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Houle aléatoire

De Wikhydro
Site internet du RFRC : Réseau Français de Recherche Côtière

La houle réelle n’est pas monochromatique, c’est à dire définie par une seule période. Elle se propage aussi selon plusieurs directions plus ou moins proches. La représentation dite régulière de la houle n’est donc pas toujours réaliste. Il faut donc utiliser une représentation irrégulière de la houle que l’on appelle encore houle aléatoire ou houle réelle.

Notion de densité spectro-angulaire

Il existe deux approches de la houle aléatoire : une approche statistique et une approche spectrale. C’est cette-dernière que nous employons. Nous allons utiliser la notion de densité spectro-angulaire puis calculer les moments qui permettent de déterminer les caractéristiques de la houle aléatoire : la hauteur significative, la période moyenne, la direction moyenne de propagation.

Le calcul de houle aléatoire est réalisé en deux étapes. Un premier calcul fournit une série de champs de houle régulière, puis un second calcul détermine la houle aléatoire à partir de la série précédente et du spectre incident.

Fonction de transfert LaTeX: H(\omega ,\theta)\,

Une houle régulière est définie par sa direction incidente LaTeX: \theta\,, sa fréquence LaTeX: \omega \, et son amplitude LaTeX: \eta\,. On réalise une série de calculs de houle régulière en introduisant, pour chaque calcul, en entrée une houle incidente d’amplitude unitaire avec une direction de propagation incidente LaTeX: \theta\, et sa fréquence LaTeX: \omega\,. L’amplitude de la houle incidente est notée LaTeX: \eta _{inc} (\omega , \theta)\,. Le code fournit, pour chaque houle régulière incidente, un champ d’amplitude de houle en tout point du domaine de calcul. On introduit alors LaTeX: H(\omega , \theta )\, la fonction de transfert qui vérifie :


LaTeX: \eta (\omega ,\theta) = H (\omega ,\theta )\eta _{inc} (\omega ,\theta)\,               (62)

Comme l’amplitude de la houle incidente est prise unitaire, alors LaTeX: \eta (\omega ,\theta)= H (\omega ,\theta)\,et la fonction de transfert est identifiée.

Eléments de traitement du signal

Dans l’espace des fréquences, l’amplitude de houle est le produit simple d’une fonction de transfert par une amplitude unitaire incidente. Dans l’espace temporel, ce produit simple est transformé en un produit de convolution noté *. Celui-ci est calculé de la façon suivante :

LaTeX: f(t) = H*g = \int_{-\infty}^{\infty} H(\tau)g(t-\tau)\,d\tau              (63)

La transformée de Fourier d’une densité spectrale LaTeX: S_ff\, d’une grandeur LaTeX: f\, est égale à la fonction d’auto-corrélation LaTeX: S_ff\, de cette grandeur :

LaTeX: R_{ff}(\tau)= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} S_ff(\omega)e^{j\omega \tau} \,d\omega	\,              (64)

On a encore

LaTeX: S_{ff}(\omega)= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} R_ff(\omega)e^{j\omega \tau} \,d\tau	\,              (65)

La fonction d’auto-corrélation d’une grandeur ergodique et stationnaire LaTeX: f\, est aussi égale à l’espérance mathématique E du produit de cette grandeur prise en deux instants distants de LaTeX: \tau \,.

LaTeX: R_{ff}(\tau) = E\Big[f(t) f(t+\tau)\Big]\,               (66)

Densité spectrale de l’amplitude de houle SLaTeX: \eta\etaLaTeX: (\omega)

Dans un premier temps, pour simplifier, nous supposons toutes les directions incidentes LaTeX: \theta\,identiques. On note alors simplementLaTeX: \eta _{inc} (\omega)\, et LaTeX: \eta (\omega)=H(\omega)\eta _{inc}(\omega)\,. Nous notons la variable aléatoire d’espérance nulle qui représente les variations de la cote de la surface libre par rapport à la cote de la surface libre au repos. Nous recherchons la fonction d’auto-corrélation de cette variable aléatoire.

