Version actuelle en date du 18 juillet 2018 à 08:34

$ n^{2}|a_{n}|&=\left| \frac{(k+(n-1)b)(k+(n-2)b)...(k+b)}{((n-1)!)^{2}}\right| |ka_{0}| \nonumber\\ & = \left| \frac{(k+(n-1)b)}{(n-1)^{2}}\right| \times \left| \frac{(k+(n-2)b)}{(n-2)^{2}}\right| \times ... \times \left| \frac{(k+b)}{1^{2}}\right| \nonumber \\ & \leq \frac{(|k|+(n-1)|b|)}{(n-1)^{2}} \times \frac{(|k|+(n-2)|b|)}{(n-2)^{2}} \times ... \times \frac{(|k|+|b|)}{1^{2}} \nonumber $

[modifier] Éléments de contexte

Cette fiche s'inscrit dans le cadre de la démarche de sciences participatives ANSWER.

Elle concerne les 2 thèmes suivants:

• HYDRAULIQUE MARITIME
• PROPAGATION D'ONDE EN ESTUAIRE

Elle est directement reliée aux fiches théoriques suivantes:

• Propagation d'une_onde dans un estuaire à pente du fond inclinée
• Propagation de la marée dans un estuaire à fond pentu et aux berges convergentes linéaires

Pour valider ces approches théoriques, des essais sur canal expérimental ont été réalisés au Southern Institute of Water Resources Research (SIWRR) à Saigon au Vietnam.

[modifier] Consistance des essais

[modifier] Nomenclature des essais

Les essais sur modèle physique ont été réalisés durant les mois d'avril à août 2016 au SIWRR à Saigon au Vietnam. Ils ont été réalisés par Hazeme Mohamed dans le cadre de son stage de 2ème année de l'ENTPE, proposé par Jean-Michel Tanguy (SHF) et encadré par le professeur San Dinh directeur du SIWRR.

Le SIWRR héberge plusieurs installations expérimentales qui permettent d'étudier le comportement des houles à proximité du littoral.

Nous avons utilisé le canal de 40 m de long, de 1,2m de large et de profondeur maximale de 1,5m. Il comprend un batteur à houle qui permet de générer des vagues régulières et irrégulières, d'une amplitude maximale de 0,42m, de période comprises entre 0,5s et de 5s. A son extrémité amont, la plage peut être absorbante ou réfléchissante.

Afin de construire une base de données nécessaires à la validation des développements théoriques, 3 types d'essais ont été réalisés

1. SmAbUn : essais en canal rectangulaire uniforme sur fond lisse
2. RoAbUn : essais en canal rectangulaire uniforme sur lit de roches
3. SmAbCo : essais en canal rectangulaire avec berges convergentes et condition limite amont absorbante

En faisant varier les paramètres ci-dessous, c'est plus de 68 essais différents qui ont été instrumentés:

• Houle régulière
• Pente constante sur 10 m à l'amont du canal : 1/25.
• Différents gabarits : canal rectangulaire et canal avec réduction des berges de manière linéaire.
• Variation de rugosité du fond du canal (fond lisse en sable et fond recouvert de cailloux)
• Différentes conditions à la limite amont : sortie libre ou réflexion.
• Variation des différents paramètres de la houle : hauteur d'eau, amplitude et période

Afin de faciliter le repérage des essais, nous avons établis la nomenclature suivante:

• Profondeur amont au niveau du batteur à houle : D65 ou D70 correspondant à des profondeurs de 65cm et de 70cm
• A4 : amplitude de l'onde : 4cm (demi-amplitude : l'amplitude réelle est de 8 cm comptée de tête à creux)
• T4 : période de l'onde : 4s
• Etat des fonds : Sm (Smooth) ou Ro (Rocks)
• Conditions limites amont : Re (réflexion) ou Ab (Absorption)
• Configuration de la section : Un (canal rectangulaire de section constante) ou Co (canal rectangulaire de section convergente linéaire)

Par exemple, le fichier D70A2T7_RoAbCo correspond à une houle régulière générée en amont avec une hauteur d'eau de 70cm, une amplitude de 2cm, une période de 7s sur un fond constitué dans sa partie pentue de roches avec une plage absorbantes dans un canal convergent. Les suffixes _D et _E sont ajoutés aux noms de fichiers pour signifier qu'il s'agit de données et d'exploitation des données.

