Condition de similitude (HU)

Traduction anglaise : Similarity conditions

Dernière mise à jour : 28/04/2022

Conditions qui doivent obligatoirement être respectées pour que les résultats obtenus sur un modèle réduit puissent être transposées au système réel.

Différentes conditions de similitude

On distingue trois types de conditions de similitude :

• les conditions de similitude géométrique ;
• les conditions de similitude cinématique ;
• les conditions de similitude dynamique.

Figure 1 : La vérification des différentes conditions de similitude est essentielle pour pouvoir utiliser les résultats obtenus sur modèle réduit ; Source : Artélia.

Différentes échelles à considérer

La construction d'un modèle réduit représentatif d'un système réel, nécessite de respecter une échelle dimensionnelle (rapport entre les dimensions dans le modèle et dans la réalité), mais également un grand nombre d'autres échelles :

• l'échelle des longueurs (rapport des longueurs) : $ E_L $ ;
• l'échelle des vitesses (rapport des vitesses) : $ E_V $ ;
• l'échelle des temps (rapport des temps) : $ E_t $ ;
• l'échelle des masses (rapport des masses) : $ E_M $ ;
• l'échelle des masses volumiques (rapport des masses volumiques) : $ E_ρ $ ;
• l'échelle des viscosités dynamiques (rapport des viscosités dynamiques) : $ E_μ $ ;
• l'échelle des accélérations de la pesanteur : $ E_g $ ;
• etc.

Certaines de ces échelles sont liées entre elles de façon unique ; par exemple $ E_V = E_L.E_t^{-1} $ ou $ E_ρ = E_M.E_L^{-3} $, ce qui impose des contraintes sur les rapports à respecter entre les différentes grandeurs ; par exemple si l'échelle des longueurs est 1/100, le respect de l'échelle des vitesses (similitude cinématique) impose que l'échelle des temps soit réduite dans les mêmes proportions.

La principale difficulté provient cependant du respect de la condition de similitude dynamique. En effet le rapport entre la force qui s'appliquent sur une particule fluide dans le modèle (notée F_M) et la même force dans la réalité ($ F_R $) ne dépend pas des mêmes combinaisons de rapport entre les différentes échelles selon la nature de la force considérée. En particulier :

• pour les forces d'inertie : $ \frac{F_M}{F_R} = E_m.E_L.E_t^{-2} $

• pour les forces de viscosité : $ \frac{F_M}{F_R}= E_μ.E_L^{2}.E_t^{-1} $

• pour l'action de la pesanteur : $ \frac{F_M}{F_R} = E_ρ.E_L^{3}.E_g $

On comprend donc immédiatement qu'il ne sera pas possible dans un modèle réduit de respecter la similitude dynamique pour l'ensemble des forces et qu'il sera nécessaire de construire le modèle en fonction de celles qui sont considérées comme les plus importantes pour les phénomènes étudiés.

Utilisation des nombres sans dimension

Suivant la nature de l'écoulement, les différentes forces interviennent d'une manière plus ou moins importante. Il existe plusieurs nombres sans dimension qui expriment le rapport entre les différentes catégories de forces. Comme les forces d'inertie ne peuvent généralement pas être négligées dans une masse liquide en mouvement, on privilégie généralement deux d'entre eux :

• le nombre de Froude qui exprime le rapport entre les forces d’inertie et les forces de pesanteur ;
• le nombre de Reynolds qui exprime le rapport entre les forces d’inertie et les forces de viscosité.

Pour en savoir plus :

• Ancey, C (2022) : Mécanique des fluides : Introduction à l’hydraulique pour les ingénieurs civils ; recueil de cours EPFL ; 220p. ; disponible sur https://lhe.epfl.ch.