Colebrook (formule de) (HU)

Traduction anglaise : Colebrook's formula

Formule, appelée parfois formule de Colebrook-White, permettant d'évaluer le paramètre C de l'équation de Chézy. Sous sa forme originale, l'équation de Colebrook s'écrit :

$ \frac{1}{\sqrt{λ}} = -2.log\left(\frac{k}{a.R_h}+\frac{b}{R_e.\sqrt{λ}}\right) \quad (1) $

$ R_e $ est le nombre de Reynolds :

$ R_e = \dfrac{4.V.R_h}{ν} \quad (2) $

avec :

• $ λ $ : coefficient de Colebrook (sans dimension) ;
• $ g $ : accélération de la pesanteur ($ m/s^2 $) ;
• $ k $ : rugosité des parois ($ m $) ;
• $ R_h $ : rayon hydraulique ($ m $) ;
• $ ν $ : viscosité cinématique du fluide ($ m^2/s $) ;
• $ a $ et $ b $ :   coefficients sans dimension (12 < $ a $ < 15 et 0 < $ b $ < 6).

Les pertes de charge se calculent par la relation :

$ J = λ.\dfrac{V^2}{8.g.R_h} \quad (3) $

Pour un écoulement à surface libre, en régime uniforme, la pente de la ligne d'énergie est parallèle à la pente du fond, donc $ I = J $. On peut donc écrire :

$ I = λ.\dfrac{V^2}{8.g.R_h} \quad\quad \Longrightarrow \quad\quad \dfrac{1}{\sqrt{\lambda}} = \dfrac{V}{\sqrt{8.g.R_h.I}} \quad(4) $

En reportant les expressions (2) et (4) dans la relation (1), on obtient une formulation explicite de $ λ $ :

$ \dfrac{1}{\sqrt{λ}} = -2.log[\frac{k}{a.R_h}+\frac{b.ν}{8.R_h\sqrt{2.g}.\sqrt{R_h.I}}] \quad (5) $

La relation (4) permet également d'écrire :

$ V = \dfrac{1}{\sqrt{λ}}.\sqrt{8.gR_h.I} = C.\sqrt{R_h.I} \quad(6) $

avec  

$ C = \dfrac{1}{\sqrt{λ}}\sqrt{8.g} \quad(7) $

En reportant la relation (5) dans l'expression (7), on obtient finalement une expression explicite du coefficient C de Chezy :

$ C = -4\sqrt{2.g}.log (\frac{k}{a.R_h}+\frac{b.ν}{8.R_h\sqrt{2.g.R_h.I}}) \quad(8) $

Les valeurs généralement retenues pour a et b sont les suivantes :

• $ a $ = 14,8
• $ b $ = 2,51

Le tableau suivant donne des indications sur le choix de k et  :

 

Source	Unitaire ou EP (m²/s)	k (béton lisse) (mm)
Winghart	10-6	1 à 2
Carlier	-	1 à 10
Lautrich	1,3.10-6	0,3 à 3
Dupont	-	1
Kiefer	1,3.10-6	1,5

Valeurs indicatives pour le choix de n et k.

Il est important de préciser que la rugosité des parois doit tenir compte, non seulement de la dimension des aspérités, mais également des macro-obstacles à l'écoulement que l'on peut rencontrer dans les systèmes d’assainissement : coudes, chutes, câbles accrochés aux parois, etc.

Voir aussi : Coefficient de rugosité, Perte de charge.