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Colebrook (formule de) (HU) : Différence entre versions

De Wikhydro
 
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Formule, appelée parfois formule de Colebrook-White, initialement développée pour calculer les [[Perte de charge linéaire (HU)|pertes de charge linéaires]] dans le cas des écoulements en charge ; cette formule permet également d'évaluer le paramètre <math>C</math> de l'équation de [[Chézy (formule de) (HU)|Chézy]] moyennant certaines hypothèses.
  
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Formule, appelée parfois formule de Colebrook-White, permettant d'évaluer le paramètre C de l'équation de [[Chézy (formule de) (HU)|Chézy]]. Sous sa forme originale, l'équation de [[Colebrook Cyril Frank (1910-1997) (HU)|Colebrook]] s'écrit :
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* <math>a</math> et <math>b</math> :   coefficients sans dimension (12 < <math>a</math> < 15 et 0 < <math>b</math> < 6).
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==Cas des écoulements à surface libre en régime uniforme==
  
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Pour un écoulement à surface libre, en régime uniforme, la pente de la ligne d'énergie est parallèle à la pente du fond, donc <math>I = J</math>. On peut donc écrire :
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Dans le cas d'un écoulement à surface libre, en régime uniforme, la pente de la [[Ligne d'énergie (HU)|ligne d'énergie]] est parallèle à la pente du fond, ce qui implique <math>I = J</math>. On peut donc écrire :
  
  
 
<center><math>I = λ.\dfrac{V^2}{8.g.R_h} \quad\quad \Longrightarrow \quad\quad \dfrac{1}{\sqrt{\lambda}} = \dfrac{V}{\sqrt{8.g.R_h.I}} \quad(4)</math> </center>
 
<center><math>I = λ.\dfrac{V^2}{8.g.R_h} \quad\quad \Longrightarrow \quad\quad \dfrac{1}{\sqrt{\lambda}} = \dfrac{V}{\sqrt{8.g.R_h.I}} \quad(4)</math> </center>
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En reportant la relation (5) dans l'expression (7), on obtient finalement une expression explicite du coefficient C de Chezy :
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En élargissant l'application de la formule (9), proposée par Strickler pour le cas des canaux en terre ou avec des fonds sableux et valable pour les écoulements turbulents rugueux, au cas des conduites d'assainissement (Hager, 1999), on peut construire le tableau de la ''figure 1'' établissant un lien entre le coefficient <math>K_s</math> de la [[Manning-Strickler (formule de) (HU)|formule de Manning-Strickler]] et la rugosité <math>k</math> de la formule de Colebrook.
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* <math>k</math> : rugosité des parois au sens de Nikuradze (m) ;
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* <math>K_s</math> : coefficient de Manning-Strickler (m<sup>1/3</sup>/s).
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Cette approximation est relativement correcte, même si la correspondance devrait tenir également compte du rayon hydraulique de la conduite et de la vitesse d'écoulement (donc de la pente), comme le montre la ''figure 2''.
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[[File:colebrook_manning3.JPG|800px|center|thumb|<center>''<u>Figure 2</u> : Relation entre la rugosité <math>k</math> en mm de la formule de Colebrook et le coefficient <math>K_s</math> en m<sup>1/3</sup>/s de la formule de Manning-Strickler en tenant compte du diamètre de la conduite ; <u>Source</u> : Savary ().''</center>]]
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==Choix des paramètres et valeurs conseillées==
  
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Les valeurs généralement retenues pour a et b sont les suivantes :
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Les valeurs généralement retenues pour <math>a</math> et <math>b</math> sont les suivantes :
  
 
* <math>a</math> = 14,8
 
* <math>a</math> = 14,8
 
* <math>b</math> = 2,51
 
* <math>b</math> = 2,51
  
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Le tableau suivant donne des indications sur le choix de k et  :
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Le tableau de la ''figure 3'' synthétise des éléments bibliographiques sur le choix de <math>k</math> dans le cas d'un béton lisse et de <math>ν</math> :
  
  
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[[File:colebrook 2.JPG|400px|center|thumb|<center>''Valeurs indicatives pour le choix de <math>ν</math> et <math>k</math>.''</center>]]
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[[File:colebrook_manning2.JPG|600px|center|thumb|<center>''<u>Figure 3</u> : Variabilité des valeurs de <math>ν</math> et de <math>k</math> (dans le cas d'un béton lisse).''</center>]]
  
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Les valeurs de ces tableaux correspondent à la rugosité réelle des matériaux (taille moyenne des aspérités au sens de Nikuradze) . Dans le cas des conduites d'assainissement la rugosité apparente des parois doit tenir compte, non seulement de la dimension des aspérités, mais également des macro-obstacles à l'écoulement que l'on peut rencontrer dans les systèmes d’assainissement : coudes, chutes, câbles accrochés aux parois, etc. (voir [[Coefficient de rugosité (HU)]]). Pour ceci il est nécessaire de prendre en compte une rugosité apparente qui peut être fortement supérieure à la taille des aspérités comme le montre le tableau de la ''figure 4''.
  
