un lieu d'échanges entre processus hydrologiques, océanographiques, sédimentologiques, biologiques et humains qui interfèrent les uns sur les autres et provoquent des répercussions en chaine sur l'ensemble de l'hydrosystème.

Plusieurs définitions peuvent être données d'un estuaire, selon le ou les processus que l'on considère. Certains auteurs le définissent comme "une eau côtière semi-fermée, en liaison libre avec la mer, dans laquelle l'eau de mer est diluée de façon mesurable avec les eaux de surface", ce qui conduit à limiter l'amont de l'estuaire à l'intrusion saline. La notion d'estuaire liée à la zone où il n'y a plus de renverse du courant est également proposée, mais cette zone fluctue en fonction du débit de la rivière et des caractéristiques de la marée.

De manière plus générale, nous adopterons comme limite amont de l'estuaire la limite de propagation de la marée dynamique de vives-eaux en période d'étiage de la rivière<ref>Tanguy J.M., Migniot C., "Les estuaires", Traité d'hydraulique Environnementale, Volume 2 "Processus maritimes", Ed. Hermès Lavoisier, 2010 </ref>. Cette limite est de 170 km pour la Gironde, 95 km pour la Loire, 160 km pour la Seine et 15 km pour l'Orne par suite de la présence de nombreux barrages.

On réservera également le nom d'estuaire à la partie du fleuve qui débouche en mer avec une largeur et une section rapidement variable, alors que les deltas sont constitués de débouchés en mer formés de bras s'ouvrant dans des dépôts de sédiments à faible pente, dépôts constitués progressivement pas le fleuve, suite à des apports sédimentaires importants qui n'ont pu être dispersés par les marées et les houles.

Les estuaires sont soumis en permanence aux actions prépondérantes de la marée, des houles et aux surcotes marines en provenance de l'aval et au débit fluvial en provenance de l'amont. La marée provoque des variations périodiques du niveau d'eau, entrainant des entrées et des sorties considérables avec des débits instantanés importants qui diminuent vers l'amont, qui s'annule à la limite de propagation de la marée, laissant place au débit fluvial. Par exemple en Gironde, le volume d'eau fluvial pénétrant dans l'estuaire atteint trente milliards de m3 par an alors que la quantité d'eau qui pénètre dans l'estuaire par l'aval atteint 900 milliards de m3 par an.

 <references />

== Les estuaires : lieux de transformation des ondes longues ==

Nous nous plaçons ici dans le domaine des ondes longues, c'est-à-dire la marée et les ondes de tempête. Nous ne traiterons pas de l'effet des houles.

Ces ondes générées en haute mer par les conditions astronomiques (marée) et atmosphériques (surcotes) arrivent sur le plateau continental où elle subissent les phénomènes de réfraction, de réflexion, de diffraction dus à la présence de hauts fonds d'une géométrie des cotes non rectiligne.

Les estuaires sont des zones de remontée de ces ondes dans les terres et de rencontre avec les débits qui proviennent des cours d'eau. Le régime hydrologique du cours d'eau impacte les conditions d'interaction de ces deux processus, faisant fluctuer souvent sur plusieurs dizaines de kilomètres la zone de mélange des eaux salées et des eaux douces. Au large, l'onde de marée est assez symétrique (durées de flot et de jsant assez semblables) ce qui permet d'associer la variation de l'onde à une sinusoïde. Au cours de sa remontée à l'intérieur des terres, la courbe de marée devient de plus en plus dissymétrique, la durée de flot est de plus en plus courte et celle du jusant de plus en plus longue. Ce phénomène de raidissement de l'onde est d'autant plus important que la marée est grande et la profondeur faible. Ce phénomène est principalement dû au fait que la célérité en tout point de l'onde varie avec la profondeur <math> C=\sqrt{gh}-U</math> où <math> h, U</math> sont respectivement la profondeur et la vitesse de l'écoulement vers l'aval. Ce phénomène d'asymétrie se conjugue également au frottement de l'écoulement sur les fonds, à l'effet de rétrécissement des sections et à la réflexion de l'onde sur le fond par suite d'une perte d'énergie et d'un renvoi en sens opposé d'une onde de même fréquence.

