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ANSWER - Diffusion bidimensionnelle d'une substance dans un écoulement uniforme

De Wikhydro

Sommaire

Eléments de contexte

Cette fiche a été conçue dans le cadre du projet de sciences participatives ANSWER qui a pour objectif de rassembler ou de développer suivant l'état des connaissances, des solutions analytiques des équations de Navier-Stokes dans les domaines de l'hydraulique à surface libre. Il s'agit de les valider par des essais en laboratoire et de les comparer avec des codes de calcul sur des cas schématiques. Des vidéos illustrent ces processus dans la nature si cela s'avère techniquement réalisable.

Problématique

Le transport de substances dans un écoulement est un élément fondamental de la dynamique des milieux fluviaux, estuariens ou maritimes. Les particules solides, telles que les sédiments qui se déplacent par charriage ou en suspension au sein de l'écoulement, conditionnent grandement la dynamique fluviale au travers des phénomènes de dépôt et d'érosion.

Le transport de particules dissoutes est souvent associé aux problèmes de pollution des milieux. chimique, bactériologique ou biologique, les substances sont véhiculées par l'écoulement, sans interagir avec lui, sauf lors d'échanges de températures ou à très fortes concentrations.

C'est le sujet qui va nous intéresser ici. Nous allons étudier dans un premier temps le comportement des concentrations de substances dissoutes, dans des écoulements principalement monodimensionnels, comme on peut en rencontrer en rivière, en estuaire ou en canal. Sachant que le principal vecteur de transport est le fluide dans une direction privilégiée, on assiste néanmoins à une diffusion de ces substances dissoutes transversalement à l'écoulement principal, ce qui rend le comportement de la substance plutôt bidimensionnel, voire tridimensionnel. Nous complèterons par l'adaptation de cette solution analytique au transport-diffusion de sable dans un écoulement homogène et constant avec une approche tridimensionnelle.

Nous allons nous inspirer des travaux de Vedat Batu (1989) pour quantifier ce processus, dans une approche transitoire.

Mise en équations

Écrivons la conservation d'une concentration LaTeX: C de substance dissoute à l'intérieur d'un cube élémentaire de volume LaTeX: dx * dy * dz, nous obtenons l'équation suivante:

LaTeX: 
\dfrac{ dC }{ dt }=\dfrac{ \partial C }{ \partial t }+u\dfrac{ \partial C }{ \partial x }+v\dfrac{ \partial C }{ \partial y }+w\dfrac{ \partial C }{ \partial z }=0

En considérant que la concentration est soumise à la turbulence de l'écoulement, chaque grandeur dans l'équation précédente peut être décomposée en la somme d'une grandeur moyenne et d'une grandeur fluctuante:

LaTeX: C=\overline C+c', LaTeX: u=\overline u+u', LaTeX: v=\overline v+v', LaTeX: w=\overline w+w'

et en remplaçant ces valeurs dans l'équation précédente et en moyennant chaque terme sur un temps significatif, il apparait des moyennes de produits de grandeurs fluctuantes :
LaTeX: \overline {u'c'}

qui peuvent d'après Fick être assimilées à des gradients de concentration. Ainsi:

LaTeX: \overline {u'c'}=-[D_{x}\dfrac{ \partial C }{ \partial x }+D_{y}\dfrac{ \partial C }{ \partial y}+D_{z}\dfrac{ \partial C }{ \partial z }]

Nous allons nous intéresser à un écoulement monodimensionnel (vitesse LaTeX: U et ne retenir que les deux coefficients de diffusion longitudinal (/Ox) et transversal (/Oz).

Nous obtenons en supprimant les "barres" représentant les valeurs moyennes:
LaTeX: 
\dfrac{ \partial C }{ \partial t }+v\dfrac{ \partial C }{ \partial y }-D_{11}\dfrac{ \partial^2 C }{ \partial x^2 }-D_{12}\dfrac{ \partial^2 C }{ \partial y^2}=0

Résolution du problème non-stationnaire

Soit donc à résoudre le modèle de convection - diffusion bidimensionnel dans le contexte plus large d'une substance dissoute qui subit :

  • un retard par rapport à l'équilibre exprimé par le facteur LaTeX: R_d.
  • un facteur d'érosion - disparition, exprimant par exemple l'effet des rayons solaires : .

Nous reprenons intégralement les développements de Vedat Batu.

