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Modèle de plan de vagues

De Wikhydro
Site internet du RFRC : Réseau Français de Recherche Côtière

Sommaire

Contexte

Le tracé des plans de vagues est une méthode proposée par Huyghens. En partant d’une ligne de crête initiale, il propose de retrouver les lignes de crête suivantes. Cette méthode très simple et très physique est devenue populaire dès les années 1950s pour les dimensionnements d’aménagements maritimes. Limitée au traitement du phénomène de réfraction d’une houle régulière, elle a été depuis les années 1980 remplacée par d’autres modèles à phase moyennée.

Courbure des orthogonales

L’équation de pente douce peut s’exprimer en utilisant le module A et la phase S du potentiel complexe LaTeX: \psi\, : LaTeX: \psi\,= A ejkS. La partie réelle de l’équation de pente douce s’écrit alors  :

LaTeX: {|\overrightarrow{\nabla S}}|^2=k^2+\frac{\Delta A} {A}+\frac {\overrightarrow{\nabla c c_g}} {cc_g}.\frac{\overrightarrow{\nabla A}}{A} (1)

Négligeant les deux derniers termes associés au phénomène de diffraction, on aboutit à l’équation eikonale qui régit la réfraction de la houle:

LaTeX: {|\overrightarrow{\nabla S}}|^2=k^2 (2)

En utilisant le fait que le rotationnel d’un gradient est le vecteur nul, on obtient alors :

LaTeX: \vec\nabla\land\vec k= \vec 0 (3)

Soit LaTeX: \alpha\, l’angle entre l’axe Ox et la direction d’une ligne de crête donnée par le vecteur unitaire LaTeX: \vec u_n . Soit le vecteur unitaire LaTeX: \vec u_s représentant la direction de propagation de la houle, perpendiculaire à la ligne de crête. Dans les repère Oxy, le vecteur LaTeX: \vec k s’écrit de la façon suivante : LaTeX: \vec k = -k \sin \alpha\,\vec i + k \cos \alpha\,\vec j. La relation (3) devient alors:

LaTeX: \cos\alpha\frac{\partial k} {\partial x}+\sin\alpha\frac{\partial k} {\partial y}=k\sin\alpha\frac{\partial \alpha} {\partial x}-k\cos\alpha\frac{\partial \alpha} {\partial y} (4)

Ecrivons un vecteur LaTeX: \vec u quelconque sur les deux repères :

LaTeX: \vec u=x\vec i+y\vec j=n\vec u_n+s\vec u_s (5)

Les relations vectorielles sont les suivantes :

LaTeX: \vec u_n=\cos\alpha\vec i+\sin\alpha\vec j et LaTeX: \vec u_s=-\sin\alpha\vec i+\cos\alpha\vec j (6)

Notations vag.png
Fig. 1 : Notations pour le calcul des orthogonales.

Les relations de projection sont les suivantes :

LaTeX: x=n\,\cos\alpha-s\,\sin\alpha\,

LaTeX: y=n\,\cos\alpha+s\,\sin\alpha\, (7)

Les dérivées partielles peuvent se décomposer de la façon suivante :

LaTeX: \frac{\partial k}{\partial n}=\frac{\partial x}{\partial s}\frac{\partial k}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial s}\frac{\partial k}{\partial y}=\cos\alpha\frac{\partial k}{\partial x}+\sin\alpha\frac{\partial k}{\partial y} (8)

LaTeX: \frac{\partial \alpha}{\partial s}=\frac{\partial x}{\partial s}\frac{\partial s}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial s}\frac{\partial \alpha}{\partial y}=-\sin\alpha\frac{\partial \alpha}{\partial x}+\cos\alpha\frac{\partial \alpha}{\partial y} (9)

En reportant ces deux dernières équations dans l’équation (4), on s’aperçoit que le changement de direction d’une orthogonale est donnée par la relation :

LaTeX: \frac{\partial \alpha}{\partial s}=-\frac{1}{k}\frac{\partial k}{\partial n} (10)