En fonction de ces différents facteurs nous pouvons adopter le classement suivant :
* estuaires ''hyposynchrone''s où le frottement est supérieur à l'effet de convergence : l'onde de marée décroit en se propageant vers l'amont
* estuaires ''synchrones'' où le frottement et effet de convergence s'équilibre : l'onde de marée est constante lors de sa propagation dans une partie de l'estuaire
* estuaires ''hypersynchrones'' où le fortement est inférieur à l'effet de convergence : l'onde de marée se trouve amplifiée au cours de sa progression dans l'estuaire puis décroit dans sa partie amont

Dans cette série de fiches techniques sur les estuaires, nous choisirons plusieurs types de géométries, faisant varier les caractéristiques de la section et de la pente d'un estuaire schématique:
* pente nulle et de gabarit uniforme rectangulaire
* pente linéaire montante vers l'amont et gabarit uniforme rectangulaire
* pente nulle et section à rétrécissement linéaire vers l'amont
* pente linéaire montante vers l'amont et  section à rétrécissement linéaire vers l'amont

Chaque cas fait l'objet de la recherche d'une solution analytique qui nous permet de visualiser la transformation de ces ondes due à chacun de ces facteurs. Les limites de l'exercice est directement lié aux simplifications des équations de Saint-Venant et tout particulièrement l'absence de prise en compte du frottement des fonds et de la rugosité des fonds.

La présence fiche se limite à considérer un estuaire schématique caractérisé par un gabarit homogène et à une pente de fond constante.

== Observation en nature ==

Des photos et des vidéos en nature sont attendues pour illustrer ce phénomène.

== Essais en laboratoire ==

Des essais en laboratoire seront réalises afin de mettre en évidence ce processus.

== Modélisation mathématique du phénomène de propagation d'une onde dans un estuaire ==

Nous nous proposons de modéliser la propagation d'une onde sur un plan incliné et d'étudier la déformation de la surface libre ainsi que la modification de la longueur d'onde.

Nous prendrons en compte dans cet exemple un canal de section rectangulaire homogène.

=== Hiérarchie des hypothèses simplificatrices ===
Les simplifications qui suivent nous permettent de développer un modèle linéaire de propagation d'une onde à l'intérieur d'un domaine à géométrie simplifiée, correspondant à un canal avec une pente de fond, qui peut se rapprocher d'un estuaire schématique à l'intérieur duquel se propage une onde de surcote.<br />

'''Navier-Stokes'''
: → fluide incompressible
:: → intégration dans une section de calcul (canal rectangulaire) ==> Saint-Venant 1D
::: → accélération négligeable
:::: → frottement négligeable

=== Expression du modèle simplifié ===
A partir des hypothèses précédentes, considérons un canal infini de forme rectangulaire et avec pente constante : largeur <math>b</math>, pente du fond <math>p_f</math> et profondeur d'eau <math>H</math>.<br />

[[File:Estuaire pente cste rectang.jpg|500px]]

Soit <math>h</math> le niveau d'eau, <math>u</math> la vitesse moyenne de l'écoulement dans la section de surface <math>A = bH</math>, <math>S=bH</math>la section moyenne,<math>f</math> le frottement sur le fond et enfin <math>Q=bHu</math> le débit, les équations simplifiées prennent la forme suivante :
 
<math>
\begin{cases} 
b\dfrac{ \partial h }{ \partial t }+ \dfrac{ \partial Q }{ \partial x }=0  
\\
\\ 
\dfrac{ \partial Q }{ \partial t }+gS \dfrac{ \partial h }{ \partial x }+fQ=0  
\end{cases}
</math><br />

