Mécanique des fluides numérique / MFN (HU) : Différence entre versions

Version du 18 janvier 2023 à 11:00

Traduction anglaise : Computational Fluid Dynamics / CFD

Dernière mise à jour : 03/10/2022

mot en chantier

Ensemble de méthodes numériques utilisant la capacité de calcul d’un ordinateur et permettant de quantifier les écoulements de fluides en résolvant les équations de conservation : de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie ainsi que de tous autres phénomènes associés tels que le transport de solide et les réactions chimiques par exemple.

Dans le domaine de l'hydraulique, la MFN concerne en particulier la résolution des équations de Navier-Stokes pour une géométrie donnée.

Principes

Le principe de base consiste à transformer un phénomène représenté par des équations différentielles ou des EDP sur un domaine physique continu par un système d'équations algébriques prenant des valeurs sur un domaine discret, puis à résoudre ces équations algébriques en utilisant un solveur plus ou moins générique mis en œuvre par un logiciel adéquat.

Le choix des équations, les discrétisations et les méthodes de résolutions vont dépendre du type d’écoulement à modéliser. Pour cela, différentes étapes sont nécessaires :

• Analyse physique de l’écoulement à étudier :
  • Environnement de l’écoulement :
    • Milieu confiné ou non : dans le premier cas, l’écoulement se produit dans un lieu entouré de paroi comme l’étude d’un déversoir. Dans le deuxième cas, l’écoulement a lieu dans un environnement infini comme l’étude d’une hélice ou une hydrolienne. Ce sont les conditions aux limites du modèle qu’il faudra adapter.
  • Loi de comportement du fluide :
    • Fluide compressible ou incompressible : Il est nécessaire de savoir si les variations de pression peuvent engendre une compressibilité importante du matériau et donc une variation de la masse volumique du fluide impactant le champ de pression et ainsi le champ de vitesse.
  • Type de fluide : loi de comportement newtonien tel que l’eau et l’air ou non newtonien comme les coulées de boue.
  • Écoulement mono ou multiphasique : en présence de plusieurs fluides, il faudra savoir s’il s’agit de fluides miscibles ou non. Dans le cas d’un écoulement à surface libre, on pourra utiliser deux fluides avec une procédure particulière pour la recherche de l’interface entre l’eau et l’air.
  • Prise en compte des phénomènes thermiques : La prise en compte d’une source de chaleur introduit des équations supplémentaires.
  • Paroi mobile ou fixe : dans le cas d’une paroi mobile, l’interaction fluide structure sera à prendre en compte dans la méthode de résolution des équations ainsi que dans le maillage.
  • Écoulement laminaire ou turbulent : L’écoulement turbulent entraine la prise en compte d’une formulation spécifique de l’agitation au sein de l’écoulement par un modèle de turbulence.
  • Écoulement stationnaire ou transitoire : Il s’agit de savoir si l’évolution en transitoire des caractéristiques de l’écoulement est une donnée importante dans l’analyse des résultats. Dans certains cas, la prise en compte de conditions aux limites permanentes converge vers des instabilités hydrodynamiques qui restent transitoires.
  • Écoulement avec transport de particules : cas du transport solide.
  • Écoulement avec changement de phase : cas de la cavitation.
  • Écoulement avec transport de bulles : aération des bassins biologiques ou les chutes d’eau.
• Choix d'une formulation et, par association, d'une méthode de mise en équations en lien avec l’analyse physique de l’écoulement ; trois méthodes, que l'on peut coupler, sont utilisables :
  • approximation des dérivées des variables par des opérateurs algébriques et méthode des différences finies ;
  • approximation des variables (forme intégrale) par des opérateurs algébriques en utilisant la formulation variationnelle et méthode des éléments finis (formulation faible) ;
  • approximation directe des variables (forme intégrale) par des opérateurs algébriques et méthode des volumes finis (formulation forte).
• Délimitation du domaine d'étude et maillage de ce domaine en lien avec la méthode précédemment choisie ;
• Choix des conditions aux limites et construction des équations algébriques correspondantes sur les différents "bords" du domaine d'étude de façon que le nombre d'équations soit égal au nombre d'inconnues ;
• Utilisation d'un solveur pour résoudre le système d'équations algébriques sur le maillage choisi.
• Utilisation d’outils graphiques et numériques pour représenter les résultats.

