Colebrook (formule de) (HU) : Différence entre versions

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Traduction anglaise : Colebrook's formula

Dernière mise à jour : 09/04/2024

Formule, appelée parfois formule de Colebrook-White, initialement développée pour calculer les pertes de charge linéaires dans le cas des écoulements en charge ; cette formule permet également d'évaluer le paramètre $ C $ de l'équation de Chézy moyennant certaines hypothèses.

Sommaire

1 Formulation mathématique
2 Cas des écoulements à surface libre en régime uniforme
3 Lien avec la formule de Manning-Strickler
4 Choix des paramètres et valeurs conseillées

[modifier] Formulation mathématique

Sous sa forme originale, l'équation de Colebrook s'écrit :

$ \frac{1}{\sqrt{λ}} = -2.log\left(\frac{k}{a.R_h}+\frac{b}{R_e.\sqrt{λ}}\right) \quad (1) $

Dans cette relation, $ R_e $ est le nombre de Reynolds :

$ R_e = \dfrac{4.V.R_h}{ν} \quad (2) $

avec :

$ λ $ : coefficient de Colebrook (sans dimension) ;
$ g $ : accélération de la pesanteur (m/s²) ;
$ k $ : rugosité des parois (m) ;
$ R_h $ : rayon hydraulique (m) ;
$ ν $ : viscosité cinématique du fluide (m²/s) ;
$ a $ et $ b $ : coefficients sans dimension (12 < $ a $ < 15 et 0 < $ b $ < 6).

Les pertes de charge linaires se calculent par la relation générale :

$ J = λ.\dfrac{V^2}{8.g.R_h} \quad (3) $

[modifier] Cas des écoulements à surface libre en régime uniforme

Dans le cas d'un écoulement à surface libre, en régime uniforme, la pente de la ligne d'énergie est parallèle à la pente du fond, ce qui implique $ I = J $. On peut donc écrire :

$ I = λ.\dfrac{V^2}{8.g.R_h} \quad\quad \Longrightarrow \quad\quad \dfrac{1}{\sqrt{\lambda}} = \dfrac{V}{\sqrt{8.g.R_h.I}} \quad(4) $

En reportant les expressions (2) et (4) dans la relation (1), on obtient une formulation explicite de $ λ $ :

$ \dfrac{1}{\sqrt{λ}} = -2.log[\frac{k}{a.R_h}+\frac{b.ν}{8.R_h\sqrt{2.g}.\sqrt{R_h.I}}] \quad (5) $

La relation (4) permet également d'écrire :

$ V = \dfrac{1}{\sqrt{λ}}.\sqrt{8.g.R_h.I} = C.\sqrt{R_h.I} \quad(6) $

avec

$ C = \dfrac{1}{\sqrt{λ}}\sqrt{8.g} \quad(7) $

En reportant la relation (5) dans l'expression (7), on obtient finalement une expression explicite du coefficient $ C $ de Chezy :

$ C = -4\sqrt{2.g}.log \left(\frac{k}{a.R_h}+\frac{b.ν}{8.R_h\sqrt{2.g.R_h.I}}\right) \quad(8) $

[modifier] Lien avec la formule de Manning-Strickler

En élargissant l'application de la formule (9), proposée par Strickler pour le cas des canaux en terre ou avec des fonds sableux et valable pour les écoulements turbulents rugueux, au cas des conduites d'assainissement (Hager, 1999), on peut construire le tableau de la figure 1 établissant un lien entre le coefficient $ K_s $ de la formule de Manning-Strickler et la rugosité $ k $ de la formule de Colebrook.

$ K_s = 26.\left[\frac{1}{k}\right]^{1/6}\quad (9) $

avec :

$ k $ : rugosité des parois au sens de Nikuradze (m) ;
$ K_s $ : coefficient de Manning-Strickler (m^1/3/s).