Or comme LaTeX: k= \frac{\omega}{c} et que LaTeX: \omega\, est une constante du problème (houle monochromatique), on aboutit finalement à l’équation donnant la courbure des orthogonales :

LaTeX: \frac{\partial \alpha}{\partial s}=-\frac{1}{c}\frac{\partial c}{\partial n} (11)

Prenons par exemple un trait de côte linéaire situé en LaTeX: x=0\, orienté Est. La bathymétrie est supposée invariante parallèlement à la côte et varier de manière exponentielle en s’éloignant de la côte sous la forme LaTeX: d=e^{2\alpha x}\,. En prenant l’hypothèse des ondes longues, la célérité varie sous la forme LaTeX: c=e^{\alpha x}\,. Nous considérons une houle venant du Sud (c’est-à-dire LaTeX: \alpha=0\,). L’équation (11) donne alors :LaTeX: \frac{\partial \alpha}{\partial s}=\cos\alpha\frac{1}{c}\frac{\partial c}{\partial x}=\alpha\cos\alpha. Cette dernière équation s’intègre facilement LaTeX: \int_0^\alpha\frac{d\alpha}{\cos\alpha} =\begin{bmatrix}
</p>
<pre> a     &  s      
</pre>
\end{bmatrix}_0^s. Tout calcul fait, les variations de l’angle des lignes de crête a sont décrites par l’équation suivante : LaTeX: \alpha (s)=2\arctan {e^{\alpha s}}-\frac{\pi}{2}. On vérifie alors que l’angle des lignes de crête LaTeX: \alpha\, tend vers LaTeX: \frac{\pi}{2} lorsque LaTeX: s\, tend vers l’infini. Cela signifie que les lignes de crêtes tendent à s’orienter parallèlement à la côte ou dit autrement que les orthogonales se tournent vers les hauts fonds, la houle du Sud s’orientant ici vers l’Ouest.

Conservation du flux entre deux orthogonales

La hauteur de houle est calculée en écrivant que l’énergie transmise en moyenne sur une période à travers un plan vertical perpendiculaire à la direction de propagation et comprise entre deux orthogonales est la même au point de départ et à l’endroit considéré. En partant de l’équation de conservation du flux LaTeX: \vec\nabla.\vec P = 0 et en utilisant le théorème de la divergence, on obtient : LaTeX: \int_\Omega \vec\nabla.\vec P d \Omega=\oint\limits_{\Gamma}\vec P.\vec n d \Gamma =0 (12)

avec LaTeX: \Omega\, la surface comprise entre deux lignes de crête successive et deux orthogonales voisines. Soit LaTeX: \Gamma\, le contour fermé contenant la surface LaTeX: \Omega\, que l’on peut décomposer en quatre éléments de contour. On doit alors traiter l’équation suivante : LaTeX: \int_{\Gamma_1} \vec P.\vec n d {\Gamma_1}+\int_{\Gamma_2} \vec P.\vec n d {\Gamma_2}+\int_{\Gamma_3} \vec P.\vec n d {\Gamma_3}+\int_{\Gamma_4} \vec P.\vec n d {\Gamma_4}=0 (13)

Domaines vag.png
Fig. 2 : Domaine compris entre deux orthogonales et deux lignes de crête.

Or on rappelle que LaTeX: \vec P = c c_g A^2 \vec\nabla S. Par définition le gradient LaTeX: \vec\nabla S est perpendiculaire aux lignes de crête ce qui implique : LaTeX: \int_{\Gamma_2} \vec P.\vec n d {\Gamma_2}=\int_{\Gamma_4} \vec P.\vec n d {\Gamma_4}=0 (14)

Comme LaTeX: \vec\nabla S est égale à LaTeX: -k\, sur la frontière LaTeX: \Gamma_1 et est égale à LaTeX: k\, sur la frontière LaTeX: \Gamma_3, on obtient :

LaTeX: c_{g1}{A_1}^2 l_1 = c_{g3}{A_3}^2 l_3 (15)

Soit encore :

LaTeX: \frac{A_3}{A_1} =\sqrt{ \frac{l_1} {l_3} } \sqrt{ \frac{c_{g1}} {c_{g3}} }= Kréfraction x Kshoaling (16)

Les valeurs de cg ne dépendent que de la profondeur d et peuvent être calculées en tout point. Elles fournissent le coefficient de shoaling Kshoaling. Les espacements entre orthogonales sont calculés à partir de la méthode de tracés des orthogonales décrite précédemment. La racine carrée du rapport des espacements fournit le coefficient de réfraction Kréfraction.

