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Convergence et stabilité des schémas numériques (condition de) (HU)

De Wikhydro

Traduction anglaise : Stability condition

mot en chantier

Dernière mise à jour :14/11/2022

Lors de la résolution numérique des équations différentielles ou des équations aux dérivées partielles à conditions initiales par la méthode des différences finies, il est généralement nécessaire, pour assurer la convergence de la méthode, que la valeur du pas de temps $ Δt $ vérifie une condition plus ou moins restrictive, dépendante du (ou des) pas d'espace $ Δx $, $ Δy $.

Sommaire

Notations

Pour simplifier, la présentation est faite dans le cas d'un problème avec une seule dimension d'espace ($ x $). Les notations utilisées sont les suivantes (voir par exemple Legras, 1963) :


$ L.u(x) = f(x) \quad(1) $


représente le problème de départ, $ L $ étant un opérateur différentiel appliqué à la fonction continue $ u(x) $ ;


$ L_h.u_h = f_h \quad(2) $


représente le problème formulé en différences finies (où $ L_h $ est l’opérateur algébrique équivalent appliqué à la fonction discrète $ u_h $), $ h $ étant le pas d'espace.

Erreur d’approximation

On dit que le schéma algébrique $ L_h.u_h = f_h $ approxime le problème différentiel $ L.u(x) = f(x) $ avec une erreur d’approximation d’ordre $ p $ si :


$ \left\| {L_h.u_h = f_h}\right\| ≤ K.h^p \quad(3) $


$ K $ est une constante indépendante de $ h $.


Stabilité

On dit que le schéma algébrique $ L_h.u_h = f_h $ est stable si le problème :


$ L_h.u_h = f_h + ε_h\qquad $ (avec $ ε_h $ arbitrairement petit),


admet une solution $ z_h $ unique telle que :


$ \left\| {z_h - u_h}\right\| ≤ K.\left\|ε_h \right\| \quad(4) $


$ K $ est une constante indépendante de $ h $.

Ceci signifie que même si l’on perturbe légèrement l’équilibre, la solution obtenue reste du même ordre de grandeur. La stabilité d’un schéma discret signifie que sa solution est uniforme en $ h $ et qu’elle dépend continument des seconds membres. Une faible variation du second membre entraîne en conséquence une faible variation de la solution.

Convergence

On dit que la solution $ (u_h) $ du problème discret $ L_h.u_h = f_h $ converge vers la solution $ u(x) $ du problème initial $ L.u(x) = f(x) $, avec un ordre $ p $ si :


$ \left\| {u_h - u(x)}\right\| ≤ K.h^p \quad(5) $


$ K $ est une constante positive indépendante de $ h $.


Cette condition est obtenue si le schéma $ L_h.u_h = f_h $ est stable et si l’erreur d’approximation est d’ordre $ p $. Elle indique que l'écart entre la valeur exacte $ u(x) $ et la valeur numérique approchée au même point $ u_h $ est finie.

Bibliographie :

  • Legras, J. (1963) : Précis d'analyse numérique ; Ed. Dunod, Paris.

Voir aussi Courant-Friedrisch-Levy (condition de).

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