Figure 1 : Relation entre la rugosité $ k $ en mm de la formule de Colebrook et le coefficient $ K_s $ en m^1/3/s de la formule de Manning-Strickler

Cette approximation est relativement correcte, même si la correspondance devrait tenir également compte du rayon hydraulique de la conduite et de la vitesse d'écoulement (donc de la pente), comme le montre la figure 2.

Figure 2 : Relation entre la rugosité $ k $ en mm de la formule de Colebrook et le coefficient $ K_s $ en m^1/3/s de la formule de Manning-Strickler en tenant compte du diamètre de la conduite ; Source : Savary ().

[modifier] Choix des paramètres et valeurs conseillées

Les valeurs généralement retenues pour $ a $ et $ b $ sont les suivantes :

$ a $ = 14,8
$ b $ = 2,51

Le tableau de la figure 3 synthétise des éléments bibliographiques sur le choix de $ k $ dans le cas d'un béton lisse et de $ ν $ :

Figure 3 : Variabilité des valeurs de $ ν $ et de $ k $ (dans le cas d'un béton lisse).

Les valeurs de ces tableaux correspondent à la rugosité réelle des matériaux (taille moyenne des aspérités au sens de Nikuradze) . Dans le cas des conduites d'assainissement la rugosité apparente des parois doit tenir compte, non seulement de la dimension des aspérités, mais également des macro-obstacles à l'écoulement que l'on peut rencontrer dans les systèmes d’assainissement : coudes, chutes, câbles accrochés aux parois, etc. (voir Coefficient de rugosité (HU)). Pour ceci il est nécessaire de prendre en compte une rugosité apparente qui peut être fortement supérieure à la taille des aspérités comme le montre le tableau de la figure 4.

Figure 4 : Valeurs minimales de la rugosité correspondant à la taille des aspérités et valeurs conseillées de rugosité apparente tenant compte des conditions réelles d'écoulement dans les réseaux d'assainissement.

Bibliographie :

Carlier, M. (1972) : Hydraulique générale et appliquée ; Eyrolles ; Paris ; 565 p. ; 1972.
Lautrich, R. (1971) : Tables et abaques pour le calcul hydraulique des canalisations sous pression, égouts et caniveaux ; Eyrolles ; 1971.
Hager, W. H. (1999) : Wastewater hydraulics: theory and practice ; Springer.
Savary, P. (non daté) : Manning-Strickler (formule de) ; 4p. ; disponible sur ...
Winghart, M. : Cours polycopié de mécanique des fluides et d'hydraulique ; INSA de Lyon - département GCU ; non daté.

Voir aussi : Coefficient de rugosité, Perte de charge.

