Utilisateur:Jean-Michel Tanguy/SujetENTPE2023/B33 : Différence entre versions

Version du 6 mars 2023 à 01:04

Sommaire

1 Contexte
2 Modèle de Berkhoff et résolution analytique
3 Résolution par homotopie
4 Étude des différents cas
5 Cas n°1
6 Cas n°2

Contexte

Modèle de Berkhoff et résolution analytique

Résolution par homotopie

Étude des différents cas

Cas n°1

On étudie le cas du canal monodimensionnel plat de longueur L.

On suppose une entrée par l’aval ( en $ x=0 $) d’une onde qui vérifie la condition de Dirichlet donc de fréquence unitaire $ \phi(x=0)=1 $ et une sortie libre en amont (en $ x=L $) qui vérifie la condition de Robin $ \phi_x(x=L)=ik\phi(x=L) $.

Résolution analytique

Comme vu précédemment l’équation du modèle de Berkhoff en 1D devient alors:

$ \phi_{xx}+k^2\phi=0 $ équation différentielle du deuxième ordre.

On a alors pour solution: $ \phi(x)={K_1}e^{ikx}+{K_2}e^{-ikx} $ avec $ ({K_1},{K_2}) \in \mathbb{R} $

Avec les conditions aux limites imposées on obtient,

$ \phi(x=0)=K_1+K_2=1 \Rightarrow K_2= 1-K_1 $

$ \phi_x(x=L)=ik\phi(x=L) $ $ \Rightarrow {ik}({K_1}e^{ikL}-{K_2}e^{-ikL}) = {ik}({K_1}e^{ikx} + {K_2}e^{-ikx}) $

Donc $ K_2 =0 $ et $ K_1=1 $

On obtient alors une première solution du potentiel: $ \phi(x)=e^{ikx} $

Résolution par homotopie

La relation d'homotopie s'écrit en choisissant la dérivée seconde comme fonction auxiliaire linéaire et en partant d'une solution initiale nulle:

$ (1-p)\phi_{xx}+p(\phi_{xx}+k^2\phi)=0 $

En injectant la décomposition en série entière $ \phi(x,p)=\phi_0(x)+p\phi_1(x)+p^2\phi_2(x)+p^3\phi_3(x)+... $ et sa seconde dérivée:

$ \phi_{0,xx}(x)+p\phi_{1,xx}(x)+p^2\phi_{2,xx}(x)+p^3\phi_{3,xx}(x)+... $

Nous obtenons:

$ (1-p)(\phi_{0,xx}(x)+p\phi_{1,xx}(x)+p^2\phi_{2,xx}(x)+p^3\phi_{3,xx}(x)+...)+p[\phi_{0,xx}(x)+p\phi_{1,xx}(x)+p^2\phi_{2,xx}(x)+p^3\phi_{3,xx}(x)+...+k^2(\phi_0(x)+p\phi_0(x)+p^2\phi_2(x)+p^3\phi_3(x)+...)]=0 $

Il faut ensuite simplifier et écrire cette relation suivant les puissances de p croissantes. Cette relation étant valable quel que soit p, tous les coefficients devant les puissances de p sont donc nuls.

- Ordre 0 :

$ \phi_{0,xx}=0 $ soit $ \phi_0=Ax+B $.

Introduisant les conditions limites suivantes: $ \phi_0^0=1 $ et $ \phi_{0,x}^L=ik\phi_{0}^L $, il vient :

$ \phi_0=1+\dfrac{ik}{1-ikL}x $.

- Ordre 1 :

$ \phi_{1,xx}-\phi_{0,xx}+\phi_{0,xx}+k^2\phi_0=0 $ soit $ \phi_{1}=-k^2\int\phi_0dxdx +Ax+B $.