== Solution analytique ==

Si l'on dérive la première équation du modèle simplifié par rapport à <math>t</math> et la seconde par rapport à <math>x</math>, on obtient:

<math>
\begin{cases} 
b\dfrac{ \partial^2 h }{ \partial t ^2}+ \dfrac{ \partial^2 Q}{ \partial x\partial t  }=0  
\\
\\ 
\dfrac{ \partial^2 Q }{ \partial t \partial x }+g\dfrac{ \partial }{ \partial x }\left  [ S\dfrac{ \partial h }{ \partial x } \right ] +f\dfrac{ \partial Q }{ \partial x }=0  
\end{cases}
</math><br />
en éliminant le terme :

<math>
\dfrac{ \partial^2 Q }{ \partial x  \partial t }
</math>, nous obtenons l'équation suivante: <br />

<math>
-b\dfrac{ \partial^2 h }{ \partial t^2 }+g\dfrac{ \partial }{ \partial x }\left  [ bH\dfrac{ \partial h }{ \partial x } \right ] -bf\dfrac{ \partial h }{ \partial t }=0  
</math><br />

sachant que <math>b</math> est constant at que <math>H = p_f x</math> nous obtenons:<br />

<math>
-\dfrac{ \partial^2 h }{ \partial t^2 }+gp_f  \dfrac{ \partial h }{ \partial x }+gp_f x \dfrac{ \partial^2 h }{ \partial x^2 }-f\dfrac{ \partial h }{ \partial t }=0
</math><br />

Nous allons supposer que la solution de l'équation précédente est donnée par <math>h(x,t)=a(x) e^{i\phi}=A(x) e^{-i\sigma t} </math>, avec <math>\phi(x,t)=\lambda x-\sigma t</math> <br />
<math>\lambda</math> est ici le nombre d'onde. nous obtenons alors :<br />

<math>\dfrac{ \partial h }{ \partial t }=- i\sigma  h</math> et <math>\dfrac{ \partial^2 h }{ \partial t^2 }=- \sigma^2  h</math> <br />

d'où l'équation :<br />

<math>
x\dfrac{ \partial^2 h }{ \partial x^2 }+\dfrac{ \partial h }{ \partial x }+k^2h=0 
</math><br />
ou encore :<br />
<math>
x\dfrac{ \partial^2 A }{ \partial x^2 }+\dfrac{ \partial A }{ \partial x }+k^2A=0 
</math><br />
avec :<br />
<math> k^2=\dfrac{ \sigma ( \sigma +if)}{ g p_f }</math><br />
En multipliant par x, nous reconnaissons une équation de Bessel:<br />

<math>
x^2y''+(2p+1) x y'+(\alpha^2x^{2r})+\beta^2)y=0
</math><br />

La solution de cette équation est donnée par:<br />

<math>
y=x^{-p} \left[ c_{1}  J_{p/r} (\alpha x^{r}/r) + c_{2}  Y_{p/r} (\alpha x^{r}/r) \right]
</math><br /><br />

Les fonctions <math> J_{p/r}</math> et <math> Y_{p/r}</math> sont les [http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_de_Bessel fonctions de Bessel] respectivement de première et de seconde espèce.<br /><br />

Dans notre cas, nous avons : <math> p=0 , \beta=0, \alpha=k, r=1/2</math> <br />
d'où:<br />
<math>
A(x)=\left[ c_{1}  J_{0} (2k\sqrt{x})+c_{2}  Y_{0} (2k\sqrt{x}) \right]
</math><br />
et<br />
<math>
h(x)=\Re \Bigl(\left[ c_{1}  J_{0} (2k\sqrt{x})+c_{2}  Y_{0} (2k\sqrt{x}) \right]e^{-i\sigma t}\Bigr)
</math><br /><br />

L'équation de quantité de mouvement nous permet de calculer <math> u(x,t)</math> <br /><br />