LaTeX: 
(1) \qquad \qquad R_d\dfrac{ \partial C }{ \partial t }+U\dfrac{ \partial C }{ \partial x }-D_x\dfrac{ \partial^2 C }{ \partial x^2 }-D_z\dfrac{ \partial^2 C }{ \partial z^2 }+R_d\nu C=0
Le problème à résoudre est celui de la convection - diffusion d'une substance dissoute entre deux plaques planes ou deux berges imperméables d'un cours d'eau dans lequel s'écoule de manière uniforme et constance un fluide de vitesse LaTeX: U dans le sens des LaTeX: x croissants. La source de substances est répartie de manière non uniforme dans le profil perpendiculaire à l'écoulement LaTeX: x=0. Le problème est donc complètement défini par l'équation précédente et la condition initiale et les conditions limites suivantes:

Condition initiale

Cette condition correspond à un domaine exempt de toute substance à l'instant initial

LaTeX: (2) \qquad \qquad C(x,z,t=0)=0

Conditions limites

Cette condition exprime l'injection au niveau du profil amont du bief de rivière considéré (frontière amont), d'une substance de concentration variable dans le profil et évolutive dans le temps.

LaTeX: (3a) \qquad \qquad C(0,z,t)=C_{m_1}(z)e^{\gamma t} \qquad 0<z<H_1
LaTeX: (3b) \qquad \qquad C(0,z,t)=C_{m_{m-1}}(z)e^{\gamma t}\qquad H_{m-2}<z<H_{m-1}
LaTeX: (3c)\qquad \qquad C(0,z,t)=C_{m_m}(z)e^{\gamma t}\qquad H_{m-1}<z<H_{m}

LaTeX: \gamma est une constante.

Les autres conditions aux limites sont les suivantes:

LaTeX: 
(4a)\qquad \qquad \dfrac{ \partial C }{ \partial z}=0 \qquad z=0 \qquad 0<x<\infty
LaTeX: 
(4b)\qquad \qquad \dfrac{ \partial C }{ \partial z }=0 \qquad z=H_m \qquad 0<x<\infty
LaTeX: 
(4c)\qquad \qquad C bornée LaTeX: \qquad x=\infty   \qquad 0<z<H_m
LaTeX: 
(4d)\qquad \qquad \dfrac{ \partial C }{ \partial x }=0 \qquad x=\infty   \qquad 0<z<H_m

Résolution de l'équation différentielle

Cette équation différentielle (1) est du second ordre non homogène, instationnaire (ou transitoire) et à coefficients constants.
Sa résolution se fera en 3 étapes:

  1. transformée de Laplace de l'équation dans le temps : passage de l'espace (x,y,t) à l'espace (x,y,s)
  2. résolution suivant les 2 dimensions temporelles par séparation de variables dans l'espace (x,z,s)
  3. recherche de la transformée inverse de Laplace dans l'espace (x,y,t)

Considérons donc l'équation (1) sous la forme suivante:
LaTeX:  (5)\qquad \qquad R_d\dfrac{ \partial C }{ \partial t }= Fonction[ C(x,y)]

Prenant la transformée de Laplace LaTeX: \mathcal{L} de chaque membre il vient :

LaTeX: (6)\qquad \qquad R_d\mathcal{L} \left (\dfrac{ \partial C }{ \partial t }} \right )= \mathcal{L} \left( {Fonction [C(x,y)] }\right)

Or LaTeX:  \mathcal{L}{\dfrac{ \partial C }{ \partial t }= s\mathcal{L}(C) - C(t=0)

Ce dernier terme représente la condition initiale. Il est donc nul.

Posons par ailleurs: LaTeX:  C_s=\mathcal{L}(C) nous obtenons:

LaTeX: 
(7)\qquad \qquad R_d(s+\nu) C_s = D_x\dfrac{ \partial^2 C_s }{ \partial x^2 }+D_z\dfrac{ \partial^2 C_s }{ \partial z^2 }-U\dfrac{ \partial C_s }{ \partial x }

Utilisons la méthode de séparation des variables en posant:

LaTeX:  C_s(x,z)=X(x)Z(z)

Nous obtenons:

LaTeX: (8)\qquad \qquad \dfrac{ D_x}{ D_z }\dfrac{ X" }{ X }-\dfrac{U}{ D_z }\dfrac{ X' }{  X }-\dfrac{ R_d(s+\nu)}{ D_z }+\dfrac{ Z" }{ Z }=0

Les 2 variables LaTeX: X et LaTeX: Z étant indépendantes, nous pouvons écrire :

LaTeX: 
(9)\qquad \qquad \begin{cases}
\dfrac{ D_x}{ D_z }\dfrac{ X" }{ X }-\dfrac{U}{ D_z }\dfrac{ X' }{  X }-\dfrac{ R_d(s+\nu)}{ D_z }=\lambda^2\\\\
</p><p>\dfrac{ Z" }{ Z }=\lambda^2<br />
\end{cases}

