Question : Inversion de la relation de dispersion des houles?
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Eléments de contexte
Cette question scientifique s'inscrit dans la démarche collaborative ANSWER. Elle a pour but de mettre en commun et d'échanger au sein de la communauté des hydrauliciens du savoir et de s'entraider pour résoudre des problèmes spécifiques.
Inversion de la relation de dispersion des ondes
Le problème consiste à résoudre de manière semi-analytique l'équation de Berkhoff, dont l'expression est la suivante:
$ \nabla.\left( CC_g \nabla \phi \right )+ k^2 CC_g\phi =0 $
Dans le cas particulier d'ondes longues, $ CC_g=gH(x) $ où $ H(x) $ est la profondeur d'eau que nous allons supposer pouvoir être exprimée par une fonction analytique, par exemple:
- $ H(x)=H_0-sx $ pour un fond dont la profondeur varie linéairement avec l'abscisse
- $ H(x)=H_0e^{-bx} $
- ...
par ailleurs, le nombre d'onde $ k(x) $ est donné par la relation implicite suivante: $ \dfrac{\omega^2}{g}=k\tanh(kh) $, que l'on peut également écrire sous la forme suivante:
$ \dfrac{\omega^2h(x)}{g}=k(x)h(x)\tanh(k(x)h(x)) $ ou encore $ \dfrac{\omega^2h(x)}{g}=K(x)\tanh(K(x)) $ avec $ K(x)=k(x)h(x) $
Solutions particulières
Nous pouvons résoudre l'équation de Berkhoff de manière analytique dans 2 cas différents:
en grande profondeur
Les vitesses de phase et de groupe s'expriment par $ C=\dfrac{g}{\omega};C_g=\dfrac{1}{2}\dfrac{g}{\omega} $
$ k=\dfrac{\omega^2}{g}=cste $. L'équation de Berkhoff se ramène donc à une équation d'Helmholtz à coefficients constants.
- $ \phi_{xx}+k^2\Phi=0 $
en petite profondeur
$ C=C_g=\sqrt{gH} $. L'équation de Berkhoff a pour expression:
- $ \phi_{xx}+\dfrac{H_x}{H}\phi_{x}+k^2\Phi=0 $ avec $ k^2=\dfrac{\omega^2}{gH} $
d'où: $ H\phi_{xx}+H_x\phi_{x}+\dfrac{\omega^2}{g}\Phi=0 $
Dans les cas où H(x) est analytique (pente constante ou exponentielle...), cette équation peut être résolue analytiquement avec les conditions limites ad-hoc.
Cas général
Dans la mesure où l'on est capable d'inverser cette relation de dispersion et la mettre sous la forme $ K(x)=F(x) $, alors nous pouvons résoudre l'équation de Berkhoff sur des fonds analytiques.
Une première idée consiste à utiliser un développement en séries de la fonction $ \tanh(K) $
$ \tanh(K)=K-\dfrac{1}{3}K^3+\dfrac{2}{5}K^5-\dfrac{17}{315}K^7+\dfrac{62}{2835}K^9+O(K^{10}) $
puis:$ K\tanh(K)=K^2-\dfrac{1}{3}K^4+\dfrac{2}{5}K^6-\dfrac{17}{315}K^8+\dfrac{62}{2835}K^{10}+O(K^{11}) $
L'inversion de cette série n'est pas définie, ce qui ne permet pas d'obtenir l'expression de $ K(x) $.
Question
Est-il possible de trouver une méthode d'inversion de la relation générale de dispersion des houles $ \dfrac{\omega^2}{g}=k\tanh(kh) $?