Introduisant les conditions limites suivantes: $ \phi_1^0=0 $ et $ \phi_{1,x}^L=ik\phi_{1}^L $, il vient : $ \phi_1=- \dfrac{k^2L(k^2L^2+3ikL-3)} {3(1-ikL)^2}x-k^2\left (\dfrac{ik} {6(1-ikL)}x^3+\dfrac{1} {2}x^2 \right ) $

- Ordre 2 :

$ k=\dfrac{1} {100} $ (nombre d'onde en m^-1), $ H=40 $ (profondeur en m), $ c=\sqrt{gH} $ (célérité de l'onde en m/s), $ \lambda=\dfrac{2\pi}{k} $ (longueur d'onde en m), $ L=2\lambda $ (longueur du domaine en m).

Cas n°2

On étudie un canal monodimensionnel plat de longueur L avec entrée par l'aval d'une onde de fréquence unitaire et une condition de flux aval $ \phi_x=ik(2-\phi) $ et réflexion totale amont $ \phi_x=0 $ .

Résolution analytique

On obtient la même équation du modèle de Berkhoff vue dans le cas n°1, $ \phi_{xx}+k^2\phi=0 $ $ \Rightarrow \phi(x)={K_1}e^{ikx}+{K_2}e^{-ikx} $ avec $ ({K_1},{K_2}) \in \mathbb{R} $

