Colebrook (formule de) (HU) : Différence entre versions

Version du 14 décembre 2022 à 17:41

Traduction anglaise : Colebrook's formula

Dernière mise à jour : 14/12/2022

Formule, appelée parfois formule de Colebrook-White, initialement développée pour calculer les pertes de charge linéaires dans le cas des écoulements en charge ; cette formule permet également d'évaluer le paramètre $ C $ de l'équation de Chézy moyennant certaines hypothèses.

Sommaire

1 Formulation mathématique
2 Cas des écoulements à surface libre en régime uniforme
3 Choix des paramètres et valeurs conseillées
4 Lien avec la formule de Manning-Strickler

Formulation mathématique

Sous sa forme originale, l'équation de Colebrook s'écrit :

$ \frac{1}{\sqrt{λ}} = -2.log\left(\frac{k}{a.R_h}+\frac{b}{R_e.\sqrt{λ}}\right) \quad (1) $

Dans cette relation, $ R_e $ est le nombre de Reynolds :

$ R_e = \dfrac{4.V.R_h}{ν} \quad (2) $

avec :

$ λ $ : coefficient de Colebrook (sans dimension) ;
$ g $ : accélération de la pesanteur (m/s²) ;
$ k $ : rugosité des parois (m) ;
$ R_h $ : rayon hydraulique (m) ;
$ ν $ : viscosité cinématique du fluide (m²/s) ;
$ a $ et $ b $ : coefficients sans dimension (12 < $ a $ < 15 et 0 < $ b $ < 6).

Les pertes de charge linaires se calculent par la relation générale :

$ J = λ.\dfrac{V^2}{8.g.R_h} \quad (3) $

Cas des écoulements à surface libre en régime uniforme

Dans le cas d'un écoulement à surface libre, en régime uniforme, la pente de la ligne d'énergie est parallèle à la pente du fond, ce qui implique $ I = J $. On peut donc écrire :

$ I = λ.\dfrac{V^2}{8.g.R_h} \quad\quad \Longrightarrow \quad\quad \dfrac{1}{\sqrt{\lambda}} = \dfrac{V}{\sqrt{8.g.R_h.I}} \quad(4) $

En reportant les expressions (2) et (4) dans la relation (1), on obtient une formulation explicite de $ λ $ :

$ \dfrac{1}{\sqrt{λ}} = -2.log[\frac{k}{a.R_h}+\frac{b.ν}{8.R_h\sqrt{2.g}.\sqrt{R_h.I}}] \quad (5) $

La relation (4) permet également d'écrire :

$ V = \dfrac{1}{\sqrt{λ}}.\sqrt{8.g.R_h.I} = C.\sqrt{R_h.I} \quad(6) $

avec

$ C = \dfrac{1}{\sqrt{λ}}\sqrt{8.g} \quad(7) $

En reportant la relation (5) dans l'expression (7), on obtient finalement une expression explicite du coefficient $ C $ de Chezy :

$ C = -4\sqrt{2.g}.log \left(\frac{k}{a.R_h}+\frac{b.ν}{8.R_h\sqrt{2.g.R_h.I}}\right) \quad(8) $

Choix des paramètres et valeurs conseillées

Les valeurs généralement retenues pour $ a $ et $ b $ sont les suivantes :

$ a $ = 14,8
$ b $ = 2,51

Le tableau de la figure 1 donne des indications sur le choix de $ k $ et de $ ν $ :

Figure 1 : Valeurs indicatives pour le choix de $ ν $ et $ k $.

Généralement les conduites en béton en bon état non encombrées présentent des valeurs de $ k $ comprises entre 1,5 et 3 mm. Il est cependant important de préciser que la rugosité apparente des parois doit tenir compte, non seulement de la dimension des aspérités, mais également des macro-obstacles à l'écoulement que l'on peut rencontrer dans les systèmes d’assainissement : coudes, chutes, câbles accrochés aux parois, etc. (voir Coefficient de rugosité (HU)). Pour ceci il est nécessaire de prendre en compte une rugosité apparente

Lien avec la formule de Manning-Strickler

En élargissant l'application de la formule (9), proposée par Strickler pour le cas des canaux en terre ou avec des fonds sableux et valable pour les écoulements turbulents rugueux, au cas des conduites d'assainissement (Hager, 1999), on peut construire le tableau de la figure 2 établissant un lien entre le coefficient $ K_s $ de la formule de Manning-Strickler et la rugosité $ k $ de la formule de Colebrook.

$ K_s = 26.\left[\frac{1}{k}\right]^{1/6}\quad (9) $

avec :

$ k $ : rugosité des parois au sens de Nikuradze (m) ;
$ K_s $ : coefficient de Manning-Strickler (m^1/3/s).

Figure 2 : Relation entre la rugosité $ k $ en mm de la formule de Colebrook et le coefficient $ K_s $ en m^1/3/s de la formule de Manning-Strickler

Cette approximation est relativement correcte, même si la correspondance devrait tenir également compte du rayon hydraulique de la conduite et de la vitesse d'écoulement (donc de la pente), comme le montre la figure 3.

Figure 3 : Relation entre la rugosité $ k $ en mm de la formule de Colebrook et le coefficient $ K_s $ en m^1/3/s de la formule de Manning-Strickler en tenant compte du diamètre de la conduite ; Source : Savary ().

Bibliographie :

Carlier, M. (1972) : Hydraulique générale et appliquée ; Eyrolles ; Paris ; 565 p. ; 1972.
Lautrich, R. (1971) : Tables et abaques pour le calcul hydraulique des canalisations sous pression, égouts et caniveaux ; Eyrolles ; 1971.
Hager, W. H. (1999) : Wastewater hydraulics: theory and practice ; Springer.
Savary, P. (non daté) : Manning-Strickler (formule de) ; 4p. ; disponible sur ...
Winghart, M. : Cours polycopié de mécanique des fluides et d'hydraulique ; INSA de Lyon - département GCU ; non daté.

Voir aussi : Coefficient de rugosité, Perte de charge.

@@ Ligne 65 : / Ligne 65 : @@
-==Choix des paramètres==
+==Choix des paramètres et valeurs conseillées==
 Les valeurs généralement retenues pour <math>a</math> et <math>b</math> sont les suivantes :
@@ Ligne 77 : / Ligne 77 : @@
 [[File:colebrook_manning2.JPG|600px|center|thumb|<center>''<u>Figure 1</u> : Valeurs indicatives pour le choix de <math>ν</math> et <math>k</math>.''</center>]]
 Généralement les conduites en béton en bon état non encombrées présentent des valeurs de <math>k</math> comprises entre 1,5 et 3 mm. Il est cependant important de préciser que la [[Rugosité (HU)|rugosité]] apparente des parois doit tenir compte, non seulement de la dimension des aspérités, mais également des macro-obstacles à l'écoulement que l'on peut rencontrer dans les systèmes d’assainissement : coudes, chutes, câbles accrochés aux parois, etc. (voir [[Coefficient de rugosité (HU)]]). Pour ceci il est nécessaire de prendre en compte une rugosité apparente
 ==Lien avec la formule de Manning-Strickler==