Test : Différence entre versions

Version du 7 décembre 2021 à 19:04

Paragraphe masqué par defaut

Paragraphe non masqué par defaut

Expression du modèle simplifié (Texte original de Jean-Michel Tanguy)

A partir des hypothèses précédentes, considérons un canal infini de forme rectangulaire et avec pente constante : largeur $ b $, pente du fond $ p_f $ et profondeur d'eau $ H $.

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Test de Latex

test2 $ f(y)= \int_a^b \frac{sin(x)}{x}^2 * \sqrt{x+y} $

Théorie de Ritter

Cette théorie suppose un effacement immédiat du barrage dans un canal de section constante, sans pente et sans frottement. Elle prend appui sur la théorie des caractéristiques, remarquablement formulée par Courant et Friedrichs [4], elle consiste à partir des équations de SaintVenant 1D:

$ \begin{cases} \dfrac{ \partial u }{ \partial t }+u\dfrac{ \partial u }{ \partial x }+g\dfrac{ \partial \eta }{ \partial x }=0 \\\\ \dfrac{ \partial \eta }{ \partial t }+\dfrac{ \partial (h+\eta)}{ \partial x }=0 \end{cases} $

En opérant le changement de variable $ c=\sqrt{g(h+\eta) } $, nous obtenons:

$ \begin{cases} \dfrac{ \partial u }{ \partial t }+u\dfrac{ \partial u }{ \partial x }+2c\dfrac{ \partial c }{ \partial x }=0 \\\\ \dfrac{ 2\partial c }{ \partial t }+2u\dfrac{ \partial c}{ \partial x }+c \dfrac{ \partial u}{ \partial x }=0 \end{cases} $

En faisant respectivement la somme et la différence de ces 2 équations, nous obtenons:
$ \begin{cases} \left [ \dfrac{ \partial }{ \partial t }+(u+c)\dfrac{ \partial }{ \partial x } \right](u+2c)=0 \\\\ \left [ \dfrac{ \partial }{ \partial t }+(u-c)\dfrac{ \partial }{ \partial x } \right](u-2c)=0 \end{cases} $

Ces 2 relations représentent les équations de deux courbes caractéristiques $ C^+ $ et $ C^- $, de pentes respectives:

$ \begin{cases} \dfrac{ dx }{ dt }=u+2c \\\\ \dfrac{ dx }{ dt }=u-2c \end{cases} $

Tracé du diagramme des caractéristiques

Nous avons vu précédemment que les caractéristiques $ C^- $ sont des droites faciles à tracer.

Par contre, les caractéristiques $ C^+ $ ne sont pas des droites et leur tracé peut être réalisé de proche en proche de la manière suivante :

• nous partons du pied de la caractéristique en prenant un point sur l'axe des x en amont : $ P_0 (x_{p0}, t_{p0}=0) $
• nous passons au point $ P_1 (x_{p1}, t_{p1}) $ le long de $ C^+ $ qui vient couper $ C^- $, qui correspond à une hauteur d'eau relative $ h_{p1}=1 $

Ce point appartient donc d'une part à la caractéristique $ C^- $ et on peut donc écrire : $ x_{p1}=-c_0t_{p1} $

Par ailleurs, $ P_1 $ appartient également à la caractéristique $ C^+ $ issue de $ P_0 $, ce qui nous permet d'écrire:

$ \dfrac{dx} {dt} =u+c_0=c_0 $ (puisque la vitesse est nulle en amont du réservoir au repos), d'où :

$ x_{p1}=x_{p0}+c_0t_{p1} $

On en déduit les coordonnées de $ P_1  : x_{p1}=x_{p0}/2 $ et $ t_{p1}=-x_{p0}/(2 c_0) $

• en suivant $ C^+ $ nous partons alors de $ P_1 $ pour atteindre $ P_2 $ qui se trouve sur une autre caractéristique $ C^- $ correspondant à une autre hauteur d'eau inférieure, par exemple $ h_{p1}=0.9 $ si on choisit un pas de discrétisation $ dh=0.1 m $.