Solution de l'équation en X

L'équation à résoudre est une équation linéaire, homogène:

LaTeX:  
(10)\qquad \qquad D_xX"-UX'-(D_z\lambda^2 +R_d(s+\nu))X=0

Les solutions sont les suivantes:

LaTeX: 
(11)\qquad \qquad X = A_1e^{k_-x}+B_1e^{k_+x}

avec :

LaTeX: 
(12)\qquad \qquad k_{-,+}=\dfrac{ U }{ 2D_x } \pm \sqrt{\dfrac{ U^2 }{ 4D_x^2 }+ \lambda^2\dfrac{D_z}{ D_x }+\dfrac{ R_d}{D_x}(s+\nu)}

La condition limite de concentration nulle à LaTeX:  x=\infty impose LaTeX:  B_1=0

Solution de l'équation en Z

L'équation à résoudre est une équation linéaire, homogène.

Les solutions sont les suivantes:

LaTeX: Z = A_2\sin{\lambda z}+B_2\cos{\lambda z}

La condition limite de sortie nulle au niveau de la paroi (4.a) LaTeX:  z=0 impose LaTeX:  A_2=0

Utilisons la condition limite (4.b) ce qui mène à :

LaTeX:  (13)\qquad \qquad\lambda_n= \dfra{n\pi}{H_m}

Équation résultante

Finalement l'équation résultante prenant en compte les conditions limites est la suivante:

LaTeX: 
(14)\qquad \qquad C_s(x,z) = \sum_{n=0}^\infty A_n \exp \left [\left( \dfrac{ U }{ 2D_x }-p_n \right )x\right] \cos{\lambda_n z}

avec:

LaTeX: 
(15)\qquad \qquad p_n= \sqrt{\dfrac{ U^2 }{ 4D_x^2 }+ \lambda_n^2\dfrac{D_z}{ D_x }+\dfrac{ R_d}{D_x}(s+\nu)}

Utilisons maintenant la condition limite de concentration imposée en LaTeX:  x=0  : LaTeX:  C(0,z,t)=C_m(z)e^{\gamma t}

La transformée de Laplace s'écrit: LaTeX:  C_s(0,z,s)=C_m(z)/(s-\gamma)

On en déduit:

LaTeX:  
(16)\qquad \qquad C_m(z)/(s-\gamma)=\sum_{n=0}^\infty A_n \cos{\lambda_n z}

Cette expression est une série de Fourier définie sur l'intervalle LaTeX: z \in [0, H_m]

on en déduit l'expression de LaTeX: A_n (n>0):

LaTeX:  
(17)\qquad \qquad A_n=\dfrac{2}{ H_m } \int_{0}^{H_m} C_m(z)/(s-\gamma) \cos(\lambda_n z)\mathrm{d}z

et de LaTeX: A_0:

LaTeX:  
(18)\qquad \qquad A_0=\dfrac{1}{ H_m } \int_{0}^{H_m} C_m(z)/(s-\gamma)\mathrm{d}z

L'expression finale de LaTeX: A_0 devient donc:

LaTeX: C_s=C_{s0} (x,z)+C_{sn} (x,z):

LaTeX: 
(19)\qquad \qquad C_{s0}(x,z) = \dfrac{1}{ H_m (s-\gamma)} \left [ \int_{0}^{H_m} C_m(z)\mathrm{d}z \right ] \exp \left [\left( \dfrac{ U }{ 2D_x }-p_0 \right )x\right]


LaTeX: 
(20)\qquad \qquad C_{s0}= \dfrac{2}{ H_m (s-\gamma)}\sum_{n=1}^\infty \left [ \int_{0}^{H_m} C_m(z)\cos{(\lambda_n z)}\mathrm{d}z \right ] \exp \left [ \left( \dfrac{ U }{ 2D_x }-p_n \right )x \right] \cos{(\lambda_n z)}

Retour à l'espace temporel : transformée inverse de Laplace

Les relations précédentes ont été établies dans l'espace LaTeX: (x,y,s). Il nous faut maintenant revenir par une transformation inverse de Laplace, à l'espace initial : LaTeX: (x,y,t).