Le principe de base consiste à transformer un phénomène représenté par des équations différentielles ou des EDP sur un domaine physique continu par un système d'équations algébriques prenant des valeurs sur un domaine discret, puis à résoudre ces équations algébriques en utilisant un solveur plus ou moins générique mis en œuvre par un logiciel adéquat. Pour ceci différentes étapes sont nécessaires :

• choix d'une formulation et, par association, d'une méthode de mise en équations ; trois méthodes, que l'on peut coupler, sont utilisables :

• approximation des dérivées des variables par des opérateurs algébriques et méthode des différences finies ;
• approximation des variables (forme intégrale) par des opérateurs algébriques en utilisant la formulation variationnelle et méthode des éléments finis (formulation faible) ;
• approximation directe des variables (forme intégrale) par des opérateurs algébriques et méthode des volumes finis (formulation forte).

• délimitation du domaine d'étude et maillage de ce domaine ;
• construction des équations algébriques correspondant aux EDP sur le domaine discret ;
• choix des conditions aux limites et construction des équations algébriques correspondantes sur les différents "bords" du domaine d'étude de façon à ce que le nombre d'équations soit égal au nombre d'inconnues ;
• utilisation d'un solveur pour résoudre le système d'équations algébriques sur le maillage choisi.

Choix de la méthode

La plupart des logiciels utilisent la méthode des volumes finis pour discrétiser les opérateurs dans l'espace. Cette méthode consiste en effet à écrire, sur chaque volume élémentaire, que la variation interne de la grandeur considérée (masse, énergie, quantité de mouvement) est égale à la somme des flux qui traversent sa frontière ; elle est donc conservative par construction. Si nécessaire (dans le cas des phénomènes évolutifs), la méthode des différences finies peut être utilisée en complément pour discrétiser les dérivées sur le temps.

Choix du maillage

Le maillage a pour but de subdiviser le domaine spatial de calcul en un grand nombre de petits éléments appelés cellules. Ces cellules sont des segments dans le cas 1D, des surfaces dans le cas 2D ou des volumes dans le cas 3D.

Dans le cas de la méthode des volumes finis les grandeurs sont calculées en un point particulier de chacune des cellules appelé centre. La méthode des volumes finis est très souple et les cellules peuvent prendre des formes quelconques ; de plus leurs formes, comme leur taille, peuvent varier selon la position. Le maillage doit cependant vérifier deux conditions :

• il doit recouvrir totalement le domaine et en particulier les bords des cellules voisines des limites doivent correspondre aux bords du domaine ;
• il doit être "admissible", c'est à dire que chaque cellule doit posséder un centre tel que chaque ligne joignant ce centre aux centres de chacune des cellules voisines doit obligatoirement être normal à la frontière entre ces cellules et passer par cette frontière (figure 1).

Figure 1 : Cellule admissible et cellule non admissible dans le cas de la méthode des volumes finis.

Dans le cas d'un maillage régulier, on parle de maillage structuré, par exemple constitué de triangles isocèles ou de carrés juxtaposés de même taille pour un problème à deux dimensions (figure 2), la seconde condition est facilement remplie.

Figure 2 : Exemple de maillage structuré avec des cellules carrées ; dans ce cas les flux reliant les centres de cellules contiguës sont obligatoirement normaux à la frontière entre ces cellules.

Cependant de type de maillage pose également des problèmes :

• Il permet difficilement de représenter des ouvrages dont la géométrie est compliquée (première condition) ;
• la taille des cellules est obligatoirement la même partout ce qui, soit limite la précision du maillage, soit conduit à un très grand nombre de cellules.

On utilise donc souvent des maillages non structurés en utilisant des procédés de construction spécifiques, par exemple triangulation de Delaunay ou polygones de Voronoï (Scheid, 2017) (figure 3).

