Utilisateur:Jean-Michel Tanguy/SujetENTPE2023/B33

Cas n°1

On étudie le cas du canal monodimensionnel plat de longueur L.

On suppose une entrée par l’aval ( en $ x=0 $) d’une onde qui vérifie la condition de Dirichlet donc de fréquence unitaire $ \phi(x=0)=1 $ et une sortie libre en amont (en $ x=L $) qui vérifie la condition de Robin $ \phi_x(x=L)=ik\phi(x=L) $.

• Résolution analytique

Comme vu précédemment l’équation du modèle de Berkhoff en 1D devient alors:

$ \phi_{xx}+k^2\phi=0 $ équation différentielle du deuxième ordre.

On a alors pour solution: $ \phi(x)={K_1}e^{ikx}+{K_2}e^{-ikx} $ avec $ ({K_1},{K_2}) \in \mathbb{C^2} $

Avec les conditions aux limites imposées on obtient,

$ \phi(x=0)=K_1+K_2=1 \Rightarrow K_2= 1-K_1 $

$ \phi_x(x=L)=ik\phi(x=L) $ $ \Rightarrow {ik}({K_1}e^{ikL}-{K_2}e^{-ikL}) = {ik}({K_1}e^{ikx} + {K_2}e^{-ikx}) $

Donc $ K_2 =0 $ et $ K_1=1 $

On obtient alors une première solution, $ \phi(x)=e^{ikx} $

Le potentiel est la partie réelle donc

$ \phi(x)=cos(kx)  $

• Résolution par homotopie

La relation d'homotopie s'écrit en choisissant la dérivée seconde comme fonction auxiliaire linéaire et en partant d'une solution initiale nulle:

$ (1-p)\phi_{xx}+p(\phi_{xx}+k^2\phi)=0 $

En injectant la décomposition en série entière $ \phi(x,p)=\phi_0(x)+p\phi_1(x)+p^2\phi_2(x)+p^3\phi_3(x)+... $ et sa seconde dérivée:

$ \phi_{0,xx}(x)+p\phi_{1,xx}(x)+p^2\phi_{2,xx}(x)+p^3\phi_{3,xx}(x)+... $

Nous obtenons:

$ (1-p)(\phi_{0,xx}(x)+p\phi_{1,xx}(x)+p^2\phi_{2,xx}(x)+p^3\phi_{3,xx}(x)+...)+p[\phi_{0,xx}(x)+p\phi_{1,xx}(x)+p^2\phi_{2,xx}(x)+p^3\phi_{3,xx}(x)+...+k^2(\phi_0(x)+p\phi_0(x)+p^2\phi_2(x)+p^3\phi_3(x)+...)]=0 $

Il faut ensuite simplifier et écrire cette relation suivant les puissances de p croissantes. Cette relation étant valable quel que soit p, tous les coefficients devant les puissances de p sont donc nuls.

• • Ordre 0 :

$ \phi_{0,xx}=0 $ soit $ \phi_0=Ax+B $.

Introduisant les conditions limites suivantes: $ \phi_0^0=1 $ et $ \phi_{0,x}^L=ik\phi_{0}^L $, il vient :

$ B=0 $

$ A= ik(AL+1) \Rightarrow A = \dfrac{ik}{1-ik} $

Donc

$ \phi_0(x)=1+\dfrac{ik}{1-ikL}x $.

• • Ordre 1 :

$ \phi_{1,xx}-\phi_{0,xx}+\phi_{0,xx}+k^2\phi_0=0 $ soit $ \phi_{1}=-k^2\int\phi_0dxdx +Ax+B $.

Introduisant les conditions limites suivantes: $ \phi_1^0=0 $ et $ \phi_{1,x}^L=ik\phi_{1}^L $, il vient :

$ \phi_1(x)=- \dfrac{k^2L(k^2L^2+3ikL-3)} {3(1-ikL)^2}x-k^2\left (\dfrac{ik} {6(1-ikL)}x^3+\dfrac{1} {2}x^2 \right ) $

• • Ordre 2 :

$ p^2 \phi_{2xx}(x)-p^2\phi_{1xx} + p^2\phi_{1xx} +k^2p^2\phi_{1xx} = 0 $

d'où $ \phi_{2xx}(x)=-k^2\phi_{1xx} $

Alors

$   \phi_{2}(x)= -k^2 \iint{\phi_1(x)dxdx} + Ax + B  $

$ k=\dfrac{1} {100} $ (nombre d'onde en m^-1), $ H=40 $ (profondeur en m), $ c=\sqrt{gH} $ (célérité de l'onde en m/s), $ \lambda=\dfrac{2\pi}{k} $ (longueur d'onde en m), $ L=2\lambda $ (longueur du domaine en m).

Cas n°2

On étudie un canal monodimensionnel plat de longueur L avec entrée par l'aval d'une onde de fréquence unitaire et une condition de flux aval $ \phi_x=ik(2-\phi) $ et réflexion totale amont $ \phi_x=0 $ .