  
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Il est important de préciser que la [[Rugosité (HU)|rugosité]] des parois doit  tenir compte, non seulement de la dimension des aspérités, mais également des macro-obstacles à l'écoulement que l'on peut rencontrer dans les systèmes d’assainissement : coudes, chutes, câbles accrochés aux parois, etc.  
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[[File:Colebrook1.JPG|600px|center|thumb|<center>''<u>Figure 4</u> : Valeurs minimales de la rugosité correspondant à la taille des aspérités et valeurs conseillées de rugosité apparente tenant compte des conditions réelles d'écoulement dans les réseaux d'assainissement.''</center>]]
  
 
<u>Bibliographie</u> :
 
<u>Bibliographie</u> :
 
* Carlier, M. (1972) : Hydraulique générale et appliquée ; Eyrolles ; Paris ; 565 p. ; 1972.
 
* Carlier, M. (1972) : Hydraulique générale et appliquée ; Eyrolles ; Paris ; 565 p. ; 1972.
 
* Lautrich, R. (1971) : Tables et abaques pour le calcul hydraulique des canalisations sous pression, égouts et caniveaux ; Eyrolles ; 1971.
 
* Lautrich, R. (1971) : Tables et abaques pour le calcul hydraulique des canalisations sous pression, égouts et caniveaux ; Eyrolles ; 1971.
−
* Winghar,t M. : Cours polycopié de mécanique des fluides et d'hydraulique ; INSA de Lyon - département GCU ; non daté.
+
* Hager, W. H. (1999) : ''Wastewater hydraulics: theory and practice'' ; Springer.
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* Savary, P. (non daté) : Manning-Strickler (formule de) ; 4p. ; disponible sur ...
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* Winghart, M. : Cours polycopié de mécanique des fluides et d'hydraulique ; INSA de Lyon - département GCU ; non daté.
  
 
<u>Voir aussi</u> : [[Coefficient de rugosité (HU)|Coefficient de rugosité]], [[Perte de charge linéaire (HU)|Perte de charge]].
 
<u>Voir aussi</u> : [[Coefficient de rugosité (HU)|Coefficient de rugosité]], [[Perte de charge linéaire (HU)|Perte de charge]].
  
 
[[Catégorie:Dictionnaire_DEHUA]]
 
[[Catégorie:Dictionnaire_DEHUA]]
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[[Catégorie:Processus_de_base_et_hydraulique_des_réseaux_(HU)]]
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[[Catégorie:Dimensionnement_des_ouvrages_d'écoulement_(HU)]]

Version actuelle en date du 9 avril 2024 à 15:50

Traduction anglaise : Colebrook's formula

Dernière mise à jour : 09/04/2024

Formule, appelée parfois formule de Colebrook-White, initialement développée pour calculer les pertes de charge linéaires dans le cas des écoulements en charge ; cette formule permet également d'évaluer le paramètre $ C $ de l'équation de Chézy moyennant certaines hypothèses.

Sommaire

[modifier] Formulation mathématique

Sous sa forme originale, l'équation de Colebrook s'écrit :


$ \frac{1}{\sqrt{λ}} = -2.log\left(\frac{k}{a.R_h}+\frac{b}{R_e.\sqrt{λ}}\right) \quad (1) $


Dans cette relation, $ R_e $ est le nombre de Reynolds :


$ R_e = \dfrac{4.V.R_h}{ν} \quad (2) $


avec :

  • $ λ $ : coefficient de Colebrook (sans dimension) ;
  • $ g $ : accélération de la pesanteur (m/s2) ;
  • $ k $ : rugosité des parois (m) ;
  • $ R_h $ : rayon hydraulique (m) ;
  • $ ν $ : viscosité cinématique du fluide (m2/s) ;
  • $ a $ et $ b $ : coefficients sans dimension (12 < $ a $ < 15 et 0 < $ b $ < 6).