Posons LaTeX: b=-\nu -\dfrac{ U^2 }{ 4D_x R_d}

et réécrivons l'expression de LaTeX: C_{s0}, il vient:

LaTeX: 
(21)\qquad \qquad C_{s0}= \dfrac{1}{ H_m (s-\gamma)} \left [ \int_{0}^{H_m} C_m(z)\mathrm{d}z \right ] \exp \left [\left( \dfrac{ U }{ 2D_x } \right )x\right]  \exp \left( - \left[ \dfrac{R_d}{D_x } (s-b)\right ]^{1/2} x \right )

Soit :

LaTeX: 
(22)\qquad \qquad C_{s0}(x,z,s-b) = F(x,y)f_1(s-b)

avec :

LaTeX: f_1(s-b)=\dfrac{1}{ (s-b+b-\gamma)}\exp \left( - \left[ \dfrac{R_d}{D_x } (s-b)\right ]^{1/2} x \right )

Or la transformée inverse de LaTeX: f_1(s-b) est:

LaTeX: F_1(t)= \mathcal{L} {f_1(s-b)}=e^{bt}\mathcal{L}f_1(s)=e^{bt}E_1(t)

avec:

LaTeX: e_1(s)=\dfrac{1}{ (s+b-\gamma)}\exp \left( - \left[ \dfrac{R_d}{D_x } s\right ]^{1/2} x \right )

La transformée inverse de Laplace de cette expression est donnée par (Carslaw et Jaeger, 1959, p.495, équation 19)

LaTeX: 
(23)\qquad \qquad E_1(t)=\dfrac{1}{2}\exp \left[ \left(\nu+ \dfrac{U^2}{4D_xR_d }+\gamma \right )t \right ] \left [\exp(-G_1x) erfc [G_2-(G_3t)^{1/2}]+\exp(G_1x) erfc [G_2+(G_3t)^{1/2} \right]

la transformée de Laplace inverse de LaTeX: C_0 devient donc :

LaTeX: 
(24)\qquad \qquad C_{s0}(x,z,t)=\dfrac{I_0}{2H_m}\left [\exp ( \gamma t+\dfrac{Ux}{2D_x} \right ] \left[ \exp(-G_1x) erfc [G_2-(G_3t)^{1/2}]+\exp(G_1x) erfc [G_2+(G_3t)^{1/2} \right]

avec :

LaTeX: 
(25a)\qquad \qquad I_0= \int_{n}^{H_m} C_m(z) \mathrm{d}z  \qquad G_1= \sqrt {\dfrac{\nu R_d}{D_x }+\dfrac{U^2}{4D_x^2 }+\dfrac{\gamma R_d}{D_x }}

LaTeX:  (25b)\qquad \qquad G_2= \dfrac{R_dx}{2\sqrt{D_xR_dt }} \qquad G_3=\nu+\dfrac{U^2}{4D_xR_d }+\gamma

De la même manière, la transformée inverse de LaTeX: C_n est donnée par l'expression suivante:

LaTeX: 
(26)\qquad \qquad C_{sn}(x,z,t)=\dfrac{1}{2}\exp (\gamma t+\dfrac{Ux}{2D_x}) \sum_{n=1}^{\infty} I_n \cos(\lambda _n z) \left[\exp(-K_n x) erfc [G_2-(L_nt)^{1/2}]+\exp(K_n x) erfc[G_2+(L_nt)^{1/2} ]\right ]

LaTeX: 
(27a)\qquad \qquad I_n= \dfrac{1}{H_m}\int_{n}^{H_m} C_m(z) \cos(\lambda _n z) \mathrm{d}z


LaTeX: 
(27b)\qquad \qquad K_n= G_1+\dfrac{D_z}{D_x}\lambda_n^2\qquad  L_n=G_3+\dfrac{D_z}{R_d} \lambda_n^2

La concentration résultante a pour expression:

LaTeX: (28)\qquad \qquad C(x,z,t)= C_{s0}(x,z,t)+C_{sn}(x,z,t)

Cette relation représente donc bien la convection-diffusion d'une substance dissoute dans un écoulement homogène à vitesse constante.

Bibliographie

  • Bruch, J.C. and Street R.L. "Two dimensional dispersion", J. Sanit. Eng. Div. Am. Soc. Civ. Eng., 93, 17-39, 1967
  • Carlslaw, H.S., Jaeger J.C., "Conduction of Heat Solids", 2nd Ed., Clarendon, Oxford, 1989
  • Batu, V., "Time-dependent, linearized two-dimensional infiltration and evaporation from nonuniform and nonperiodic stip sources", Water Resour. Res., 18(6), 1725-1733, 1982.
  • Batu, V. "A Generalized Two-Dimensional Analytical Solution fi Hydrodynamic Dispersion in Boundes Media With The First Type Boundary Condition at the Source", Water Resour. Research, Vol. 25, N°6, Pages 1125-1132, June. 1989.
  • Batu, V, "First and Third - Type Boundary Conditions in Two-Dimensionnal Solute Transport Modeling", Water Resour. Research, Vol. 26, N°2, Pages 339-350, Feb. 1990.



Le créateur de cet article est Jean-Michel Tanguy
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