• Résolution analytique

On obtient la même équation du modèle de Berkhoff vue dans le cas n°1, $ \phi_{xx}+k^2\phi=0 $ $ \Rightarrow \phi(x)={K_1}e^{ikx}+{K_2}e^{-ikx} $ avec $ ({K_1},{K_2}) \in \mathbb{C^2} $

Seules les conditions aux limites changent,

$ \phi_x(x=0)=ikK_1 - ikK_2= ik(2-\phi(x=0)) \Rightarrow K_1-K_2= 2-K_1-K_2 \Rightarrow 2K_1=2 \Rightarrow K_1 =1 $

$ \phi_x(x=L)=0 \Rightarrow {ik}({K_1}e^{ikL}-{K_2}e^{-ikL}) = 0 \Rightarrow e^{ikL} - K_2e^{-ikL} =0 \Rightarrow K_2= e^{i2kL} $

d'où $ \phi(x) = e^{ikx} + e^{ik(2L-x)} $

Le potentiel est la partie réelle

$  \phi(x)= cos(kx)+ cos(k(2L-x)) $

• Résolution par homotopie

$ (1- p)(\phi_{0,xx}(x)+p\phi_{1,xx}(x)+p^2\phi_{2,xx}(x)+...)+p[\phi_{0,xx}(x)+p\phi_{1,xx}(x)+p^2\phi_{2,xx}(x)+...+k^2(\phi_0(x)+p\phi_0(x)+p^2\phi_2(x)+...)]=0 $

• • Ordre 0 :

$ \phi_{0,xx}(x)=0 $

En intégrant on obtient

$   \phi_0(x)=Ax+B  $ 

Avec les conditions aux limites : $ \phi_{0,x}^0=ik(2-\phi) $ et $ \phi_{0, x}^L=0 \Rightarrow A = 0 $ et $ B = 2 $

Donc

$  \phi_0(x)=2  $

• • Ordre 1 :

$ \phi_{1,xx}(x) = -k^{2}\phi_0(x) \Rightarrow \phi_1 (x) =- k^2x^2 + Ax + B $

Avec les conditions initiales données on a $ A = 2k^2L $ et $ B = 2ik^2L $ et donc :

$  \phi_1 (x) = - k^2x^2 + 2k^2Lx + 2ik^2L  $

Cas n°3

On étudie un canal monodimensionnel de longueur L avec pente du fond constante (s=cste) avec entrée par l'aval d'une onde de fréquence unitaire $ \phi=1 $ et sortie libre amont $ \phi_x=ik\phi $.

• Résolution analytique

Cas $ k = k_0 \sqrt{\dfrac{H_0}{H(x)}} $

On a $ C=C_g = \sqrt{gH(x)} $

Le modèle de Berkhoff devient alors

$ \nabla (gH(x) \nabla \phi ) + {k}^{2}gH(x)\phi = 0 \Leftrightarrow H(x) \Delta \phi - s \vec{grad} \phi + {k}^{2}H(x)\phi = 0 $

On réalise un changement de variable $ z = H_{0} -sx $

On obtient alors $ \phi_{xx} - \dfrac{s}{H_0-sx}\phi_x +\dfrac{k_0^2}{H_0-sx}\phi = 0 $

d'où l'équation de type Bessel suivante :

$  z\phi_{zz} + \phi_z + {\alpha}^{2}\phi = 0  $ 

avec $ \alpha^{2} =\dfrac{{k_0}^{2}H_{0}}{s^2}, \frac{\partial \phi}{\partial x} = -s\phi_{z} $ et $ \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} = s^2\phi_{zz} $

La solution est de la forme $ \phi(z) = [C_1J_0(2\alpha\sqrt{z})+C_2Y_0(2\alpha\sqrt{z})] $

Avec les conditions aux limites on a :

$ \phi(0)=1 \Leftrightarrow [C_1J_0(2\alpha\sqrt{H_0})+C_2Y_0(2\alpha\sqrt{H_0})] = 1 $

$ \phi_z(L) = ik \phi(L) $

En notant la dérivée première de $ J_0, J_1 $ et la celle de$ Y_0, Y_1 $ , on obtient

$ \phi_z(L) = \dfrac{\alpha s }{\sqrt{H_0-sL}} [C_1 J_1(2\alpha\sqrt{H_0-sL})+C_2Y_1(2\alpha\sqrt{H_0-sL})] = ik[C_1J_0(2\alpha\sqrt{H_0-sL})+C_2Y_0(2\alpha\sqrt{H_0-sL})] $

Il faut alors déterminer $ C_1 $ et $ C_2 $ :

On note alors $ J_0^0 = J_0(2\alpha\sqrt{H_0}), J_0^L = J_0(2\alpha\sqrt{H_0-sL}), Y_0^0= Y_0(2\alpha\sqrt{H_0}), Y_0^L = Y_0(2\alpha\sqrt{H_0-sL}) $ et de même pour $ J_1^0, J_1^L, Y_1^0, Y_1^L,... $ et $ A = \dfrac{\alpha s}{\sqrt{H_0-sL}} $

On a alors

$  C_1 = \dfrac{(Y_1^L - \dfrac{ik}{A} Y_0^L)J_0^0 + (A- J_0^0)Y_0^0 }{(Y_1^L-\dfrac{ik}{A}Y_0^L)J_0^0 + (\dfrac{ik}{A}-1)Y_0^0J_0^0}   $

et

 $  C_2 =  \dfrac{  \dfrac{ik}{A} J_0^L - A}{(Y_1^L -  \dfrac{ik}{A} Y_0^L)J_0^0 + ( \dfrac{ik}{A} -1) Y_0^0}  $

donc

$  \phi(z) =  \dfrac{(Y_1^L - \dfrac{ik}{A} Y_0^L)J_0^0 + (A- J_0^0)Y_0^0 }{(Y_1^L-\dfrac{ik}{A}Y_0^L)J_0^0 + (\dfrac{ik}{A}-1)Y_0^0J_0^0} J_0(2\alpha\sqrt{z}) +  \dfrac{  \dfrac{ik}{A} J_0^L - A}{(Y_1^L -  \dfrac{ik}{A} Y_0^L)J_0^0 + ( \dfrac{ik}{A} -1) Y_0^0} Y_0(2\alpha\sqrt{z})  $

• Résolution par homotopie