Les pertes de charge linaires se calculent par la relation générale :


$ J = λ.\dfrac{V^2}{8.g.R_h} \quad (3) $

[modifier] Cas des écoulements à surface libre en régime uniforme

Dans le cas d'un écoulement à surface libre, en régime uniforme, la pente de la ligne d'énergie est parallèle à la pente du fond, ce qui implique $ I = J $. On peut donc écrire :


$ I = λ.\dfrac{V^2}{8.g.R_h} \quad\quad \Longrightarrow \quad\quad \dfrac{1}{\sqrt{\lambda}} = \dfrac{V}{\sqrt{8.g.R_h.I}} \quad(4) $


En reportant les expressions (2) et (4) dans la relation (1), on obtient une formulation explicite de $ λ $ :


$ \dfrac{1}{\sqrt{λ}} = -2.log[\frac{k}{a.R_h}+\frac{b.ν}{8.R_h\sqrt{2.g}.\sqrt{R_h.I}}] \quad (5) $


La relation (4) permet également d'écrire :


$ V = \dfrac{1}{\sqrt{λ}}.\sqrt{8.g.R_h.I} = C.\sqrt{R_h.I} \quad(6) $


avec  


$ C = \dfrac{1}{\sqrt{λ}}\sqrt{8.g} \quad(7) $


En reportant la relation (5) dans l'expression (7), on obtient finalement une expression explicite du coefficient $ C $ de Chezy :


$ C = -4\sqrt{2.g}.log \left(\frac{k}{a.R_h}+\frac{b.ν}{8.R_h\sqrt{2.g.R_h.I}}\right) \quad(8) $


[modifier] Lien avec la formule de Manning-Strickler

En élargissant l'application de la formule (9), proposée par Strickler pour le cas des canaux en terre ou avec des fonds sableux et valable pour les écoulements turbulents rugueux, au cas des conduites d'assainissement (Hager, 1999), on peut construire le tableau de la figure 1 établissant un lien entre le coefficient $ K_s $ de la formule de Manning-Strickler et la rugosité $ k $ de la formule de Colebrook.


$ K_s = 26.\left[\frac{1}{k}\right]^{1/6}\quad (9) $


avec :

  • $ k $ : rugosité des parois au sens de Nikuradze (m) ;
  • $ K_s $ : coefficient de Manning-Strickler (m1/3/s).


Figure 1 : Relation entre la rugosité $ k $ en mm de la formule de Colebrook et le coefficient $ K_s $ en m1/3/s de la formule de Manning-Strickler


Cette approximation est relativement correcte, même si la correspondance devrait tenir également compte du rayon hydraulique de la conduite et de la vitesse d'écoulement (donc de la pente), comme le montre la figure 2.


Figure 2 : Relation entre la rugosité $ k $ en mm de la formule de Colebrook et le coefficient $ K_s $ en m1/3/s de la formule de Manning-Strickler en tenant compte du diamètre de la conduite ; Source : Savary ().

[modifier] Choix des paramètres et valeurs conseillées

Les valeurs généralement retenues pour $ a $ et $ b $ sont les suivantes :

  • $ a $ = 14,8
  • $ b $ = 2,51

Le tableau de la figure 3 synthétise des éléments bibliographiques sur le choix de $ k $ dans le cas d'un béton lisse et de $ ν $ :


Figure 3 : Variabilité des valeurs de $ ν $ et de $ k $ (dans le cas d'un béton lisse).

Les valeurs de ces tableaux correspondent à la rugosité réelle des matériaux (taille moyenne des aspérités au sens de Nikuradze) . Dans le cas des conduites d'assainissement la rugosité apparente des parois doit tenir compte, non seulement de la dimension des aspérités, mais également des macro-obstacles à l'écoulement que l'on peut rencontrer dans les systèmes d’assainissement : coudes, chutes, câbles accrochés aux parois, etc. (voir Coefficient de rugosité (HU)). Pour ceci il est nécessaire de prendre en compte une rugosité apparente qui peut être fortement supérieure à la taille des aspérités comme le montre le tableau de la figure 4.


Figure 4 : Valeurs minimales de la rugosité correspondant à la taille des aspérités et valeurs conseillées de rugosité apparente tenant compte des conditions réelles d'écoulement dans les réseaux d'assainissement.

Bibliographie :

  • Carlier, M. (1972) : Hydraulique générale et appliquée ; Eyrolles ; Paris ; 565 p. ; 1972.
  • Lautrich, R. (1971) : Tables et abaques pour le calcul hydraulique des canalisations sous pression, égouts et caniveaux ; Eyrolles ; 1971.
  • Hager, W. H. (1999) : Wastewater hydraulics: theory and practice ; Springer.
  • Savary, P. (non daté) : Manning-Strickler (formule de) ; 4p. ; disponible sur ...
  • Winghart, M. : Cours polycopié de mécanique des fluides et d'hydraulique ; INSA de Lyon - département GCU ; non daté.

Voir aussi : Coefficient de rugosité, Perte de charge.

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