LaTeX: E\Big[\eta (t_1)\eta (t_2)\Big]=E\Bigg[\int_{-\infty}^{\infty}H(\tau _1)\eta _{inc}(t_1-\tau _1) \,d\tau_ 1 \int_{-\infty}^{\infty}H(\tau _2)\eta _{inc}(t_2-\tau _2) \,d\tau_ 2	\Bigg]\,              (67)

LaTeX: E\Big[\eta (t_1)\eta (t_2)\Big] = \iint_{}^{} H(\tau _1)H(\tau _2)E\Big[\eta_{inc}(t_1-\tau _1)\eta _{inc}(t_2)-\tau_2 \Big]\, d\tau _1\,d\tau _2\,              (68)

Comme LaTeX: \eta (t)\, et LaTeX: \eta _{inc}(t)\, sont des variables aléatoires stationnaires, la valeur des auto-corrélations ne dépend que des écarts entre les temps LaTeX: t_1\, et LaTeX: t_2\,. Dans ce cas, on peut écrire LaTeX: t_2 = t_1 +\tau \,LaTeX: \tau _2\,est l'écart entre les deux temps. On introduit alors LaTeX: R_{\eta\eta}^{inc}\,la fonction d’auto-corrélation du déplacement de la surface libre pour la houle incidente qui est la transformée de Fourier du spectre des amplitudes de la houle incidente. On introduit de même la fonction d’auto-corrélation LaTeX: R_{ \eta \eta}\, du déplacement de la surface libre en un point quelconque du domaine de calcul. Nous avons donc :

LaTeX: R_{\eta \eta}(\tau)=\iint_{D}^{W} H (t_1) H(t2)R_{\eta \eta}^{inc}(\tau +\tau_1 +\tau _2) \, d\tau_1\,d\tau_2\,              (69)

On introduit la densité spectrale des amplitudes de la houle incidente LaTeX: S_{\eta\eta}^{inc}\,selon la relation (65)

LaTeX: R_{\eta\eta}^{inc} = \frac{1}{2\pi}\iint_{D}^{W} H_(t_1)H_(t_2)\Bigg[\int_{-\infty}^{\infty} S_{\eta\eta}^{inc} e^{j \omega (\tau+\tau_1-\tau_2)} \,d\omega	\Bigg]\, d\tau _1\,d\tau _2\,              (70)

LaTeX: R_{\eta\eta}(\tau)= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\Big[\int_{-\infty}^{\infty}H(\tau _1)e^{j\omega \tau _1} \,d\tau _1	\Big] \Big[\int_{-\infty}^{\infty}H(\tau _2)e^{j\omega \tau _2} \,d\tau _2\Big] S_{\eta \eta}^{inc} e^{j\omega \tau}\,d\omega	\,              (72)

LaTeX: R_{\eta\eta}(\tau)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}H(\omega)H_(\omega)^* S_{\eta\eta}^{inc}e^{j\omega\tau} \,d\omega	\,              (73) Densité spectrale de l’amplitude de houle LaTeX: S_{\eta\eta}(\omega\theta)\,

Dans les calculs de houle régulière, les différentes directions incidentes sont maintenant prises en compte. La fonction d’auto-corrélation des variations de la surface libre LaTeX: E\big[\eta (t_1) \eta t(_2)\big]\,est recalculée avec :

LaTeX: \eta (t) = \int_{-\infty}^{\infty}\eta (t,\theta) \,dx	\,              (74)

Pour mener le calcul, nous devons supposer une corrélation angulaire nulle. Cela signifie :

LaTeX: R_{\eta \eta}^{inc}(t,\theta _1 \theta _2)= R_{\eta \eta}^{inc}(t,\theta _1)\delta(\theta _1- \theta _2)\,              (75)

Cette hypothèse n’est pas toujours vérifiée, par exemple derrière une île où l’on peut trouver deux directions corrélées.

Sous cette hypothèse, tout calcul fait, nous obtenons le spectre LaTeX: S_{\eta\eta}\, des amplitudes de la houle en un point quelconque :

LaTeX: S_{\eta\eta}(\omega\theta)= \left|H(\omega,\theta)\right|^2 S_{\eta\eta}^{inc}(\omega\theta)  \,              (76)

Hauteur significative de la houle réelle

Connaissant la densité spectro-angulaire en chaque nœud du domaine, nous appliquons les formules classiques du calcul spectral basé sur le calcul de moments. La hauteur significative est déterminée directement à partir du moment m0. Le moment d’ordre n s’écrivant :

LaTeX: m_n = \int_{0}^{\infty} \int_{-\pi}^{\pi}S(\omega,\theta)\omega ^n \,d\omega	\,d\theta \,              (77)

Comme LaTeX: R_{\eta\eta}(0)= m_0\,, le moment d’ordre 0 LaTeX: m_0\, est égal à LaTeX: E[\eta ^2(t)]\, , la hauteur de houle Hm0 qui estime la hauteur significative est alors fixée à environ 4 LaTeX: \sqrt {m_0}\,.