Les combinaisons de paramètres sont les suivantes (toutes les combinaisons n'ont pas été testées):

Les quelques photos et videos suivantes illustrent la configuration des lieux:

Vue générale du canal vers le batteur à houle	Vue générale du canal vers l'amont	Vue latérale du canal
Vue de la plage d'absorption amont	Lit de cailloux (partiel)
Berges convergentes	Berges convergentes

Voici également quelques vidéos tournées au SIWRR sur le vrai canal dans des conditions voisines de nos essais, mais avec une condition limite qui ne correspond pas à nos scénarios.

[modifier] Position des sections de mesure

Le canal comprend 2 parties : une première partie de 10 m de long caractérisée par une pente de 1/25 qui se poursuit par une partie à pente nulle jusqu'à la condition limite représentée soit par une plage absorbante (schéma ci-dessous) soit par un mur réfléchissant.

Les sections de mesures ont été positionnées tous les 2,5 m en partant du début de la pente jusqu'à la section x=10m. Les sections 6 et 7 sont respectivement à X=12m et X=14 m

[modifier] Exploitation des essais

Nous présentons ci-dessous 4 essais qui nous semblent représentatifs des typologies de configurations, puis nous comparons ensuite plusieurs essais similaires en faisant varier 1 seul paramètre à la fois (la période, l'amplitude, la rugosité, l'effet de convergence...)

[modifier] Présentation de 4 essais types

[modifier] SmAbUn

Nous choisissons l'essai D70A4T4_SmAbUn qui correspond aux paramètres suivants:

Profondeur : 70cm, Amplitude 4cm, Période 4s, Fond lisse, Absorption amont, Gabarit constant

Le graphique ci-dessus représente les enregistrements temporels des 7 capteurs placés le long du canal. Ils sont indiqués avec des couleurs différentes. Nous avons sélectionné une fenêtre temporelle qui correspond à une série de vagues bien formées comprises entre les limites suivantes : les premières vagues sont inexploitables à cause de le mise en mouvement du batteur et les suivantes sont perturbées correspondant à des phénomènes parasites : apparition d'ondes transversales et retour des ondes depuis la plage qui n'est pas totalement absorbante.

Ainsi, grâce à ce schéma, nous pouvons illustrer plusieurs paramètres dont les variations longitudinales peuvent-être mises en évidence sur les graphiques suivants, mais également l'apparition des perturbations locales au droit des capteurs.

Figure 1

Figure 2	Figure 3
Figure 4	Figure 5

Interprétations des schémas

• Figure 2 : Conformément à la théorie, l'amplitude des ondes augmente longitudinalement le long de la pente du fond
• Figure 3 : Variation des pentes amont et aval des ondes de propagation. Le graphique montre très bien le raidissement de la pente amont de l'onde (en rouge) et la diminution de la pente aval : ceci illustre l'importance de processus non-linéaires. Nous verrons qu'ils diminuent avec l'amplitude et la période de l'onde. En valeurs absolues, la pente du raidissement amont est supérieure à celle de l'affaissement aval.
• Figure 4 : la célérité des ondes diminue et reste très proche des valeurs théoriques données par la théorie des grandes ondes. On note cependant un point particulier situé à la limite amont de la pente (X=10m)
• Figure 5 : La longueur d'onde diminue le long de la pente. Le point de rupture de pente est également apparent

Remarque : Au droit de la section X=10 m, la célérité est voisine de 1,5 m/s Ainsi pour un trajet aller-retour de 2x20m = 40 m pour revenir au profil X=14m, l'onde va mettre un temps voisin de 27 s. Ainsi le graphique de la figure 1 se situe avant que l'onde réfléchie (éventuelle) en provenance de la plage absorbante ne revienne perturber les capteurs.

[modifier] RoAbUn

Nous choisissons l'essai D70A4T4_RoAbUn qui correspond aux paramètres suivants:

Profondeur : 70cm, 1/2 Amplitude 4cm, Période 4s, Fond roches, Absorption amont, Gabarit constant

De manière similaire avec les autres essais décrits ci-dessus, nous pouvons illustrer plusieurs paramètres dont les variations longitudinales peuvent-être mises en évidence sur les graphiques suivants.