Attention : Le principe de conservation du flux n’est plus applicable lorsqu’il y a croisement de deux orthogonales. La hauteur de houle est théoriquement infinie au point de croisement des deux orthogonales. Le phénomène de diffraction devient significatif et l’équation eikonale n’est plus valable.


Données nécessaires à la mise en oeuvre

A partir d’un semis de points, le code de calcul maille le domaine et interpole la bathymétrie sur une grille régulière.

Maillage vag.png Semis vag.png

Fig. 3 : Maillage et interpolation à partir d’un semis de points de la bathymétrie.

L’utilisateur spécifie la direction, la hauteur et la période de la houle ainsi que le nombre d’orthogonales et leur espacement.


Méthodes numériques spécifiques

Pour le calcul courant d’une orthogonale, on prend un pas de calcul égal à la longueur d’onde qui est variable afin d’obtenir immédiatement les lignes de crête en joignant les points correspondants définissant les orthogonales.

Au point Pi on calcule :

La profondeur d, la longueur d’onde L et la courbure LaTeX: \rho=\frac{\partial\alpha}{\partial s}=\frac{1} {c}\frac{\partial c}{\partial n}=\frac{1} {L}\frac{\partial L}{\partial n}

On calcule les coordonnées du point suivant Pi+1 :

LaTeX: x_{i+1}= x_i - L_i \sin {\alpha}_i - \frac {{\rho}_i} {2} {L_i}^2 \cos {\alpha}_i

LaTeX: y_{i+1}= y_i - L_i \cos {\alpha}_i - \frac {{\rho}_i} {2} {L_i}^2 \sin {\alpha}_i (17)

Au point Pi+1 on calcule d, L et LaTeX: \rho

On recalcule les coordonnées du point Pi+1

On recalcule les coordonnées xi+1 et yi+1 en prenant au lieu de Li et LaTeX: \rhoi les moyennes (Li+ Li+1)/2 et (LaTeX: \rhoi+ LaTeX: \rhoi+1)/2. On obtient ainsi un point P’i+1 qui est très voisin de Pi+1. On calcule enfin :

LaTeX: {\alpha}_{i+1}= {\alpha}_{i}+\frac{ ({\rho}_i + {\rho}_{i+1}) (L_i+L_{i+1}) } {4}
(18)

Puis on recommence en partant du point P’i+1

Le calcul d’une orthogonale est terminé, soit lorsqu’elle arrive très près du rivage (lorsque la profondeur d’eau est inférieure à 2 m par exemple), soit lorsqu’elle traverse un segment d’arrêt, que l’on situe à l’emplacement de l’ouvrage où on veut obtenir la hauteur de la houle.

Résultats fournis par le code et exploitation

Le code d’exploitation trace les orthogonales et les lignes de crête (plan de vagues vu du ciel). On en déduit la hauteur de houle et la direction de la houle à la côte.

Orthogonales vag.png Cretes vag.png

Fig. 4 : Tracé des orthogonales et des lignes de crête à l’Est de la presqu’île de Giens pour une houle d’Est.

Exemples de modèles

Le modèle VAG est le modèle de tracé de plan de vagues du CETMEF (ex STCPMVN).

Références

Vansteeenkiste F., Aristaghes C. et Agostini P. (1990). Notice d’utilisation du programme VAG – Tracé de plans de vagues. Notice STCPMVN INF n° 90.3


Le créateur de cet article est Philippe Sergent
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