<math>
\dfrac{ \partial Hu }{ \partial x}=-\dfrac{ \partial h }{ \partial t}= i\sigma \left[ c_{1}  J_{0} (2k\sqrt{x})+c_{2}  Y_{0} (2k\sqrt{x}) \right]e^{-i\sigma t}
</math><br />
soit:<br />
<math>
Hu=i\sigma\int_{x} \left[ c_{1}  J_{0} (2k\sqrt{x})+c_{2}  Y_{0} (2k\sqrt{x}) \right]e^{-i\sigma t}\, \mathrm dx
</math><br />
On pose <math>z=2k\sqrt{x}</math>, on a alors <math>dx=z/(2k^2)dz </math> <br />
d'où:<br />
<math>
Hu=i\sigma \dfrac{z}{2k^2}e^{-i\sigma t}\int_{z} z \left[ c_{1}  J_{0} (z)+c_{2}  Y_{0} (z) \right]dz
</math><br /><br />
Pour calculer cette intégrale, nous utilisons la relation de récurrence suivante : 
<math>
\dfrac{d}{dx} (x^n J_{n}(x))=x^n J_{n-1}(x) 
</math><br />
de même pour <math>Y_{n}(x)</math><br />
Nous obtenons l'expression de la vitesse moyenne dans la verticale:<br />
<math>
u(x)=\Re \Bigl( i\sqrt{\dfrac{g}{S_0 }}\left[ c_{1}  J_{1} (2k\sqrt{x}) + c_{2}  Y_{1} (2k\sqrt{x}) \right] e^{-i\sigma t}\Bigr)
</math><br />
A partir des expressions générales de <math>h(x,t)</math> et de <math>u(x,t)</math>, nous pouvons déterminer la solution en fixant 2 conditions aux limites du domaine. Nous allons considérer les deux cas suivants:
* propagation d'une onde incidente à partir de l'aval (droite) vers l'amont du domaine avec condition de sortie libre à l'extrémité amont (gauche)
* réflexion de la même onde incidente à partir de l'aval (droite) vers l'amont avec condition de réflexion à l'extrémité amont (gauche)

=== Synthèse : expression de la solution analytique finale ===
En résumé, l'expression analytique exprimant la variation du niveau d'eau et de la vitesse moyenne en toute section du domaine sont données par les équations suivantes:<br /><br />

<math>
h(x)=\Re \Bigl(\left[ c_{1}  J_{0} (2k\sqrt{x})+c_{2}  Y_{0} (2k\sqrt{x}) \right]e^{-i\sigma t}\Bigr)
</math><br />
<br />

<math>
u(x)=\Re \Bigl( i\sqrt{\dfrac{g}{S_0 }}\left[ c_{1}  J_{1} (2k\sqrt{x}) + c_{2}  Y_{1} (2k\sqrt{x}) \right] e^{-i\sigma t}\Bigr)
</math><br />
<br />
Il nous faut donc déterminer les coefficients <math>c_{1} </math> et <math>c_{2} </math> en imposant les conditions aux limites.<br />
Nous allons étudier 2 cas différents :
* propagation d'une onde avec sortie libre
* réflexion de la même onde sur une paroi entièrement réfléchissante

=== Solution analytique : propagation d'une onde vers l'amont ===

Nous allons imposer 2 conditions limites pour déterminer les deux constantes d'intégration.<br />
* une condition limite aval d'entrée de l'onde à l'intérieur du domaine par la droite <math> h(x_1,t)=A(x_1,t) e^{-i\sigma t}\quad\forall t</math><br />
* une condition limite amont de sortie de l'onde sous forme de condition de sortie libre de type Sommerfeld:<br />
<math> h(x_0,t)=a(x_0) e^{-i\phi}</math><br />
En dérivant cette expression, nous obtenons:<br />
<math> \dfrac{  dh  }{ dx }=e^{-i\sigma t}\dfrac{ da }{ dx }-iae^{-i\phi}\dfrac{d\phi}{ d x }</math><br />