Figure 6

Figure 7	Figure 8
Figure 9	Figure 10

Interprétations des schémas:

• Figure 7 : Conformément à la théorie, l'amplitude des ondes augmente longitudinalement le long la pente du fond
• Figure 8 : Variation des pentes amont et aval des ondes de propagation. Le graphique montre très bien le raidissement de la pente amont de l'onde (en rouge) et la diminution de la pente aval : ceci illustre l'importance de processus non-linéaires. Nous verrons qu'ils diminuent avec l'amplitude et la période de l'onde. En valeurs absolues, la pente du raidissement amont est supérieure à celle de l'affaissement aval.
• Figure 9 : la célérité des ondes diminue et reste très proche des valeurs théoriques données par la théorie des grandes ondes. On note le même le même point singulier situé à la limite amont de la pente que dans l'essai précédent (X=10m)
• Figure 10 : La longueur d'onde diminue le long de la pente. Le point de rupture de pente est également apparent.

Remarque : Au droit de la section X=12 m, la célérité est voisine de 1,5 m/s. Ainsi pour un trajet aller-retour de 2x20m = 40 m pour revenir au profil X=14m, l'onde va mettre un temps voisin de 27 s. Ainsi le graphique de la figure 6 se situe avant que l'onde réfléchie (éventuelle) en provenance de la plage absorbante ne revienne perturber les capteurs.

[modifier] SmAbCo

Nous choisissons ici l'essai D70A4T4_SmAbCo qui correspond aux valeurs des paramètres suivants:

Profondeur : 70cm, 1/2 Amplitude 4cm, Période4 s, Fond lisse, Absorption amont, Berges convergentes

De manière similaire avec les autres essais décrits ci-dessus, nous pouvons illustrer plusieurs paramètres dont les variations longitudinales peuvent-être mises en évidence sur les graphiques suivants:

Figure 11

Figure 12	Figure 13
Figure 14	Figure 15

Interprétations des schémas:

• Figure 12 : Conformément à la théorie, l'amplitude des ondes augmente longitudinalement le long la pente du fond
• Figure 13 : Variation des pentes amont et aval des ondes de propagation. Le graphique montre très bien le raidissement de la pente amont de l'onde (en rouge) et la diminution de la pente aval : ceci illustre l'importance de processus non-linéaires. Nous verrons qu'ils diminuent avec l'amplitude et la période de l'onde. En valeurs absolues, la pente du raidissement amont est supérieure à celle de l'affaissement aval.
• Figure 14 : la célérité des ondes diminue et reste très proche des valeurs théoriques données par la théorie des grandes ondes. On note le même le même point singulier situé à la limite amont de la pente que dans l'essai précédent (X=10m)
• Figure 15 : La longueur d'onde diminue le long de la pente. Le point de rupture de pente est également apparent.

Remarque : Au droit de la section X=12 m, la célérité est voisine de 1,5 m/s Ainsi pour un trajet aller-retour de 2x20m = 40 m pour revenir au profil X=14m, l'onde va mettre un temps voisin de 27 s. Ainsi le graphique de la figure 11 se situe avant que l'onde réfléchie (éventuelle) en provenance de la plage absorbante ne revienne perturber les capteurs.

[modifier] Analyse comparative des enregistrements

Nous avons exploité l'ensemble des essais de manière transversale, de manière à mettre en oeuvre des comportements particuliers des ondes de surface. C'est ainsi que nous mènerons des comparaisons sur les paramètres suivants:

• impact de la variation de l'amplitude pour plusieurs essais caractérisés par les mêmes paramètres mais avec des rugosités, et un gabarit soit uniforme, soit linéaire
• impact de la variation de la période
• impact de la variation de l'amplitude initiale
• comparaison pour un même essai réalisé en section uniforme ou convergente
• impact de la variation de la rugosité

[modifier] Impact de la variation de l'amplitude pour plusieurs essais avec les mêmes paramètres

Nous avons comparé plusieurs essais caractérisé par D70, par des conditions limites absorbantes Ab et pour une même période T5. Il s'agit des essais D70A5T5, D70A2T2 et D70A5T7 en conditions RoAbUn, SmAbCo et SmAbUn

Figure 16	Figure 17
Figure 18

• Figure 16 : les variations d'amplitudes pour les 3 schémas sont croissantes suivant la pente, ce qui est bien conforme à la théorie.
• Figure 17 : les amplitudes initiales des vagues générées par le batteur ne sont pas toujours bien respectées : toutes les courbes d'un même schéma devraient partir du même point à X=0
• Figure 18 : on note une chute très nette de l'amplitude à l'arrivée en haut de la pente.

