Colebrook (formule de) (HU) : Différence entre versions

Version du 28 mars 2022 à 18:14

Traduction anglaise : Colebrook's formula

Dernière mise à jour : 27/03/2022

Formule, appelée parfois formule de Colebrook-White, initialement développée pour calculer les pertes de charge linéaires dans le cas des écoulements en charge ; cette formule permet également d'évaluer le paramètre $ C $ de l'équation de Chézy.

Formulation mathématique

Sous sa forme originale, l'équation de Colebrook s'écrit :

$ \frac{1}{\sqrt{λ}} = -2.log\left(\frac{k}{a.R_h}+\frac{b}{R_e.\sqrt{λ}}\right) \quad (1) $

Dans cette relation, $ R_e $ est le nombre de Reynolds :

$ R_e = \dfrac{4.V.R_h}{ν} \quad (2) $

avec :

$ λ $ : coefficient de Colebrook (sans dimension) ;
$ g $ : accélération de la pesanteur (m/s²) ;
$ k $ : rugosité des parois (m) ;
$ R_h $ : rayon hydraulique (m) ;
$ ν $ : viscosité cinématique du fluide (m²/s) ;
$ a $ et $ b $ : coefficients sans dimension (12 < $ a $ < 15 et 0 < $ b $ < 6).

Les pertes de charge linaires se calculent par la relation générale :

$ J = λ.\dfrac{V^2}{8.g.R_h} \quad (3) $

Pour un écoulement à surface libre, en régime uniforme, la pente de la ligne d'énergie est parallèle à la pente du fond, ce qui implique $ I = J $. On peut donc écrire :

$ I = λ.\dfrac{V^2}{8.g.R_h} \quad\quad \Longrightarrow \quad\quad \dfrac{1}{\sqrt{\lambda}} = \dfrac{V}{\sqrt{8.g.R_h.I}} \quad(4) $

En reportant les expressions (2) et (4) dans la relation (1), on obtient une formulation explicite de $ λ $ :

$ \dfrac{1}{\sqrt{λ}} = -2.log[\frac{k}{a.R_h}+\frac{b.ν}{8.R_h\sqrt{2.g}.\sqrt{R_h.I}}] \quad (5) $

La relation (4) permet également d'écrire :

$ V = \dfrac{1}{\sqrt{λ}}.\sqrt{8.gR_h.I} = C.\sqrt{R_h.I} \quad(6) $

avec

$ C = \dfrac{1}{\sqrt{λ}}\sqrt{8.g} \quad(7) $

En reportant la relation (5) dans l'expression (7), on obtient finalement une expression explicite du coefficient $ C $ de Chezy :

$ C = -4\sqrt{2.g}.log \left(\frac{k}{a.R_h}+\frac{b.ν}{8.R_h\sqrt{2.g.R_h.I}}\right) \quad(8) $

Les valeurs généralement retenues pour $ a $ et $ b $ sont les suivantes :

$ a $ = 14,8
$ b $ = 2,51

Le tableau suivant donne des indications sur le choix de $ k $ et :

Valeurs indicatives pour le choix de $ ν $ et $ k $.

Il est important de préciser que la rugosité des parois doit tenir compte, non seulement de la dimension des aspérités, mais également des macro-obstacles à l'écoulement que l'on peut rencontrer dans les systèmes d’assainissement : coudes, chutes, câbles accrochés aux parois, etc.

Bibliographie :

Carlier, M. (1972) : Hydraulique générale et appliquée ; Eyrolles ; Paris ; 565 p. ; 1972.
Lautrich, R. (1971) : Tables et abaques pour le calcul hydraulique des canalisations sous pression, égouts et caniveaux ; Eyrolles ; 1971.
Winghart, M. : Cours polycopié de mécanique des fluides et d'hydraulique ; INSA de Lyon - département GCU ; non daté.

Voir aussi : Coefficient de rugosité, Perte de charge.

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 ''<u>Traduction anglaise</u> : Colebrook's formula''
-<u>Dernière mise à jour</u> : 16/06/2021
+<u>Dernière mise à jour</u> : 27/03/2022
-Formule, appelée parfois formule de Colebrook-White, initialement développée pour calculer les [[Perte de charge linéaire (HU)|pertes de charge linéaires]] dans le cas des écoulements en charge. Cette formule permet également d'évaluer le paramètre <math>C</math> de l'équation de [[Chézy (formule de) (HU)|Chézy]].
+Formule, appelée parfois formule de Colebrook-White, initialement développée pour calculer les [[Perte de charge linéaire (HU)|pertes de charge linéaires]] dans le cas des écoulements en charge ; cette formule permet également d'évaluer le paramètre <math>C</math> de l'équation de [[Chézy (formule de) (HU)|Chézy]].
+==Formulation mathématique==
 Sous sa forme originale, l'équation de [[Colebrook Cyril Frank (1910-1997) (HU)|Colebrook]] s'écrit :
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 * <math>λ</math> : coefficient de Colebrook (sans dimension) ;
-* <math>g</math> : accélération de la pesanteur (<math>m/s^2</math>) ;
+* <math>g</math> : accélération de la pesanteur (m/s<sup>2</sup>) ;
-* <math>k</math> : rugosité des parois (<math>m</math>) ;
+* <math>k</math> : rugosité des parois (m) ;
-* <math>R_h</math> : [[Rayon hydraulique (HU)|rayon hydraulique]] (<math>m</math>) ;
+* <math>R_h</math> : [[Rayon hydraulique (HU)|rayon hydraulique]] (m) ;
-* <math>ν</math> : [[Viscosité cinématique (HU)|viscosité cinématique]] du fluide (<math>m^2/s</math>) ;
+* <math>ν</math> : [[Viscosité cinématique (HU)|viscosité cinématique]] du fluide (m<sup>2</sup>/s) ;
 * <math>a</math> et <math>b</math> :   coefficients sans dimension (12 < <math>a</math> < 15 et 0 < <math>b</math> < 6).
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-Les valeurs généralement retenues pour <math>formule</math>a et <math>b</math> sont les suivantes :
+Les valeurs généralement retenues pour <math>a</math> et <math>b</math> sont les suivantes :
 * <math>a</math> = 14,8
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-Il est important de préciser que la [[Rugosité (HU)|rugosité]] des parois doit  tenir compte, non seulement de la dimension des aspérités, mais également des macro-obstacles à l'écoulement que l'on peut rencontrer dans les systèmes d’assainissement : coudes, chutes, câbles accrochés aux parois, etc..
+Il est important de préciser que la [[Rugosité (HU)|rugosité]] des parois doit  tenir compte, non seulement de la dimension des aspérités, mais également des macro-obstacles à l'écoulement que l'on peut rencontrer dans les systèmes d’assainissement : coudes, chutes, câbles accrochés aux parois, etc.
 <u>Bibliographie</u> :

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