Chaque terme exprime un processus:
* prise en compte du shoaling : <math> \dfrac { d a }{ d x }=- \dfrac { 1 }{ 4 } \dfrac { p_f }{ H } a</math>
* équation eikonale : <math> \dfrac{ d\phi }{ d x }=\lambda </math> 

<math> \lambda </math>  est le nombre d'onde

<math> \dfrac{ d h }{ d x }= - \Big(\dfrac { 1 }{ 4 } \dfrac { p_f }{ H } +i \lambda \Bigl) h</math><br />

soit:<br />

<math> \dfrac{ dA }{ dx }= - \Big( \dfrac { 1 }{ 4 } \dfrac { p_f}{ H } +i\lambda \Bigl) A   </math><br />

<math>
\dfrac{dA}{dx}=\Big(c_{1} \dfrac {d } {dx}  [ J_{0} (2k\sqrt{x} ) ]+c_{2} \dfrac{d } {dx}  [ Y_{0} (2k\sqrt{x} )] \Bigl)\dfrac{k}{\sqrt{x} }
</math><br />
Or :<br />
<math> \dfrac {d } {dz}   J_{0}(z) =- J_{1} (z)\quad \text{et}\quad \dfrac {d } {dz}   Y_{0}(z) =- Y_{1} (z)</math><br />
Nous obtenons le système suivant :<br />

<math>
\begin{cases} 
\beta  \Bigl(c_{1} J_{1}(2k\sqrt{x_0}) +c_{2} Y_{1}(2k\sqrt{x_0})  \Bigr)+\alpha  \Bigl(c_{1} J_{0}(2k\sqrt{x_0}) +c_{2} Y_{0}(2k\sqrt{x_0})  \Bigr)=0
\\
\\ 
c_{1} J_{0}(2k\sqrt{x_1}) +c_{2} Y_{0}(2k\sqrt{x_1}) =a_0
\end{cases}
</math><br />
avec : <br />
<math>\alpha=-\dfrac { 1 }{ 4 } \dfrac {p_f }{ H } -i\lambda </math> et <math>\beta=\dfrac {k} {\sqrt{x_0}} </math><br />
Il vient :<br />
<math>
\begin{cases} 
c_1 = \dfrac{   -a_0 (\beta Y_{1}(2k\sqrt{x_0}) + \alpha Y_{0}(2k\sqrt{x_0} )) }    { Y_{0} (2k\sqrt{x_1} ) ( \beta J_{1}(2k\sqrt{x_0})  + \alpha J_{0}(2k\sqrt{x_0} )) -  J_{0}(2k\sqrt{x_1)} ( \beta Y_{1}(2k\sqrt{x_0})  + \alpha Y_{0}(2k\sqrt{x_0} )) } 
\\
\\ 
c_2 =  \dfrac{    a_0 (\beta J_{1}(2k\sqrt{x_0}) + \alpha J_{0}(2k\sqrt{x_0})) }   { Y_{0} (2k\sqrt{x_1} ) ( \beta J_{1}(2k\sqrt{x_0})  + \alpha J_{0}(2k\sqrt{x_0} )) -  J_{0}(2k\sqrt{x_1)} ( \beta Y_{1}(2k\sqrt{x_0})  + \alpha Y_{0}(2k\sqrt{x_0} )) }
\end{cases}
</math><br />
Finalement, le niveau d'eau est donné par :<br />

<math>
h(x)=\Re\Big[ \left(c_{1}  J_{0} (2k\sqrt{x})+c_{2}  Y_{0} (2k\sqrt{x}) \right)e^{-i\sigma t}\Bigr]
</math><br />