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 ''<u>Traduction anglaise</u> : Colebrook's formula''
-<u>Dernière mise à jour</u> : 29/03/2022
+<u>Dernière mise à jour</u> : 09/04/2024
-Formule, appelée parfois formule de Colebrook-White, initialement développée pour calculer les [[Perte de charge linéaire (HU)|pertes de charge linéaires]] dans le cas des écoulements en charge ; cette formule permet également d'évaluer le paramètre <math>C</math> de l'équation de [[Chézy (formule de) (HU)|Chézy]].
+Formule, appelée parfois formule de Colebrook-White, initialement développée pour calculer les [[Perte de charge linéaire (HU)|pertes de charge linéaires]] dans le cas des écoulements en charge ; cette formule permet également d'évaluer le paramètre <math>C</math> de l'équation de [[Chézy (formule de) (HU)|Chézy]] moyennant certaines hypothèses.
 ==Formulation mathématique==
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 avec :
 * <math>λ</math> : coefficient de Colebrook (sans dimension) ;
 * <math>g</math> : accélération de la pesanteur (m/s<sup>2</sup>) ;
@@ Ligne 26 : / Ligne 25 : @@
 * <math>R_h</math> : [[Rayon hydraulique (HU)|rayon hydraulique]] (m) ;
 * <math>ν</math> : [[Viscosité cinématique (HU)|viscosité cinématique]] du fluide (m<sup>2</sup>/s) ;
-* <math>a</math> et <math>b</math> :   coefficients sans dimension (12 < <math>a</math> < 15 et 0 < <math>b</math> < 6).
+* <math>a</math> et <math>b</math> : coefficients sans dimension (12 < <math>a</math> < 15 et 0 < <math>b</math> < 6).
 Les pertes de charge linaires se calculent par la relation générale :
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 <center><math>J = λ.\dfrac{V^2}{8.g.R_h} \quad (3)</math> </center>
+==Cas des écoulements à surface libre en régime uniforme==
-Pour un écoulement à surface libre, en régime uniforme, la pente de la ligne d'énergie est parallèle à la pente du fond, ce qui implique <math>I = J</math>. On peut donc écrire :
+Dans le cas d'un écoulement à surface libre, en régime uniforme, la pente de la [[Ligne d'énergie (HU)|ligne d'énergie]] est parallèle à la pente du fond, ce qui implique <math>I = J</math>. On peut donc écrire :
 <center><math>I = λ.\dfrac{V^2}{8.g.R_h} \quad\quad \Longrightarrow \quad\quad \dfrac{1}{\sqrt{\lambda}} = \dfrac{V}{\sqrt{8.g.R_h.I}} \quad(4)</math> </center>
@@ Ligne 51 : / Ligne 50 : @@
-<center><math>V = \dfrac{1}{\sqrt{λ}}.\sqrt{8.gR_h.I} = C.\sqrt{R_h.I} \quad(6)</math> </center>
+<center><math>V = \dfrac{1}{\sqrt{λ}}.\sqrt{8.g.R_h.I} = C.\sqrt{R_h.I} \quad(6)</math> </center>
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 En reportant la relation (5) dans l'expression (7), on obtient finalement une expression explicite du coefficient <math>C</math> de Chezy :
 <center><math>C = -4\sqrt{2.g}.log \left(\frac{k}{a.R_h}+\frac{b.ν}{8.R_h\sqrt{2.g.R_h.I}}\right) \quad(8)</math></center>
-==Choix des paramètres==
-Les valeurs généralement retenues pour <math>a</math> et <math>b</math> sont les suivantes :
+==Lien avec la formule de Manning-Strickler==
-* <math>a</math> = 14,8
+En élargissant l'application de la formule (9), proposée par Strickler pour le cas des canaux en terre ou avec des fonds sableux et valable pour les écoulements turbulents rugueux, au cas des conduites d'assainissement (Hager, 1999), on peut construire le tableau de la ''figure 1'' établissant un lien entre le coefficient <math>K_s</math> de la [[Manning-Strickler (formule de) (HU)|formule de Manning-Strickler]] et la rugosité <math>k</math> de la formule de Colebrook.
-* <math>b</math> = 2,51
-Le tableau suivant donne des indications sur le choix de <math>k</math> et  :
+<center><math>K_s = 26.\left[\frac{1}{k}\right]^{1/6}\quad (9)</math></center>
-[[File:colebrook 2.JPG|400px|center|thumb|<center>''Valeurs indicatives pour le choix de <math>ν</math> et <math>k</math>.''</center>]]
+avec :
+* <math>k</math> : rugosité des parois au sens de Nikuradze (m) ;
+* <math>K_s</math> : coefficient de Manning-Strickler (m<sup>1/3</sup>/s).
