Voir la source de Modélisation numérique - ondes progressives

== Éléments de contexte ==

Cette page est partie intégrante de l'opération ANSWER. Elle est dédiée à l'étude numérique du comportement de codes de calculs d'hydraulique à surface libre avec des solutions analytiques.<br />
Il s'agit de pages d'études soumises à la communauté de modélisateurs hydrauliciens, afin de définir et de passer des cas tests, de réfléchir en commun aux résultats obtenus de manière à mieux comprendre les fonctionnalités et les limitations de certains codes.
Cette démarche est par essence interactive et la présente page est donc ne constitue donc qu'un bac à sable. <br />
Le présent cas traité est la propagation d’un train d'onde de marée (onde longue) dans un canal à fond plat et fermé à son extrémité par une paroi verticale induisant une réflexion totale de l’onde incidente. Le cas modélisé devient alors un système d’onde stationnaire. 
Il s’agit du second cas modélisé dans une série de cas de difficultés progressives.
La principale difficulté à lever ici est celle de l’imposition de conditions à la limite aux frontières liquides.
La modélisation permettra de comparer différents modèles à la solution analytique des équations linéarisées décrites dans la page modèle de propagation des ondes longues.
http://wikhydro.developpement-durable.gouv.fr/index.php/ANSWER_-_Mod%C3%A8le_de_propagation_des_ondes_longues
Un certains nombre de choix de modélisation sont décrits dans la page dédiée à la [[Modélisation numérique - propagation des ondes longues|modélisation numérique de la propagation des ondes longues]].

== Un problème de modélisation à résoudre ==

Générer un système d’ondes stationnaires à partir d’un état initial au repos constitue un défi pour le modélisateur. Nous avons vu [[Modélisation numérique - propagation des ondes longues|ici]] comment modéliser la propagation d’un train d’ondes progressives à l’aide d’une frontière liquide à hauteur imposée équivalente à un batteur en modélisation physique (on impose alors une variation sinusoïdale) et d’une frontière liquide à sortie libre (à droite).<br />
Pour disposer d’ondes stationnaires, nous cherchons à obtenir des ondes progressives de mêmes périodes (et longueurs d’onde), de mêmes phases, mais se propageant dans des sens opposés. L’amplitude des ondes peut, pour sa part, différer. Par conséquent, deux ondes progressives de même période et même phase vont se combiner (« s’additionner ») pour former une onde stationnaire dont l'amplitude sera la somme des amplitudes des deux ondes.<br />


Ce problème devient numériquement trop complexe lorsqu’une onde progressive atteint une frontière liquide à hauteur imposée (batteur d’ondes). Il n’est alors pas possible de laisser sortir l'onde venant de l'intérieur du modèle, tout en imposant une autre au modèle.<br />

== Une stratégie de modélisation particulière ==
L’idée est donc née pour disposer d’ondes stationnaires de façon pérenne, de « fermer » le système pour former un système auto-entretenu. Sans mise en œuvre d’une telle stratégie, on pourrait observer de façon éphémère la combinaison d’ondes progressives en ondes stationnaires avant de se heurter au problème soulevé plus haut.
La modélisation d’ondes stationnaires sous Telemac2d est passée par une stratégie particulière. 6 ondes d’amplitudes 5m ont été injectées dans un bassin long de 3 longueurs d’onde.  <br />


'''Longueur du canal :''' Pour disposer d’ondes relativement simples à imposer aux frontières liquides, nous avons retenu un canal long de N longueurs d’ondes.
'''
Changement au cours du temps de type de condition à la limite :''' Lorsque le canal dispose de N ondes progressives et de N ondes régressives, on remplacera les frontières liquides à hauteur imposées (batteurs) par des parois verticales réfléchissantes.<br />


'''Bassin canal avec des oscillations auto-entretenues :''' Ce bassin est « fermé » aux deux extrémités par des parois réfléchissantes. On se retrouve ainsi en permanence en présence de N ondes progressives dans un sens, et de N ondes progressives dans le sens inverse (ondes régressives dans le sens des X décroissants). La superposition forme un bassin avec N ondes stationnaires auto-entretenues d’une amplitude 10m.

== Mise en œuvre ==

Deux possibilités équivalentes ont été testées :
* En générant deux trains d’ondes par les deux extrémités du canal. <br />
Le canal mesurant en longueur un multiple de la longueur d’onde (ici 3 x L), on génère en imposant simultanément aux deux extrémités du canal la même variation sinusoïdale pendant 3 périodes. Au bout de trois périodes, les fronts des premières ondes atteignent les frontières liquides opposées. À cet instant précis, on remplace la condition à la limite de type frontière liquide à hauteur imposée par des parois verticales réfléchissantes.
* En générant un train d’ondes par l’extrémité gauche du canal, et en présence d’une paroi verticale réfléchissante à droite. On génère de t=0 à t=6T, six ondes complètes.
Dans ce cas, on se retrouve donc avec trois ondes progressives se propageant vers la droite (le trois dernières ondes générées entre 3T et 6T) ainsi que trois ondes régressives qui sont des ondes réfléchies ayant été générées entre 0 et 3T et ayant atteint la paroi réfléchissante à partir de 3T.
Au bout de six périodes, on remplace  la condition à la limite de type frontière liquide à hauteur imposée par une paroi verticale réfléchissante.