==== Cas d'application : translation d'une onde sinusoïdale ====

Le cas que nous présentons met en scène l'agitation d'une portion d'estuaire soumis à une onde de marée de période de 15 minutes. La longueur considérée est de 80 km.<br />
Les caractéristiques de cet exemple sont les suivants:
* période de la marée : 15 minutes
* amplitude : 7 m
* pente du fond : <math>10^{-3}</math> m/m
* profondeur : de 100 m à l'aval à 20 m
* frottement nul


[[File:Estuaire pente cste gabarit rect 2reflexion.gif|1000px]]

=== Solution analytique : réflexion d'une onde à l'intérieur du domaine ===
Introduisons les conditions limites suivantes, qui correspondent à :<br />
* une condition limite aval d'entrée de l'onde à l'intérieur du domaine par la droite <math> h(x_1,t)=a_0 e^{-i\sigma t}\quad\forall t</math><br />
* une condition limité amont de réflexion totale de l'onde <math> u(x)=0 \quad\forall t</math><br />
Nous aboutissons au système suivant :

<math>
\begin{cases} 
c_1 J_{1}(2k\sqrt{x_0})+c_2 Y_{1}(2k\sqrt{x_0}) =0  
\\
\\ 
c_1 J_{0}(2k\sqrt{x_1})+c_2 Y_{0}(2k\sqrt{x_1}) =a_0 
\end{cases}
</math><br />
Dont la résolution conduit à:<br />
<math>
\begin{cases} 
c_1 = \dfrac{a_0 Y_{1}(2k\sqrt{x_0})} { Y_{1}(2k\sqrt{x_0}) J_{0}(2k\sqrt{x_1})-Y_{0}(2k\sqrt{x_1}) J_{1}(2k\sqrt{x_0})} 
\\
\\ 
c_2 = \dfrac{-a_0 J_{1}(2k\sqrt{x_0})} { Y_{1}(2k\sqrt{x_0}) J_{0}(2k\sqrt{x_1})-Y_{0}(2k\sqrt{x_1}) J_{1}(2k\sqrt{x_0})} 
\end{cases}
</math><br />

Nota : on remarque que c'est la même formule que la précédente établie pour la sortie libre dans laquelle <math> \alpha =0</math> 

==== Cas d'application : réflexion d'une onde sinusoïdale ====

Le même cas que ci-dessus est utilisé, mais en imposant les conditions limites de réflexion. Nous obtenons l'animation suivante :<br />

[[File:Estuaire pente constante agitation.gif|1000px]]

==== Conclusions ====

Cette animation montre la formation de ventres et de creux réguliers ce qui représente une réflexion totale. 

La longueur d'onde diminue de manière progressive vers l'amont en fonction de la hauteur d'eau. On note également une augmentation de l'amplitude des battements vers l'amont.

Ainsi, en l'absence de tout frottement, l'onde se propage sans perte d'énergie avec  pour seule cause de déformation la remontée du fond (à comparer avec le cas similaire sans pente où l'on n'observe aucune déformation).

== Conclusion générale sur la simulation de la propagation d'une onde dans un estuaire à pente du fond constante et à section constante ==

Nous avons vu ci-dessus que la propagation d'une onde de marée, assimilable à une sinusoïde en pleine mer, s'accompagne d'un certain nombre de transformations :
* la courbe de marée se dissymétrise: la durée du flot est de plus en plus courte et celle du jusant de plus en plus longue
* suivant le type d'estuaire considéré : hyposynchrone, synchrone ou hypersynchrone, l'onde de marée a tendance respectivement à s'écraser, se maintenir ou gonfler.
Or les animations précédentes ne rendent pas compte complètement de ces phénomènes.