[modifier] Impact de la variation de la période sur les conditions de propagation des ondes

Nous avons choisi la configuration du canal rectangulaire D70A4 avec berges convergentes (SmAbCo) et avons comparé des essais réalisés avec des périodes différentes (T2, T4,T5 et T6)

Figure 19	Figure 20
Figure 21	Figure 22

Commentaires:

• Figure 19 : l'amplitude augmente le long de la pente, sauf pour la période la plus basse (T2) qui décroit en haut de pente. Les courbes T4 et T5 sont assez voisines. La courbe T6 est plus basse car elle ne part pas de la même origine
• Figure 20 : les pentes des vagues de faibles fréquences sont très proches en valeur absolue et évoluent peu, ce qui montre le caractère quasi-linéaire de la propagation. Pour les fréquences plus importantes, le raidissement amont et plus important en valeur absolue que l'affaissement aval. Cet affaissement se maintient à une valeur proche de 1% alors que le raidissement augmente progressivement en montant la pente
• Figure 21 : toutes les vagues de même amplitude se propagent vers l'amont avec une célérité décroissante voisine de -0,1 m/s/ml, ce qui peut s'écrire : $ dC/dX=-0,1 $. Après la rupture de pente, la célérité tend à prendre une valeur constante voisine de 1,6 m/s
• Figure 22 : la longueur d'onde décroit vers l'amont avec une intensité variant avec l'amplitude.

Des schémas précédents, nous pouvons en déduire les relations empiriques suivantes : sachant que L=CT, la loi de variation de la longueur d'onde dL/dX=dC/dx*T=-0.1*T, qui peut être vérifiée sur la figure 22

[modifier] Impact de la variation de l'amplitude sur les conditions de propagation des ondes

Afin de mettre en évidence l'impact de la variation de l'amplitude sur les conditions de propagation des ondes, nous avons choisi de comparer plusieurs essais qui correspondent à D70T4 mais avec des amplitudes différentes : A2, A4 et A5 dans les configuration SmAbCo (fond lisse, condition limite amont absorbante et berges convergentes)

Figure 23	Figure 24
Figure 25	Figure 26

Commentaires:

• Figure 23 : l'amplitude augmente le long de l'axe proportionellement à la valeur de l'amplitude initiale. Pour la plus faible amplitude initiale, la vague ne "gonfle pas": l'amplitude reste constante le long de la pente, ce qui confirme le caractère quasi-linéaire de l'essai
• Figure 24 : les pentes des courbes amont de raidissement sont plus importantes que les courbes aval d'affaissement
• Figure 25 : la vitesse de d'onde a tendance à diminuer de manière uniforme quelle que soit l'amplitude initiale
• Figure 26 : la longueur d'onde a tendance à diminuer de manière uniforme quelle que soit l'amplitude initiale avec une pente voisine de 30%

Des schémas précédents, on peut déduire les 2 relations empiriques suivantes: L=-0,3*X+10,5 et C=-1/12*X+2,6

[modifier] Mise en évidence de l'effet de convergence des berges par rapport au canal uniforme

Nous avons choisi de comparer 2 essais D70A4T4 : SmAbUn et SmAbCo

Figure 26	Figure 27
Figure 28	Figure 29
Figure 30	Figure 31

Commentaires:

• les différences entre les courbes Un et Co apparaissent à partir du sommet de la pente (X=10m)
• pour les basses périodes (Figures 26, 27, 28 et 31) on observe une chute brutale de l'amplitude en deçà de l'amplitude de départ au niveau du batteur (X=0m)
• plus la fréquence augmente (Figures 28, 29, 30), moins la courbe Co décroche vers le bas

[modifier] Impact de la rugosité des fonds sur les conditions de propagation des ondes

Nous avons choisi 2 essais D70A4T4 et comparé l'effet des configurations SmAbUn et RoAbUn

Figure 13	Figure 14
Figure 15	Figure 16

Commentaires:

