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Modèle de Boussinesq

De Wikhydro
Site internet du RFRC : Réseau Français de Recherche Côtière

Sommaire

Modélisation de la houle non-linéaire: modèle Boussinesq

Contexte

Les équations de Boussinesq [1] représentent une intégration sur la verticale des équations de conservation de la quantité de mouvement et de conservation de la masse pour un fluide incompressible. La composante verticale de la vitesse est supposée alors varier linéairement en fonction de la profondeur afin de réduire un problème tridimensionnel à un problème bidimensionnel. Les équations de Boussinesq permettent de prendre en compte le transfert d’énergie entre plusieurs composantes fréquentielles, les changements de forme de vagues individuelles et l'évolution d'un groupe de vagues aléatoires.

Boussinesq écrit en 1872 [1] ses équations pour une propagation de houle sur fonds plats. Il faut attendre environ un siècle, soit 1967, pour qu’une première formulation soit proposée sur fonds variables par Peregrine [8]. La limitation principale de cette forme la plus commune des équations de Boussinesq est que ces équations ne sont valables que pour des hauteurs d'eau relativement faibles. Ce n’est que très récemment, à partir des années 1990s, que de nombreux modèles dérivés des équations initiales de Boussinesq ont été développés afin d'étendre leur domaine de validité à des eaux plus profondes et la plupart du temps en améliorant l'équation de dispersion de la houle.

Le modèle hydrodynamique tridimensionnel Reflux 3D (ou bidimensionnel Reflux 2DV) développé par Meftah [2] adopte une approche novatrice, dite h-s [3] qui induit implicitement une très bonne approximation de la relation de dispersion. Dans le domaine hydraulique, les dimensions horizontales sont dominantes par rapport à la dimension verticale et cette nouvelle approche consiste à donner un traitement particulier aux variables selon la verticale: le modèle s'appuie sur une approximation aux éléments finis dans le plan horizontal (Oxy) et sur une approximation de type analytique (séries de fonctions) suivant la verticale (Oz). C'est une approche voisine de celle adoptée par Nadaoka et al. [4] et Massel [5] qui choisissent une base de fonctions hyperboliques suivant la verticale. Dans cette approche, il n'y a plus de maillage du domaine tridimensionnel, mais chaque verticale est remplacée par un seul nœud enrichi en degrés de liberté. En choisissant pour fonctions les polynômes de Legendre, ce modèle peut alors être classé comme un modèle du type Boussinesq étendu.

Système d’équations à résoudre

Pour simplifier et raccourcir l’écriture des équations nous les exprimons ici dans un référentiel bidimensionnel vertical. Dans le référentiel Oxz, les équations de conservation de la masse et de conservation de la quantité de mouvement peuvent s’écrire :

LaTeX: \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+w\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial \omega}{\partial t}+ u\frac{\partial \omega}{\partial x}+\omega \frac{\partial \omega}{\partial x}+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z} = 0 \\\frac{\partial u}{\partial x}+ \frac{\partial \omega}{\partial z}= 0\end{cases}              (1)

LaTeX: p, u, w, g\, et LaTeX: \rho\, sont respectivement la pression, les composantes horizontales et verticales de la vitesse, la constante de pesanteur et la masse volumique du fluide. La pression à l’intérieur du fluide peut se décomposer de la façon suivante :

LaTeX: p = \rho g(h-z)+ p_am+\rho p'\,              (2)

avec LaTeX: \rho g (h-z)\, la composante hydrostatique de la pression, LaTeX: p_am\, la pression atmosphérique au niveau de la surface libre, LaTeX: \rho p'\, la composante non-hydrostatique et LaTeX: h(x,t)\, le niveau de la surface libre. La condition de continuité de la pression à la surface libre se traduit par :

LaTeX: p(x,h) = p_am soit p'(x,h) = 0\,              (3)

L’équation de continuité cinématique au niveau de la surface libre s’exprime de la façon suivante :

LaTeX: \frac{\partial h}{\partial t}+u_h\frac{\partial h}{\partial x = 0} \,              (4)

LaTeX: (u_h, w_h)\, sont les composantes de la vitesse au niveau de la surface libre. L’équation de continuité cinématique au fond s’exprime de la façon suivante :

LaTeX: u_f\frac{dz_f}{dx}-w_f  = 0\,              (5)

avec LaTeX: z_f(x)\, le niveau du fond indépendant du temps et LaTeX: (u_f, w_f)\, les composantes de la vitesse au fond.

Méthode h-s

La composante horizontale de la vitesse s’exprime sous la forme d’une série sur la verticale :

LaTeX: u(x,z,t) = \phi_i (z,z_f, h)u_i(x,t)\,              (6)

où les fonctions LaTeX: \phi_i\, que nous prenons par défaut des polynômes de Legendre forment une base de fonctions de préférence orthogonale. LaTeX: N\, est l’ordre de discrétisation du modèle.

Les Polynômes de Legendre

La base des polynômes de Legendre est utilisé par défaut. Ces polynômes de Legendre sont définis de la façon suivante :

LaTeX: \phi_1(\xi)= 1, \phi_i \xi = \frac{1}{(i-1)! 2^{i-1}}\frac{d^{i-1}}{d\xi^{i-1}}\,LaTeX: \xi = 2\frac{z-z_f}{h-z_f}\,

Les polynômes de Legendre constituent une base orthogonale, ce qui présente plusieurs avantages : des produits scalaires, une matrice masse et des conditions aux limites plus simples. De manière générale, les produits scalaires sont plus rapides à calculer que pour les autres fonctions mathématiques (hyperbolique, trigonométrique, logarithmique,…)

Base mixte Polynomiale – Logarithmique

Il est connu que le profil vertical de vitesse pour un écoulement fluvial a une forme logarithmique. C’est la raison pour laquelle il est aussi proposé une base non-orthogonale similaire à la base des Polynômes de Legendre à laquelle est rajoutée une fonction logarithmique de la forme où les coefficients a et b dépendent des propriétés de l’écoulement mais aussi des caractéristiques des fonds.

Base hyperbolique – Modes propagatifs

Pour modéliser la propagation de la houle, il apparaît naturel d’utiliser une série hyperbolique de fonctions : où les nombres d’onde ki sont réels et dépendent des caractéristiques de la houle étudiée. Cette base de fonction présentée par Nadaoka et al.[4] possède d’excellentes propriétés de dispersion linéaire mais présente l’inconvénient de ne pas être orthogonale.

Base hyperbolique – Modes évanescents

La même base hyperbolique peut être utilisée mais avec les nombres d’onde ki choisis comme solution de la relation de dispersion linéaire avec H=h-zf. Le nombre d’onde k1 est l’unique solution réelle de cette équation, les autres solutions ki sont imaginaires pures. Massel [5] a présenté cette série de fonctions qui fournit un modèle généralisé non-linéaire de l’équation de pente douce non-stationnaire. Cette base a l’avantage d’être orthogonale mais l’inconvénient d’être valable seulement sur une bande de fréquence relativement étroite autour de k1.

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