Revenons vers les hypothèses de départ de notre modèle qui rappelons-le est linéaire. Dans ce processus de simplification, nous avons supprimé deux termes non-linéaires, à savoir les termes d'accélération et la rugosité des fonds. Or leurs effets sont les suivants:
* les termes d'accélération produisent une non-linéarité dans la propagation des ondes. Or dans notre modèle linéaire, l'onde se propage de manière symétrique à célérité constante <math> C = cste</math>  alors qu'en incluant l'effet de non-linéarité, la célérité de tous les points de l'onde est différente : les points de plus grande profondeur se déplacent plus vite que les points de moindre profondeur <math> C=\sqrt{gh}-U</math> où <math> h, U</math> sont respectivement la profondeur et la vitesse de l'écoulement vers l'aval. L'étude de propagation - déformation d'une onde de fond traduit bien ces phénomènes qui peuvent être approchés par la théorie des caractéristiques.
* les termes de rugosité ont un effet important en petite profondeur. Leur intensité qui dépend de la nature des berges mais surtout des fonds : sable, vase, présence de rides, de dunes… va ralentir plus ou moins la propagation de l'onde et donc conditionner son écrasement. Dans notre cas, la non-prise en compte de la rugosité va assimiler notre estuaire schématique à un estuaire hypersynchrone produisant une augmentation de l'amplitude de l'onde vers l'amont. C'est ce que l'on observe en partie dans l'estuaire de la Gironde, où l'amplitude de la marée est supérieure à Bordeaux par rapport à l'embouchure.

Ainsi, cette simulation réalisée sur notre estuaire schématique sans prendre en compte les non-linéarités est un peu éloigné de la réalité et ceci d'autant plus que l'on se déplace vers l'amont. Cependant, elle traduit bien la déformation des ondes dues à la pente ascendante : à comparer avec le cas de pente nulle. Elle peut tout de même conserver une certaine représentativité dans la partie aval de l'estuaire, où les profondeurs restent importantes.

Une retombée intéressante de cet exemple vient de la bonne formulation de la condition de sortie de l'onde en amont des l'estuaire (condition de sortie libre) où la condition de Sommerfeld a été utilisée avec succès.

== Bibliographie ==
* Le Méhauté B., "An Introduction to Hydrodynamics & Waterways" Springer-Verlag, 1976, 315 p.
* Thual O., "Hydrodynamique de l'environnement", Les éditions de l'Ecole Polytechnique, Oct. 2011, 314 p.
* Dinguemans M. W., "Water Wave Propagation Over Uneven Bottoms - Part 1 - Linear Wave Propagation", Advanced Series on Ocean Engineering - Volume 13, World Scientific,  471 p.
* Dinguemans M. W., "Water Wave Propagation Over Uneven Bottoms - Part 2 - Non-Linear Wave Propagation", Advanced Series on Ocean Engineering - Volume 13, World Scientific,  494 p.
* Tanguy J.M. "Traité d'hydraulique environnementale", vol.2, "processus maritimes", reps. publi. JM Tanguy, Ed. Hermès - Lavoisier, 2010.
* site du [http://www.shom.fr SHOM] et plus particulièrement une [http://www.shom.fr/les-activites/activites-scientifiques/maree-et-courants/les-courants/glossaire-courants-de-maree/%20 page dédiée aux courants de marée]

== Code Scilab ==
Les animations précédentes ont été réalisées à l'aide le l'application SCILAB. <br />
Elles peuvent être utilisées pour reproduire le graphique. Il suffit de sélectionner l'ensemble du texte dans le fichier *.pdf et de le copier dans l'éditeur du logiciel puis d'exécuter le programme.
Le fichier est disponible ici :  [[File:Estuaire avec correction.pdf]] fournit le code SCILAB du programme qui fournit les animations précédentes.



{{Auteur|NomAuteur=Jean-Michel Tanguy}}

[[Catégorie:Modélisation_des_estuaires_&_deltas]]
[[Catégorie:ANSWER]]
[[Catégorie:Fiches_scientifiques]]
[[Catégorie:GIS_Hydraulique_pour_l'Environnement_et_le_Développement_Durable]]
[[Catégorie:Mécanique_des_fluides]]
[[Catégorie:Formation_en_ligne_/_e-learning]]