Figure 3 : Exemple de maillage non structuré admissible constitué de polygones convexes particuliers, dits de Voronoï ; Source : Scheid (2017).

Dans la pratique les logiciels sont généralement dotés de fonctions spécifiques (mailleurs) permettant de construire le maillage de façon assistée. Cette étape reste cependant très délicate car elle nécessite de trouver un équilibre entre la précision attendue et le temps de calcul. Ce compromis impose généralement de densifier le maillage dans les zones où les grandeurs évoluent rapidement (ce qui suppose que l'on a une idée a priori de l'allure du phénomène) (figure 4).

Figure 4 : Exemple de maillage parallélépipédique non structuré à 3 dimensions ; l'objectif est ici de représenter les écoulements à surface libre dans une défluence ; Source : Monplot (2014).

Domaines d'utilisation en hydrologie urbaine

Les systèmes d'assainissement sont très étendus et constitués d'un grand nombre d'ouvrages. Leur représentation complète par des outils de MFN nécessiterait des capacités de calcul qui sont encore, et sans doute pour longtemps, très supérieures à celle que l'on est capable de mobiliser, que ce soit en taille mémoire (nombre de mailles nécessaires) ou en temps calcul. En effet pour les écoulements à surface libre, la difficulté principale est la détermination claire et précise de la ligne d'eau, c'est à dire de la séparation entre les fluides eau et air. Cette détermination nécessite une grande finesse du maillage.

L'utilisation de ces outils est cependant en développement rapide pour représenter des ouvrages spécifiques, en particulier les ouvrages spéciaux présents dans les réseaux et les ouvrages de stockage-décantation (Lipeme-Kouyi, 2022). Les calculs sont le plus souvent effectués en régime permanent (utilisation de la méthode des volumes finis seule), mais également en régime transitoire (couplage de la méthode des volumes finis et de la méthode des différences finies).

Représentation des défluences et des déversoirs d'orage

Dans les logiciels de simulation du commerce, la représentation du fonctionnement hydraulique des réseaux d'assainissement s'effectue très majoritairement en utilisant les équations de Barré de saint venant à une dimension. Ce modèle repose en particulier sur deux hypothèses :

• l'écoulement est unidimensionnel en tout point, c'est à dire que tous les filets liquides sont parallèles entre eux et parallèles à l'axe de la conduite ;
• l'écoulement est graduellement varié, c'est à dire que l'on peut négliger les variations de vitesse en fonction du temps ainsi que la concavité de la ligne d'eau.

Ces hypothèses sont généralement acceptables dans les parties courantes du réseau mais posent problème chaque fois que l'on a une singularité hydraulique : coude, jonction, défluence, déversoir d'orage, etc. L'utilisation possible des équations de Barré de saint venant à deux dimensions permet de contourner la première hypothèse mais pas la seconde. Cette limite n'est pas très gênante pour la plupart des singularités pour lesquels l'utilisation d'une perte de charge singulière est suffisante. En revanche elle pose un problème important lorsque le flux se divise en plusieurs branches (cas des défluences et des déversoirs d'orage) car l'allure de la ligne d'eau détermine la façon dont se fait le partage. Bien représenter ces ouvrages est donc indispensable pour bien simuler le fonctionnement global du réseau. Les modèles classiques traitent ce problème en posant une hypothèse d'égalité des hauteurs d'eau et/ou des charges hydrauliques dans les différentes branches, éventuellement associée à des lois de seuil ou d'orifice. Or cette hypothèse est loin d'être toujours vérifiée (Monplot, 2014 et figure 5).

L'utilisation de modèles de MFN pour représenter ce type d'ouvrages permet d'évaluer les incertitudes associées aux représentations classiques et éventuellement de proposer des modélisations simplifiées alternatives (figure 5).

Figure 5 : Les résultats obtenus dans ce cas sur la défluence représentée à la figure 4 montre que, selon la position, le rapport entre la hauteur d'eau et la charge hydraulique varie entre 0 et 1, ce qui est contradictoire avec les hypothèses le plus souvent retenues dans les outils de simulation des réseaux ; noter également la présence d'une importante recirculation ; Source : Monplot (2014).