Autres caractéristiques de la houle

On peut déterminer d’autres caractéristiques de la houle en chaque nœud du domaine : une période moyenne LaTeX: \bar \Tau\,, une direction de propagation moyenne LaTeX: \theta\, et un indicateur d’étroitesse de densité spectrale LaTeX: \epsilon\,.

LaTeX: \bar \Tau = \sqrt {\frac{m_0}{m_2}}, \bar \theta = \arctan \left(\frac{m_01}{m_10}\right), \epsilon = sqrt{\frac{m_0 m_2}{m_1^2}}  \,              (78)

avec

LaTeX: m_{pq}=\int_{0}^{\infty} \int_{-\pi}^{\pi} S(\omega , \theta)(k \cos \theta)^p (k \sin \theta) ^q \,d\omega	\,d\theta	\,              (79)

Spectre incident

Nous nous référons à l’ouvrage de Goda (1985). Le spectre, de type JONSWAP 1973 (Hasselmann et al., 1980), est plus général que celui de Pierson et Moskowitz (1964). Le spectre de type JONSWAP permet de caractériser les états de mer en développement. Sa formule générale est :

LaTeX: S(\omega)= \alpha H_s^2 T_p^{-4} \omega ^{-5} \exp \Big[1,25 (T_p\omega)^{-4}\Big] \lambda ^{\exp \left[\frac{-(T_p\omega-1)^2}{2\sigma^2}\right]  }\,              (80)

avec

LaTeX: \alpha = \frac{0,0624}{0,230+0,0036\lambda - 0,185 (1,9 + \lambda)^{-1}} \qquad      \lambda \in [0;10]\,

LaTeX: \sigma = 0,07\quad si\quad \omega \le \omega _p\qquad \qquad \qquad \sigma = 0,09\quad si\quad \omega > \omega_p\,              (81)

LaTeX: \omega_p\, est la pulsation de pic et LaTeX: T_p\, la période de pic. LaTeX: H_s\, est le facteur de réhaussement de pic. Egal à 1, on retrouve le spectre dit de Pierson Moskowitz qui caractérise les états de mer complètement développés. LaTeX: \, est la hauteur significative.

Pour obtenir la densité spectro-angulaire de la houle incidente, il faut multiplier le spectre de Jonswap par une fonction de répartition angulaire. Nous reprenons celle indiquée par Goda 

LaTeX: S(\omega,\theta)= S (\omega) D (\omega, \theta )\,              (82)

et

LaTeX: D(\omega,\theta)= D_0\cos ^{2s} \left(\frac{\theta}{2}\right)   \,              (83)

La norme de la fonction de répartition angulaire vérifie LaTeX: \int_{-\pi}^{\pi} D(\omega,\theta)\,d\theta = 1	\, soit

LaTeX: D_0 = \frac{1}{\pi}2^{2s-1}\frac{\Gamma ^2 (s+1)}{\Gamma (2s+1)}\,              (84)

Le paramètre s est une fonction de la fréquence et du paramètre principal de répartition smax :

LaTeX: \begin{cases} S = S_{max} \left[\frac{\omega}{\omega_p}\right]^5\qquad      \qquad      \qquad      :\omega \le \omega_p  \\ S = S_{max} \left[\frac{\omega}{\omega_p}\right]^{-2,5}      \qquad      \qquad      :\omega > \omega_p  \end{cases}              (85)


Goda donne une relation pour déterminer la valeur de LaTeX: S_{max}\, en fonction de la vitesse du vent LaTeX: U\, et de la pulsation du pic LaTeX: \omega_p\,:

LaTeX: S_{max} = 11,25 \left(\frac{2\pi\omega_p U}{g}\right)^{-2,5}  \,              (86)

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