• F13 : la modification des amplitudes n'est pas très importante en intensité. Cependant, une rugosité plus importante provoque un amortissement de l'amplitude des ondes
• F14 : on note peu de modifications concernant le raidissement dont et l'affaissement aval des ondes
• F15 : peu de différences pour la célérité qui diminue tout au long de la pente, avec cependant la présence dans les 2 cas d'un pic de vitesse au point haut de la rupture de pente
• F16 : peu de différences pour la longueur d'onde qui diminue tout au long de la pente, avec cependant la présence dans les 2 cas d'un pic de longue d'onde au point haut de la rupture de pente

[modifier] Apparition d'un point particulier en X=10m

Dans les courbes ci-dessus, apparait une discontinuité au point amont de rupture de pente. Plusieurs hypothèses peuvent être avancées: ou bien le capteur n'a pas bien fonctionné, ou il a été implanté au mauvais endroit ou encore il se passe un phénomène particulier en ce point.

Remarquons que tous les essais réalisés en canal uniforme (SmAbUn et RoSmUn) présentent ce point alors que les essais réalisés en canal convergent (SmAbCo) ne le montrent pas.

[modifier] Conclusion

[modifier] Résultats des essais

Les essais réalisés au SIWRR sont intéressants à plusieurs titres:

• ils permettent de mettre en évidence le comportement des ondes longues lorsqu'elles progressent dans un estuaire de forme rectangulaire, dont le fond est caractérisé par une pente régulière ascendante vers l'amont (exemple : estuaire de la Gironde). Deux configurations de variation de sections ont été étudiées : uniforme sur l'ensemble du canal d'une part et convergentes vers l'amont d'autre part.
• ils ont permis de construire une base de données en libre disposition sur internet
• Comparativement aux théories, ils ont permis de vérifier les points suivants:

• l'amplitude des ondes augmente vers l'amont à cause de la pente du fond ascendante augmentée par la restriction de gabarit dans la configuration aux berges convergentes
• la cambrure des vagues reste assez homogène dans le cas de faibles amplitudes et de faibles périodes, ce qui montre que la progression est quasi-linéaire. Mais plus les amplitudes augmentent ou que la période est grande, les vagues se raidissent sur leur face amont et s'affaissent sur leur face aval.
• les longueurs d'ondes diminuent vers l'amont
• le comportement particulier de la déformations des ondes au point de rupture de pente amont (X=10 m) n'est pas explicable.

[modifier] Recommandations aux modélisateurs

Compte tenu des choix des paramètres dans l'ensemble de ces essais, il est recommandé aux modélisateurs de tester plusieurs types de modèles:

• les configurations les plus intéressantes au sens de la richesse des données produites sont D70AiTj (i=2,4,5 et j=2,4,5,6)
• il est probable que la forte pente du fond rende les modèles de Saint-Venant difficiles à utiliser, mais il convient de les tester
• des modèles linéarisés peuvent être utilisés pour les faibles amplitudes et les basses périodes
• les non-linéarités doivent être caractérisées en débranchant chaque terme non linéaire : vitesse ou frottement, pour mettre en évidence leurs impacts respectifs
• Il est recommandé de reproduire les courbes de sensibilité à l'amplitude et à la période (essais D70AiTj)
• Il convient également d'analyser finement ce qui se passe au point de rupture de pente amont (entre le pente et l'horizontale à l'abscisse X=10m). Les essais ont mis en évidence des particularités de la propagation des ondes et un examen précis des résultats en ce point doit être mené
• la comparaison des résultats de modélisations des modèles numériques avec la solution analytique linéaire dans les cas de canal uniforme et de canal aux berges convergentes est tout à fait pertinente dans la mesure où on se situe dans des configurations quasi-linéaires (faible période / faible amplitude)

[modifier] Auteurs

• Hazeme Mohamed : réalisation des essais au SIWRR de Saigon au Vietnam
• Jean-Michel Tanguy : exploitation des essais et rédaction de cette page

Nous remercions le professeur San Dinh directeur du Southern Institute of Water Resources Research à Saigon au Vietnam pour avoir permis la réalisation de ces essais, l'encadrement de la stagiaire. Ces essais ont pu être réalisés grâce au financement de l'ENTPE dans le cadre de l'opération FORM@HYDRO. Nous tenons à remercier plus particulièrement Bernard Clément, Directeur du Département Ville & Environnement, Enseignant-chercheur HDR au LEHNA-IPE, Ecole Nationale des Travaux Publics de l'Etat