Seules les conditions aux limites changent,

$ \phi(x=0)=K_1+K_2= ik(2-\phi) \Rightarrow K_2 = ik(2-\phi) - K_1 $

$ \phi_x(x=L)=0 $ $ \Rightarrow {ik}({K_1}e^{ikL}-{K_2}e^{-ikL}) = 0 $ d'où

Résolution par homotopie

@@ Ligne 1 : / Ligne 1 : @@
-Bonjour,
+====  Contexte ====
-Vous voici rendu dans votre espace.
-Nous vous recommandons de prendre en mains l'outil WIKHYDRO assez rapidement de manière à pouvoir commencer à écrire en LATEX, entrer des images et des vidéos.
+==== Modèle de Berkhoff et résolution analytique ====
-Cette page fait partie intégrante du site du ministère de l'écologie. Elle est donc visible par tout internaute.Prenez-donc soin d'elle et faites en sorte qu'elle soit agréable à lire.
-Vous trouverez un [[Tutoriel]] et un [https://fr.wikipedia.org/wiki/Aide:Formules_TeX didacticiel LATEX]
+==== Résolution par homotopie====
-Ce n'est pas une Mission Impossible, mais vous pouvez effacer cette introduction après lecture
+==== Étude des différents cas====
-Jean-Michel Tanguy
+== Cas n°1 ==
+On étudie le cas du canal monodimensionnel plat de longueur L.
+On suppose une entrée par l’aval ( en <math> x=0 </math>) d’une onde qui vérifie la condition de Dirichlet donc de fréquence unitaire <math> \phi(x=0)=1</math>  et une sortie libre en amont (en <math> x=L</math>) qui vérifie la condition de Robin <math> \phi_x(x=L)=ik\phi(x=L) </math>.
+* Résolution analytique
+Comme vu précédemment l’équation du modèle de Berkhoff en 1D devient alors:
+<math> \phi_{xx}+k^2\phi=0 </math> équation différentielle du deuxième ordre.
+On a alors pour solution:
+<math> \phi(x)={K_1}e^{ikx}+{K_2}e^{-ikx} </math>
+avec <math>({K_1},{K_2}) \in \mathbb{R}  </math>
+Avec les conditions aux limites imposées on obtient,
+<math> \phi(x=0)=K_1+K_2=1 \Rightarrow K_2= 1-K_1 </math>
+<math> \phi_x(x=L)=ik\phi(x=L) </math>
+<math> \Rightarrow {ik}({K_1}e^{ikL}-{K_2}e^{-ikL})  = {ik}({K_1}e^{ikx} + {K_2}e^{-ikx}) </math>
+Donc <math> K_2 =0 </math> et <math> K_1=1 </math>
+On obtient alors une première solution du potentiel: <math>\phi(x)=e^{ikx} </math>
+* Résolution par homotopie
+La relation d'homotopie s'écrit en choisissant la dérivée seconde comme fonction auxiliaire linéaire et en partant d'une solution initiale nulle:
+<math> (1-p)\phi_{xx}+p(\phi_{xx}+k^2\phi)=0 </math>
+En injectant la décomposition en série entière <math>\phi(x,p)=\phi_0(x)+p\phi_1(x)+p^2\phi_2(x)+p^3\phi_3(x)+...</math> et sa seconde dérivée:
+<math>\phi_{0,xx}(x)+p\phi_{1,xx}(x)+p^2\phi_{2,xx}(x)+p^3\phi_{3,xx}(x)+...</math>
+Nous obtenons:
+<math> (1-p)(\phi_{0,xx}(x)+p\phi_{1,xx}(x)+p^2\phi_{2,xx}(x)+p^3\phi_{3,xx}(x)+...)+p[\phi_{0,xx}(x)+p\phi_{1,xx}(x)+p^2\phi_{2,xx}(x)+p^3\phi_{3,xx}(x)+...+k^2(\phi_0(x)+p\phi_0(x)+p^2\phi_2(x)+p^3\phi_3(x)+...)]=0 </math>
+Il faut ensuite simplifier et écrire cette relation suivant les puissances de p croissantes. Cette relation étant valable quel que soit p, tous les coefficients devant les puissances de p sont donc nuls.
+** ''Ordre 0 :''
+<math>\phi_{0,xx}=0</math> soit <math>\phi_0=Ax+B</math>.
+Introduisant les conditions limites suivantes: <math>\phi_0^0=1</math> et <math>\phi_{0,x}^L=ik\phi_{0}^L</math>, il vient :
+<math>\phi_0=1+\dfrac{ik}{1-ikL}x</math>.
+** ''Ordre 1 :''
+<math>\phi_{1,xx}-\phi_{0,xx}+\phi_{0,xx}+k^2\phi_0=0</math> soit <math>\phi_{1}=-k^2\int\phi_0dxdx +Ax+B</math>.
+Introduisant les conditions limites suivantes: <math>\phi_1^0=0</math> et <math>\phi_{1,x}^L=ik\phi_{1}^L</math>,
+il vient : <math>\phi_1=- \dfrac{k^2L(k^2L^2+3ikL-3)} {3(1-ikL)^2}x-k^2\left (\dfrac{ik} {6(1-ikL)}x^3+\dfrac{1} {2}x^2 \right )</math>
+** ''Ordre 2 :''
+<math>k=\dfrac{1} {100}</math> (nombre d'onde en m<sup>-1</sup>), <math>H=40</math> (profondeur en m),
+<math>c=\sqrt{gH}</math> (célérité de l'onde en m/s),
+<math>\lambda=\dfrac{2\pi}{k}</math> (longueur d'onde en m), <math>L=2\lambda</math> (longueur du domaine en m).
+== Cas n°2 ==
+On étudie un canal monodimensionnel plat de longueur L avec entrée par l'aval d'une onde de fréquence unitaire et une condition de flux aval
+<math> \phi_x=ik(2-\phi)</math> et réflexion totale amont <math> \phi_x=0</math> .
+* Résolution analytique
+On obtient la même équation du modèle de Berkhoff vue dans le cas n°1,
+<math> \phi_{xx}+k^2\phi=0 </math>
+<math> \Rightarrow  \phi(x)={K_1}e^{ikx}+{K_2}e^{-ikx} </math>
+avec <math>({K_1},{K_2}) \in \mathbb{R}  </math>
+Seules les conditions aux limites changent,
+<math> \phi(x=0)=K_1+K_2= ik(2-\phi)  \Rightarrow K_2 = ik(2-\phi) - K_1 </math>
+<math> \phi_x(x=L)=0  </math>
+<math> \Rightarrow {ik}({K_1}e^{ikL}-{K_2}e^{-ikL})  = 0 </math>
+d'où
+* Résolution par homotopie