A.03 - Propagation des incertitudes

Qu'est-ce que la propagation des incertitudes ?

L'utilisation d'une information incertaine (sources d'incertitude, fiche A.02) par un système de prévision impacte le plus souvent son résultat final. On dit que l'incertitude (de ces sources) se propage au sein du processus de prévision pour aboutir à l'incertitude de prévision.

En termes mathématiques, si l'élaboration de la prévision peut être transcrite par une fonction f (le modèle de prévision) qui relie des informations sur l'état initial du système à l'instant t de la prévision (Xt) et des prévisions sur le futur ut, ut+1,... , ut+H (par exemple, des prévisions de précipitation jusqu'à l'horizon de prévision H) à la prévision de débit ou de hauteur , alors cette prévision s'écrira en fait :

où l'erreur de prévision (inconnue, donc sur laquelle porte notre incertitude) sera fonction des erreurs de modélisation (f) et des erreurs sur les différentes données prise en compte par f.

Amplification ou réduction : quelle incertitude en sortie d'un modèle ?

Mais le processus aboutissant à la prévision (f dans la section précédente) n'est pas « linéaire ». Dans certains cas, l'incertitude sur une donnée d'entrée ou une simplification de la modélisation n'aura que finalement très peu d'influence sur le résultat final, on dira que l'incertitude due à cette source est réduite. Dans d'autres cas, l'incertitude sur le résultat final sera (proportionnellement) bien plus importante que l'incertitude sur la source.

Cas où l'incertitude en entrée est amplifiée

L'incertitude sur une variable d'entrée d'un modèle peut être amplifiée si le modèle est non linéaire pour cette variable et qu'il l'amplifie (par exemple par une fonction puissance) ; par accumulation : l'incertitude sur les pluies futures se cumule et l'incertitude de prévision augmente à mesure que l'horizon de prévision s'éloigne).

Exemple 1. De nombreuses courbes de tarage peuvent être ajustées à une fonction puissance : avec α supérieur à 1. La courbe de tarage de l'Allier à Moulins peut être ajustée à cette formule avec les paramètres suivants : , et . Supposons que l'incertitude de la lecture de la cote à l'échelle est de l'ordre de ± 2 cm. Les débits estimés à partir de la formule sont donnés dans le tableau suivant:

Si ce débit estimé à partir de la cote lue à l'échelle sert d'entrée à un modèle SOPHIE de type « relation Puissance » avec une puissance de l'ordre de 1,1 et un facteur multiplicatif de 1,2 pour donner le débit à une station en aval, alors la seule incertitude de lecture de la cote à l'échelle entraîne une incertitude de prévision de l'ordre de 1,6 % pour une cote lue de – 20 cm, de 3,6 pour une cote lue de 114 cm et de 5,3 % pour une cote lue de 279 cm.

Cas où l'incertitude en entrée est réduite

Inversement, l'impact de l'incertitude peut-être réduite dans un modèle non linéaire. Par ailleurs, l'incertitude sur les états initiaux devient de plus en plus faible à mesure que l'horizon de prévision s'éloigne (fiche B.24). À la limite, certaines sources d'incertitude deviennent négligeables pour un horizon de prévision suffisamment grand (on est cependant rarement dans ce cas en prévision opérationnelle).

Exemple 2. Pour estimer l'évolution avec l'horizon de prévision, de l'incertitude de prévision de GRP due à l'incertitude sur l'humidité du bassin versant du Tarn à Millau à l'instant de prévision, on exécuté le modèle le 25 mars 2004 avec différentes valeurs du remplissage du réservoir de production comprises entre 0 et sa capacité maximale (facteur multiplicatif A compris entre 0 et 1). On observe sur la figure 2 que l'incertitude de prévision décroit mais il faut environ une dizaine de jours (incluant un épisode pluvieux) pour que l'incertitude sur l'état initial du bassin versant ne contribue plus significativement à l'incertitude de prévision : c'est une durée largement supérieure aux horizons de prévision usuels.

Fig. 2. Évolution de l'incertitude de prévision de GRP due à l'incertitude sur l'humidité du bassin versant du Tarn à Millau avec l'horizon, pour une prévision le 25 mars 2004.

Conséquences en pratiques : quelles sources d'incertitude faut-il considérer pour estimer l'incertitude de prévision ?

Ce ne sont pas systématiquement les sources d'incertitude les plus fortes (dans l'absolu) qu'il faut prendre en compte quand on estime l'incertitude de prévision mais leur effet sur l'incertitude de prévision, qui est fonction du système considéré (tête de bassin versant, propagation fluviale …) et de l'horizon de prévision.

Voir également

Fiche A.02 – Sources d'incertitude

Fiche B.18 – Modélisation hydrologique : quelles incertitudes ?

Fiche B.24 – Initialisation des modèles hydrologiques et incertitude résultante