De la même manière que précédemment, nous écrivons les 2 conditions d'appartenance de $ P_2 $ à 2 caractéristiques:

$ P_2 $ appartient à $ C^+ $ : $ \dfrac{dx} {dt} =u+c=c_0 $ soit $ \dfrac{x_{p2}-x_{p1}} {t_{p2}-t_{p1}} =u_{p2}+c_{p2}=c_0 $

le long de cette caractéristique, la quantité $ u+2c $ se conserve (invariant de Rieman), d'où : $ u_{p2}+2c_{p2} =u_0+2c_0 $

$ P_2 $ appartient à $ C^- $ : $ \dfrac{dx} {dt} =-3c_{p2}+2c_0+u0 $

De l'ensemble de ces relations, nous en déduisons les coordonnées de $ P_2 $

$ t_{p2}= x_{p1}-t_{p1}(-c_{p2}+2c_0+u_0 )/(-2c_{p2}) $

$ x_{p2}=(-3c_{p2}+2c_0+u_0)t_{p2} $

L'avancée progressive de cet algorithme en prenant ici comme pas de discrétisation pour les caractéristiques $ C^+ (en bleu) : dx=50 m $ et pour les caractéristiques $ C^- (en rouge) : dh=0.1 $ nous permet de tracer le diagramme des caractéristiques:

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Media:METHODES GEOPHYSIQUES_CHAP_1_2_3_4.pdf Media:METHODES GEOPHYSIQUES_CHAP_5_6_7_8.pdf Media:TECHNIQUE DES PETITS BARRAGES_CHAP_1_2_3.pdf Media:TECHNIQUE DES PETITS BARRAGES_CHAP_4_5_6_7.pdf

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According to scientists, the Sun is pretty big.^[1] The Moon, however, is not so big.^[2]

Notes

1. ↑ E. Miller, The Sun, (New York: Academic Press, 2005), 23-5.
2. ↑ R. Smith, "Size of the Moon", Scientific American, 46 (April 1978): 44-6.

Test de l'extension SyntaxHighlight_GeSHi

//boucle en temps
for t=0:0.05:1
    i=i+1
    if i<>1 then yprec=y; end
    y=a*cos(k*x-sigma*t)
    if option==2 then y=y+a*cos(-k*x-sigma*t); end // agitation
    if i==1 then yprec=y; end
    xfpolys([x';LONG;0],[yprec';-1;-1],[id1])
    plot(x',yprec',"w")
    xfpolys([x';LONG;0],[y';-1;-1],[id2]) 
    deltay=max(y,yprec)
    num=string(t)
    xpause(1000);
 
    title(titre+num+' sec', 'position',[0.5 0.5],'fontsize',3)
 
    plot2d(x',y')   
// dessin des vecteurs vitesse
    select option
    case -1 then
        [fx2, fy2]=vitesse(k,h,agksursigma,t,xvect,yvect,sigma)
    case 1 then
        [fx1, fy1]=vitesse(k,h,agksursigma,t,xvect,yvect,sigma)
    else
        [fx1, fy1]=vitesse(k,h,agksursigma,t,xvect,yvect,sigma)
        [fx2, fy2]=vitesse(-k,h,-agksursigma,t,xvect,yvect,sigma)
    end
    fx=fx1+fx2;fy=fy1+fy2   
    b=get("current_axes");
    b.data_bounds=[0,-1;10,0.6];
    b.auto_scale="off"
    champ(xvect',yvect',fx,fy,arfact=1)
    //GIF export
    xs2gif(0,'houle3_'+string(i)+'.gif');
    // longueur des vecteurs vitesse
    lv=sqrt(fx.*fx+fy.*fy)
    //delete()
end

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Dernière mise à jour : 24/11/2021

Base nationale de Gestion ASsistée des Procédures Administratives relatives aux Risques. Cette base recense l'ensemble des procédures administratives relatives aux risques, en particulier :

• les plans de prévention des risques naturels et assimilés, miniers et technologiques ;
• les reconnaissances de l'état de catastrophe naturelle ;
• les dossiers départementaux d'information sur les risques majeurs (DDRM) ;
• les documents d'information communale sur les risques majeurs (DICRIM).

Elle est mise à jour directement par les toto instructeurs départementaux ou régionaux.

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