-Généralement une valeur de <math>k</math> comprise entre 1,5 et 3 mm est acceptable pour des conduites en bon état non encombrées. Il est important de préciser que la [[Rugosité (HU)|rugosité]] des parois doit  tenir compte, non seulement de la dimension des aspérités, mais également des macro-obstacles à l'écoulement que l'on peut rencontrer dans les systèmes d’assainissement : coudes, chutes, câbles accrochés aux parois, etc.
-==Lien avec la formule de Manning-Strickler==
+[[File:colebrook_manning1.JPG|600px|center|thumb|<center>''<u>Figure 1</u> : Relation entre la rugosité <math>k</math> en mm de la formule de Colebrook et le coefficient <math>K_s</math> en m<sup>1/3</sup>/s de la formule de Manning-Strickler''</center>]]
-En élargissant l'application de la formule (9), proposée par Strickler pour le cas des canaux en terre ou avec des fonds sableux et valable pour les écoulements turbulents rugueux, au cas des conduites d'assainissement (Hager, 1999), on peut construire le tableau de la figure 1 établissant un lien entre le coefficient <math>Ks</math> de la [[Manning-Strickler (formule de) (HU)|formule de Manning-Strickler]] et la rugosité <math>k</math> de la formule de Colebrook.
+Cette approximation est relativement correcte, même si la correspondance devrait tenir également compte du rayon hydraulique de la conduite et de la vitesse d'écoulement (donc de la pente), comme le montre la ''figure 2''.
-<center><math>K_s = 26.\left[\frac{1}{k}\right]^{1/6}\quad (9)</math></center>
-avec :
+[[File:colebrook_manning3.JPG|800px|center|thumb|<center>''<u>Figure 2</u> : Relation entre la rugosité <math>k</math> en mm de la formule de Colebrook et le coefficient <math>K_s</math> en m<sup>1/3</sup>/s de la formule de Manning-Strickler en tenant compte du diamètre de la conduite ; <u>Source</u> : Savary ().''</center>]]
-* <math>k</math> : rugosité des parois au sens de Nikuradze (m) ;
-* <math>Ks</math> : coefficient de Manning-Strickler (m<sup>1/3</sup>/s).
+==Choix des paramètres et valeurs conseillées==
+Les valeurs généralement retenues pour <math>a</math> et <math>b</math> sont les suivantes :
+* <math>a</math> = 14,8
+* <math>b</math> = 2,51
+Le tableau de la ''figure 3'' synthétise des éléments bibliographiques sur le choix de <math>k</math> dans le cas d'un béton lisse et de <math>ν</math> :
+[[File:colebrook_manning2.JPG|600px|center|thumb|<center>''<u>Figure 3</u> : Variabilité des valeurs de <math>ν</math> et de <math>k</math> (dans le cas d'un béton lisse).''</center>]]
+Les valeurs de ces tableaux correspondent à la rugosité réelle des matériaux (taille moyenne des aspérités au sens de Nikuradze) . Dans le cas des conduites d'assainissement la rugosité apparente des parois doit tenir compte, non seulement de la dimension des aspérités, mais également des macro-obstacles à l'écoulement que l'on peut rencontrer dans les systèmes d’assainissement : coudes, chutes, câbles accrochés aux parois, etc. (voir [[Coefficient de rugosité (HU)]]). Pour ceci il est nécessaire de prendre en compte une rugosité apparente qui peut être fortement supérieure à la taille des aspérités comme le montre le tableau de la ''figure 4''.
-[[File:correspondance colebrook-manning.png|800px|center|thumb|<center>''<u>Figure 1</u> : Relation entre la rugosité <math>k</math> en mm de la formule de Colebrook et le coefficient <math>Ks</math> en m<sup>1/3</sup>/s de la formule de Manning-Strickler''</center>]]
+[[File:Colebrook1.JPG|600px|center|thumb|<center>''<u>Figure 4</u> : Valeurs minimales de la rugosité correspondant à la taille des aspérités et valeurs conseillées de rugosité apparente tenant compte des conditions réelles d'écoulement dans les réseaux d'assainissement.''</center>]]
 <u>Bibliographie</u> :
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 * Lautrich, R. (1971) : Tables et abaques pour le calcul hydraulique des canalisations sous pression, égouts et caniveaux ; Eyrolles ; 1971.
 * Hager, W. H. (1999) : ''Wastewater hydraulics: theory and practice'' ; Springer.
+* Savary, P. (non daté) : Manning-Strickler (formule de) ; 4p. ; disponible sur ...
 * Winghart, M. : Cours polycopié de mécanique des fluides et d'hydraulique ; INSA de Lyon - département GCU ; non daté.