Une utilisation particulière des outils de MFN est l'optimisation du positionnement des sondes pour l'autosurveillance des déversoirs d'orage. Les capteurs les plus performants sont en effet les capteurs de niveau. Le calcul du débit déversé connaissant la hauteur d'eau s'effectue ensuite en appliquant une loi de seuil. La difficulté réside dans le fait que la ligne d'eau le long du seuil peut être très variable et très perturbée. Si le capteur n'est pas installé au bon endroit sa mesure peut ne pas être représentative de la forme réelle de la ligne d'eau et les calculs de débit sont alors entachés d'une grande incertitude. L'utilisation d'outils de CFD permet de choisir de façon efficace la meilleure position des sondes et de paramétrer correctement la loi de seuil (Mignot et al, 2011).

Représentation des ouvrages de stockage-décantation

On installe de plus en plus souvent des bassins de stockage dans les systèmes d'assainissement. Ces ouvrages peuvent avoir une fonction strictement hydraulique (laminage des crues) ou une fonction de traitement (favoriser la décantation des particules et des polluants associés). Quel que soit leur objectif une bonne maîtrise des phénomènes de dépôt et de reprise est indispensable pour contrôler la décantation, que ce soit pour l'éviter (cas de ouvrages hydrauliques) ou la favoriser (cas des ouvrages de traitement).

La représentation numérique de ces phénomènes avec les outils de MFN s'effectue en utilisant une représentation bi ou tri-dimensionnel des écoulements dans l'ouvrage et en couplant les équations régissant l'écoulement avec celles régissant le transport solide. Un bon calage des conditions de reprise des particules déposées permet de très bien représenter les différents phénomènes (figure 6).

Figure 6 : Comparaison de l'évolution dans le temps du transport solide entre la simulation CFD et un modèle réduit ; Source : Yan et al. (2020).

L'utilisation des outils de MFN permet en particulier de bien définir la géométrie d'ouvrage la mieux adaptée en fonction des attentes. Elle permet en effet de tester rapidement des géométries différentes (forme du bassin, position des entrées et ds sorties, utilisation éventuelle de déflecteur, etc.). (Yan et al, 2020)

Bibliographie :

• Lipeme Kouyi, G. (2022) : Modélisation CFD des écoulements dans les ouvrages spéciaux: déversoirs, bifurcations et bassins ; cours d'hydraulique, INSA Lyon, dpt GCU.
• Mignot, E., Bonakdari, H., Knothe, P., Lipeme Kouyi, G., Bessette, A., Rivière, N., Bertrand-Krajewski, J.L. (2011) : Experiments and 3D simulations of flow structures in junctions and of their influence on location of flowmeters ; 12th International Conference on Urban Drainage, Porto Alegre/Brazil, 11-16 September 2011 ; 9p. ; disponible sur https://www.researchgate.net
• Monplot, A. (2014) : Modélisation tridimensionnelle des écoulements en réseau d’assainissement ; Évaluation des modèles RANS à travers l’étude des écoulements au droit d’ouvrages spéciaux ; thèse de doctorat INSA de Lyon ; 206p. ; disponible sur https://www.theses.fr/2014ISAL0125.pdf.
• Scheid, J.-F. (2017) : Volumes finis ; Méthodes numériques avancées pour la résolution des EDP ; cours de Master 2 ; IMOI, Université de Lorraine ; 67p. ; disponible sur http://scheid.perso.math.cnrs.fr/Enseignement/polyVF2017_18.pdf.
• Yan, H., Vosswinkel, N., Ebbert, S., Lipeme Kouyi, G., Mohn, R., (2020) : Numerical investigation of particles’ transport, deposition and resuspension under unsteady conditions in constructed stormwater ponds ; Environmental Sciences Europe, 2020, 32 (76) ; 17p. ; disponible sur https://enveurope.springeropen.com

Pour en savoir plus :

• Aksouh, M., Mataoui, A. (non daté) : Travaux pratiques de mécanique des fluides numériques ; cours de master INSA Lyon, LMFTA ; 45p. ; disponible sur https://www.scribd.com/document