Colebrook (formule de) (HU)

Traduction anglaise : Colebrook's formula

Dernière mise à jour : 27/03/2022

Formule, appelée parfois formule de Colebrook-White, initialement développée pour calculer les pertes de charge linéaires dans le cas des écoulements en charge ; cette formule permet également d'évaluer le paramètre $ C $ de l'équation de Chézy.

Formulation mathématique

Sous sa forme originale, l'équation de Colebrook s'écrit :

$ \frac{1}{\sqrt{λ}} = -2.log\left(\frac{k}{a.R_h}+\frac{b}{R_e.\sqrt{λ}}\right) \quad (1) $

Dans cette relation, $ R_e $ est le nombre de Reynolds :

$ R_e = \dfrac{4.V.R_h}{ν} \quad (2) $

avec :

• $ λ $ : coefficient de Colebrook (sans dimension) ;
• $ g $ : accélération de la pesanteur (m/s²) ;
• $ k $ : rugosité des parois (m) ;
• $ R_h $ : rayon hydraulique (m) ;
• $ ν $ : viscosité cinématique du fluide (m²/s) ;
• $ a $ et $ b $ :   coefficients sans dimension (12 < $ a $ < 15 et 0 < $ b $ < 6).

Les pertes de charge linaires se calculent par la relation générale :

$ J = λ.\dfrac{V^2}{8.g.R_h} \quad (3) $

Pour un écoulement à surface libre, en régime uniforme, la pente de la ligne d'énergie est parallèle à la pente du fond, ce qui implique $ I = J $. On peut donc écrire :

$ I = λ.\dfrac{V^2}{8.g.R_h} \quad\quad \Longrightarrow \quad\quad \dfrac{1}{\sqrt{\lambda}} = \dfrac{V}{\sqrt{8.g.R_h.I}} \quad(4) $

En reportant les expressions (2) et (4) dans la relation (1), on obtient une formulation explicite de $ λ $ :

$ \dfrac{1}{\sqrt{λ}} = -2.log[\frac{k}{a.R_h}+\frac{b.ν}{8.R_h\sqrt{2.g}.\sqrt{R_h.I}}] \quad (5) $

La relation (4) permet également d'écrire :

$ V = \dfrac{1}{\sqrt{λ}}.\sqrt{8.gR_h.I} = C.\sqrt{R_h.I} \quad(6) $

avec  

$ C = \dfrac{1}{\sqrt{λ}}\sqrt{8.g} \quad(7) $

En reportant la relation (5) dans l'expression (7), on obtient finalement une expression explicite du coefficient $ C $ de Chezy :

$ C = -4\sqrt{2.g}.log \left(\frac{k}{a.R_h}+\frac{b.ν}{8.R_h\sqrt{2.g.R_h.I}}\right) \quad(8) $

Choix des paramètres

Les valeurs généralement retenues pour $ a $ et $ b $ sont les suivantes :

• $ a $ = 14,8
• $ b $ = 2,51

Le tableau suivant donne des indications sur le choix de $ k $ et  :

Valeurs indicatives pour le choix de $ ν $ et $ k $.

Généralement une valeur de $ k $ comprise entre 1,5 et 3 mm est acceptable pour des conduites en bon état non encombrées. Il est important de préciser que la rugosité des parois doit tenir compte, non seulement de la dimension des aspérités, mais également des macro-obstacles à l'écoulement que l'on peut rencontrer dans les systèmes d’assainissement : coudes, chutes, câbles accrochés aux parois, etc.

Lien avec la formule de Manning-Strickler

En élargissant l'application de la formule (9), proposée par Strickler pour le cas des canaux en terre ou avec des fonds sableux et valable pour les écoulements turbulents rugueux, au cas des conduites d'assainissement (Hager, 1999), on peut construire le tableau de la figure 1 établissant un lien entre le coefficient $ Ks $ de la formule de Manning-Strickler et la rugosité $ k $ de la formule de Colebrook.

$ K_s = 26.\left[\frac{1}{k}\right]^{1/6}\quad (9) $

avec :

• $ k $ : rugosité des parois au sens de Nikuradze (m) .

Figure 1 : Relation entre la rugosité k de la formule de Colebrook et le coefficient Ks de la formule de Manning-Strickler

Bibliographie :

• Carlier, M. (1972) : Hydraulique générale et appliquée ; Eyrolles ; Paris ; 565 p. ; 1972.
• Lautrich, R. (1971) : Tables et abaques pour le calcul hydraulique des canalisations sous pression, égouts et caniveaux ; Eyrolles ; 1971.
• Hager, W. H. (1999) : Wastewater hydraulics: theory and practice ; Springer.
• Winghart, M. : Cours polycopié de mécanique des fluides et d'hydraulique ; INSA de Lyon - département GCU ; non daté.

Voir aussi : Coefficient de rugosité, Perte de charge.