== Résultats ==
Deux cas de figures ont été testés. Dans le premier cas (en haut), la propagation n’est pas linéarisée. Au cours de leur propagation, les sinusoïdes se déforment avec des crêtes (pleines mers) qui ont tendance à être en avance et des creux (basses mers) en retard par rapport au cas linéarisé. Dans le cas non linéaire, les nœuds des ondes combinées ("pseudo-stationnaires") finissent par se déplacer (il n’y a plus vraiment de nœuds) et les ventres et creux ne sont plus simultanés (les ventres surviennent avant les creux).<br />


Dans le cas où la propagation linéarisée en prenant en compte une profondeur moyenne de 500m (on se rapproche de [[ANSWER - Modèle de propagation des ondes longues|la solution analytique]]), on obtient une sinusoïde « parfaite » sans distorsion. Dans ce cas, les nœuds sont parfaitement stationnaires et positionnés à X = L/4 ; 3L/4 ; 5L/4 ; 7L/4 ;  9L/4 ; 11L/4 et les ventres et creux sont en opposition de phase (ils surviennent en même temps) et positionnés à X= 0 ; L/2 ; L ; 3L/2 ; 2L ; 5L/2  et 3L.<br />


Dans le cas des ondes stationnaires, cette différence entre le cas linéarisé (avec une profondeur moyenne = 500m) et le cas non linéarisé qui était visible dans le modèle non linéaire de propagation de l’onde longue s’accentue avec le temps.<br />


Observons les variations temporelles à :


Constate-on l’apparition d’harmoniques par interactions entre ondes ?
Atteint-on un système instable numériquement où on finit par atteindre une cambrure limite  = limite de déferlement ?

== Approfondissement par analyse harmonique ==

Telemac2d offre la possibilité de faire une analyse harmonique (analyse de fourier) des résultats. Pour cela il est nécessaire de lui fournir une fenêtre temporelle d’analyse et les périodes ou fréquences à analyser.<br />


Dans notre cas, nous souhaitons exclure de l’analyse la durée correspondant aux six premières périodes (durant laquelle les ondes sont progressives). Nous lançons donc l’analyse à partir de 6 x T = 6 x 43200 = 259200 s.<br />


Nous faisons dans un premier temps notre analyse sur la fenêtre temporelle [259200s;800000s] soit de 6 x T = 72 H à 18.5 x T = 222 H<br />

[[File:fourrier de 6T a 18p5T.png|800px]]<br />
''Cas non-linéaire : résultat de la décomposition en harmonique : analyse des amplitudes selon T, T/2, T/4 et 2xT''


On observerait donc la génération d’harmoniques dans le cas non linéaire. La période fondamentale n'est pas la seule présente. Des oscillations apparaissent pour T/2 et T/4.<br />

Naturellement, la même analyse faite sur le cas linéarisé fait apparaître les résultats suivants :<br />
[[File:fourrier cas lineaire de 6T a 18p5T.png|800px]] <br />
''Cas linéaire : résultat de la décomposition en harmonique : analyse des amplitudes selon T, T/2, T/4 et 2xT''<br />
Seule la fréquence fondamentale est présente dans le résultat de l'analyse. Il est aisé d'y repérer les nœuds d'une part et les crêtes/creux d'autre part.<br />


En faisant varier la fenêtre temporelle de l’analyse harmonique, on peut éventuellement en savoir plus sur la formation et l’évolution des harmoniques.<br />
[[File:fourrier de 6T a12T.png|800px]]<br />
''Analyse de 6T à 12T''<br />

[[File:fourrier de 12T a24T.png|800px]]<br />
''Analyse comparative de 12T à 24T et de 6T à 12T''<br />

En avançant dans le temps, l’amplitude de l’onde principale diminue (fréquence fondamentale) et celles des harmoniques T/2 et T/4 augmentent.

== Conclusions ==

* La modélisation numérique d’un système avec une condition de réflexion à une extrémité nécessite une stratégie relativement complexe. Cette complexité apparaît lorsque le front de la première onde réfléchie atteint la frontière liquide à hauteur imposée (batteur) indispensable à la génération d’ondes.
* Il est possible de reproduire la solution analytique proposée ici pour l’onde stationnaire.
* Le cas non-linéarisé présente une évolution très intéressante au cours du temps méritant encore à ce jour des interprétations pour comprendre la génération d’harmoniques.

== Perspectives ==

== Bibliographie ==

[[Catégorie:Savoirs_/_Acteurs]]
[[Catégorie:ANSWER]]
[[Catégorie:Modélisation_numérique]]