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ANSWER - Déformation d'un train de vagues par une ile circulaire
Sommaire |
Éléments de contexte
Cette fiche a été conçue dans le cadre du projet de sciences participatives ANSWER.
Les déformations de houles par des obstacles de tous types, naturels ou artificiel est d'une grande importance pour déterminer les efforts sur les structures, les conditions d'agitation dan les ports, les zones d'érosion sur le trait de côte.
Nous traitons ici d'un type d'obstacle bien particulier qui s'apparente à l'impact d'une ile circulaire, d'une infrastructure circulaire sur la propagation d'une houle monochromatique.
Ce cas est bien documenté dans le cahier de validation du logiciel REFONDE V3.5
Essais physiques de diffraction de houle autour d'un cylindre
Une campagne d'essais a été réalisée dans le petit bassin à houle de l'Ecole Centrale de Nantes pour représenter et mesurer les conditions de diffraction des houles dues à la présence d'un obstacle circulaire.
Diffraction de houle par un cylindre : essais à... par Wikhydro
Vidéos nature
La vidéo ci-dessous représente la déformation d'un train de houles par un pieu circulaire à l'entrée du port de plaisance de Pornic.
Diffraction par une pile circulaire par Wikhydro
Animation des conditions de houle aux alentours de l'île
L'animation ci-dessous correspond au cas traité avec grand profondeur (200m)
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Rappels Théoriques
Le modèle considéré est l'équation de Berkhoff établi avec l'hypothèse de pente douce et de linéarité. Il s'écrit:
$ \nabla(cc_g\nabla\psi)+k^2cc_g\psi=0 $
où $ c $ est la vitesse de l'onde, $ c_g $ la vitesse de groupe, $ \psi $ le potentiel de l'onde.
La solution analytique correspondant à la déformation d'un train d'onde régulière autour d'une ile est fournie par l'expression suivante:
$ \psi(r,\theta)=\psi_0 \sum_{n=0}^{\infty}j^{n+1}{\epsilon_n}\frac{J_n(kr)H_n^{'1}(kR)-J_n^{'}(kR)H_n^1(kR)}{H_n^{'1}(kR)}cosn\theta $
la hauteur de houle en tout point du domaine s'exprime de la manière suivante:
$ h(r,\theta)= \mathfrak{R}[\psi(r,\theta)e^{j\omega t}] $ avec :
- $ \epsilon_n=2-\delta_{n0} $ où $ \delta_{n0} $ est le symbole de Kronecker
- $ h(r,\theta) $ le potentiel de houle, $ h(r,\theta) $ la hauteur de houle en coordonnées polaires repérées par rapport au centre de l'ile circulaire, $ h_0 $ la hauteur de l'onde incidente, $ R $ le rayon de l'île. $ T $ la période de l'onde, $ \omega $ est la pulsation de l'onde = $ 2\pi/T $
- $ k $ le nombre d'onde donné $ {\omega^2=gk\tanh(kh) $
- $ J_n $ sont les fonctions de Bessel de 1ère espèce et d'ordre $ n $ , $ J_n^' $ leurs dérivéee
- $ H_n^{1} $ sont les fonctions de Hankel de 1ère espèce et d'ordre $ n $ , $ H_n^{'1} $ leurs dérivées
Application sur un cas test
Les caractéristiques physiques du cas étudié sont les suivantes:
- rayon de l'île : 25 m
- période de la houle : 10s
- hauteur de la houle incidente : 1m
- la direction de propagation est parallèle à l'axe 0x
- l'île est parfaitement réfléchissante
Houle en grande profondeur: 200m
Dans ce cas de grande profondeur, les paramètres calculés par le modèle sont les suivants:
- nombre d'onde $ k $ = 0,04 m-1
- longueur d'onde $ L $= 156 m
Le diagramme ci-dessous représente les isovaleurs du module de la hauteur de houle.
Il montre que l'obstacle a un effet de concentration sur la houle. La hauteur passe de 1 m au large à une valeur de 1,7m en amont immédiat de l'obstacle.
En aval par contre, il existe une zone assez large protégée par l'obstacle. La hauteur de houle diminue jusqu'à 0,67m.
Houle en petite profondeur: 10m : comparaison avec les résultats obtenus en grande profondeur
Dans ce cas de faible profondeur, les paramètres calculés par le modèle sont les suivants:
- nombre d'onde $ k $ = 0,07 m-1
- longueur d'onde $ L $= 92 m (on se rapproche de la valeur $ \sqrt{gH} T $
Le diagramme ci-dessous représente les isovaleurs du module de la hauteur de houle.
Il montre que les tendances mises en évidence précédemment sont conservées : l'obstacle a un effet de concentration sur la houle. La hauteur passe de 1 m au large à une valeur de 1,85m en amont immédiat de l'obstacle, ce qui est supérieur à ce qui se passe en grande profondeur.
En aval par contre, il existe une zone assez large protégée par l'obstacle. La hauteur de houle diminue jusqu'à 0,48m, ce qui est légèrement inférieur à ce qui se passe en grand profondeur.
=== Comparaison des 2 figures
La comparaison des 2 figures (en grande profondeur 200m et en petite profondeur 10m) permet de faire ressortir les points suivants:
- pour une même houle incidente, la longueur d'onde diminue avec la profondeur
- l'amplitude maximale de la houle au voisinage de l'obstacle est plus importante en petite profondeur qu'en grande profondeur
- le train d'onde s'enroule davantage autour de l'obstacle en petite profondeur
- la zone protégée est d'emprise plus faible en petite profondeur
Fichier-source SCILAB
Fichier:Diffraction autour d'une ile V6.pdf Le fichier pdf est le fichier source du code SCILAB. Il permet de reproduire l'ensemble de l'animation et des hauteurs de houle.
Bibliographie
- P. Debaillon, P. Sergent, O. Orcel "REFONDE V3.5 - Notice théorique", Avril 2009
- P. Debaillon, P. Sergent, O. Orcel "REFONDE V3.5 - Cahier de validation", Août 2010
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