ANSWER - Modélisation numérique - propagation des ondes longues - canal gabarit uniforme - pente nulle

Eléments de contexte

Cette page est partie intégrante de l'opération ANSWER. Elle est dédiée à l'étude numérique du comportement de codes de calculs d'hydraulique à surface libre avec des solutions analytiques.
Il s'agit de pages d'études soumises à la communauté de modélisateurs hydrauliciens, afin de définir et de passer des cas tests, de réfléchir en commun aux résultats obtenus de manière à mieux comprendre les fonctionnalités et les limitations de certains codes.
Cette démarche est par essence interactive et la présente page est donc ne constitue donc qu'un bac à sable.
Le présent cas traité est la propagation d’une onde de marée (onde longue) dans un canal à fond plat. Il s’agit du premier cas modélisé dans une série de cas de difficultés progressives. La principale difficulté à lever ici est celle de l’imposition de conditions à la limite aux frontières liquides. La modélisation permettra de comparer différents modèles à la solution analytique des équations linéarisées décrites dans la page modèle de propagation des ondes longues.

Étude de la propagation d'ondes longues dans un canal à gabarit constant et à fond plat

Caractéristique du domaine :

• longueur : 10 000 km
• largeur constante : 10 km
• profondeur : 500 m
• discrétisation spatiale : 5 nœuds et 8 éléments en largeur (côté de 2500 m) / 2001 nœuds et 2000 éléments en longueur (côté de 5000 m).
  

Au total 16 000 éléments et 10 005 nœuds.

Caractéristique de l’onde à propager :

• période de la marée : 12 heures = 43200 s
• amplitude : 5 m

On se trouve dans le domaine des ondes longues se propageant en eaux peu profondes (la profondeur relative à la longueur d’onde est faible)
On en déduit les caractéristiques suivantes :

• c = célérité de l’onde ~ 70 m.s^-1
• L = longueur d’onde ~ 3 025 542 m
• k = nombre d’onde ~ 2,07.10^-6 m^-1

Imposition sous Telemac2d :

L’implémentation d’une condition à la limite avec des valeurs (hauteur, débit ou vitesses) variables dans le temps peut se faire de deux façons sur Telemac.

• Création d’un fichier texte avec les variations temporelles de la variable imposée (ici la hauteur). Ainsi à chaque pas de temps du calcul, Telemac va lire le fichier liquide et interpoler la valeur à partir des valeurs encadrantes.
• Implémentation directe dans une fonction FORTRAN modifiée par l’utilisateur et appelée par Telemac.
  

Dans notre cas, nous implémentons l’imposition d’une surface libre variant sinusoïdalement avec le temps pour toutes les frontières liquides avec surface libre imposée. C’est un cas simple de modification d’une routine FORTRAN de Telemac. L’onde est « générée » à l’entrée du canal (domaine de calcul) à la frontière liquide gauche X=0 m.

Options : Citer tous les choix réalisés pour cette modélisation serait très long. En voici néanmoins quelques-uns :

• Pas de temps : 40 s (pas de temps suffisamment fin pour avoir une convergence rapide (peu d’itérations))
• Pas de sous-pas de temps pour la prise en compte des non-linéarités
• Nombre de pas de temps : 12 000 soit une durée totale simulée de 480 000 s (soit un peu plus de 11 périodes)
• Choix des équations à résoudre : Saint-Venant avec éléments finis
• Résolution simultanée des équations de St Venant
• Solveur : GMRES (adapté à la résolution du système d’équations primitives
• Conditions initiales : plan d’eau au repos

Des conditions limites aux frontières liquides complexes 

Le défi se posant à toutes les modélisations de propagation d’ondes est l’imposition de la condition limite aux frontières liquides. L’imposition de la seule variation de la surface libre à la frontière dite entrante (celle par laquelle on fait entrer l’onde) est en théorie insuffisante (problème sous-contraint). La difficulté est encore plus grande au niveau de la sortie de l’onde où la difficulté réside dans le fait de laisser sortir l’onde sans induire de réflexion parasite. Telemac offre la possibilité d’utiliser la condition de Thompson basée sur la théorie des caractéristiques appliquées aux frontières liquides.

Bibliographie

• Revisiting the Thompson boundary conditions, J-M. HERVOUET, C. DENIS, E. DAVID, Proceedings of the XVIIIth Telemac & Mascaret User Club, October 2011, EDF R&D, Chatou.
• K.W. Thompson, Time dependent boundary conditions for hyperbolic systems. Journal of Computational physics 68,1-24. 1987.
• C. Le Provost, M Elio Saenz, Symulation numérique de la propagation non-linéaire d’une onde longue dans un canal de profondeur constante. Comparaison de quelques méthodes aux

différences finies, OCEANOLOGIE No.9 (1978).